精品解析：湖南长沙市明德天心中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级2025年下学期期末考试 数学试卷 时量：120分钟；满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题的关键．利用从正面看到的图叫做主视图判断即可． 【详解】解：A、主视图为圆，故本选项不符合题意； B、主视图为三角形，故本选项符合题意； C、主视图为矩形，故本选项不符合题意； D、主视图为正方形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，积的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A． a与不是同类项，不能合并，故不正确； B． ，故不正确； C． ，故不正确； D． ，正确； 故选D． 5. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是记住正弦函数的定义． 根据锐角正弦函数定义：在中，，的正弦求解即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：B． 7. 由二次函数可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为2 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据判断开口，根据解析式得出顶点坐标，进而得出对称轴为直线，最小值为，根据开口方向和对称轴判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线 A. 其图象的开口向上，故该选项不正确，不符合题意； B. 其图象的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意； C. 其最小值为，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时，y随x的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的定义得到，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的定义，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 10. 如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、半圆或直径所对圆周角为直角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是8， 故选：D ． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可． 【详解】∵二次根式有意义 ∴，解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征． 根据关于原点对称的点的特征，横坐标和纵坐标都互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点为， 故坐标为：． 13. 若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：扇形的面积为 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于 （其中 为圆心角， 为半径）是解题的关键． 14. 在中，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点D，连接，则的周长为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，线段的垂直平分线的性质． 由作图可知垂直平分线段，即，进而计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据题意得到，由位似得到，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的意义，分式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题的关键；将分别代入反比例函数和一次函数解析式，得，，再代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵点经过， ∴， ∵经过， ∴， ∵， 故答案为． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义．由特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 先运用平方差公式，完全平方公式，和单项式乘多项式计算，再合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式. 19. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向． （1）求点到的距离． （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查利用锐角三角比解直接三角形： （1）点到的距离为线段的长度； （2）利用锐角三角比解直接三角形，分别求得线段，的长度即可． 【小问1详解】 如图所示． 根据题意可知，点到的距离为线段的长度． 在中 ． 【小问2详解】 在中 ． 根据题意可知． 在中 ． ． 20. 某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设四门兴趣课，A“戏曲”、B“跳绳”、C“无人机”、D“书法”，为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生；并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2000人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是_______； （3）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1），统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，用树状图法求概率，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）用组人数除以占比求得总人数，进而求得组人数，补全统计图； （2）用组的占比乘以，即可求解； （3）画树状图求概率即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 答：本次共调查了人； 小组有：（人）， 条形统计图如图所示 【小问2详解】 若该校共有学生2000人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是（人）． 【小问3详解】 解：画树状图如图， 共有12种等可能结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生，有6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 21. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明； （2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接OD ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴OD//AB ∵ ∴ ∴ ∴DF是的切线； （2）∵OD//AB， ∴OD为的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得： ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 22. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 （2）该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 23. 在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积为，，． 求线段的长度； 若，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）；． 【解析】 【分析】（）根据证明，进而利用菱形的判定解答即可； （）利用菱形的性质得出，进而利用菱形的面积和勾股定理解答即可； 利用勾股定理得出，进而利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过作于， ∵由（）可知四边形是菱形， ∴， ∵四边形是面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 我们规定：关于x的多项式，因式分解后，若有一个一次因式，则一次函数叫做函数的“一次因式函数”，若有一个二次因式，则二次函数叫做它的“二次因式函数”，依此类推． 例如：，则函数与分别是函数的“一次因式函数”和“二次因式函数”． （1）已知函数与都是二次函数的“一次因式函数”，则　　　，　　　，　　　　； （2）已知函数有两个“一次因式函数”与，且对任意的，当时，求的取值范围； （3）已知正整数a，b满足不等式，且，若关于x的函数（t为常数）有个“一次因式函数”，而另一个因式函数在取值范围：上有最小值为，求m，t的值． 【答案】（1）2，1， （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解以及二次函数的性质，掌握多项式的因式分解以及二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可以得到，展开后对比系数即可求出； （2）先对进行因式分解，得到其“一次因式函数”，再根据确定，的表达式，即可求出的取值范围； （3）由，可得，分情况讨论即可得出m，t的值． 【小问1详解】 解：函数与都是二次函数的“一次因式函数”， ， ， 解得：． 故答案为：2，1，． 【小问2详解】 解：，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：， ， 都为正整数， ， ， ， ． ∴由题意得：在有最小值， ①当即时，当，随x的增大而增大， 当时，，得：， 此时，，符合题意； ②当即时，在抛物线顶点取得最小值， ， 解得：（舍去）， ③当即时，当，随x的增大而减小 ， 当时，，得：（舍去）， 综上，，． 25. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． （1）当时，　　，　　， ； （2）当点P在原点上方，且时，求点P坐标； （3）在运动过程中，是否存在t使得为等腰三角形．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可得到点P坐标； （3）当在原点上方时，又为等腰三角形，则，得到，进而可证，得到，即，再解方程；当在原点或下方时，由为等腰三角形，则，进而得到，再证，得到，即，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，则； 故答案为：；3；； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：，则， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，，即，解得， ，，， ①当在原点上方时，即时，如图， ， 又为等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， 或（舍去）； ②当在原点或下方时，即时，如图， ， ， 又为等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）； 综上，存在，当或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级2025年下学期期末考试 数学试卷 时量：120分钟；满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 6. 如图，在中，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 7. 由二次函数可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为2 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 如图，点A，B，C在上，是等腰直角三角形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__． 13. 若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____． 14. 在中，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点D，连接，则的周长为__． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为_____． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向． （1）求点到的距离． （2）求的长度． 20. 某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设四门兴趣课，A“戏曲”、B“跳绳”、C“无人机”、D“书法”，为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生；并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2000人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是_______； （3）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 21. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 22. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 23. 在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积为，，． 求线段的长度； 若，求线段的长度． 24. 我们规定：关于x的多项式，因式分解后，若有一个一次因式，则一次函数叫做函数的“一次因式函数”，若有一个二次因式，则二次函数叫做它的“二次因式函数”，依此类推． 例如：，则函数与分别是函数的“一次因式函数”和“二次因式函数”． （1）已知函数与都是二次函数的“一次因式函数”，则　　　，　　　，　　　　； （2）已知函数有两个“一次因式函数”与，且对任意的，当时，求的取值范围； （3）已知正整数a，b满足不等式，且，若关于x的函数（t为常数）有个“一次因式函数”，而另一个因式函数在取值范围：上有最小值为，求m，t的值． 25. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． （1）当时，　　，　　， ； （2）当点P在原点上方，且时，求点P坐标； （3）在运动过程中，是否存在t使得为等腰三角形．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $