精品解析：湖南郴州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷

湖南郴州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知等差数列，则（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. -9 2. 曲线在点处的切线倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系Oxyz中，点是点在坐标平面Oxy内的射影，则（ ） A. 5 B. C. D. 7. 已知双曲线的渐近线与直线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 2或 C. 或 D. 2或 8. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列为等比数列，公比，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：） A. 数列的通项公式为. B. 构成等比数列. C. 数列为等差数列. D. 数列的通项公式为，则当时，取得最大值. 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. “”是“为锐角”的必要不充分条件. B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 11. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于P，Q两点，则（ ） A. 抛物线C的焦点为 B. 直线AB与抛物线相切 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 13. 已知函数，则的解集______． 14. 空间直线与平面也有方程.教材中有如下阐述： 在空间直角坐标系中，已知点，向量不全为0，过点且一个法向量为的平面的方程为. 请利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 给定函数 （1）判断函数的单调性，并求的极值. （2）若有两个解，求的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 18. 已知数列满足，数列的前项和为，且满足. （1）求数列和的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 19. 在圆上任取一点，过点作轴于点，点在线段MN上，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. （1）求曲线E的方程. （2）若平行四边形ABCD的四个顶点都在上，其对角线为AC与BD. （i）证明：AC与BD的交点为原点. （ii）求平行四边形ABCD面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南郴州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知等差数列，则（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【详解】等差数列，则. 故选：B 2. 曲线在点处的切线倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】由于，所以, 则曲线在点处的切线斜率为1，则倾斜角为, 故选：A 3. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据圆的标准方程得到答案即可. 【详解】由题意得圆， 化简可得，则圆心坐标为, 故选：C 4. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解. 【详解】由方程表示双曲线，得，解得或， 所以的取值范围为. 故选：A 5. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 6. 在空间直角坐标系Oxyz中，点是点在坐标平面Oxy内的射影，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据射影的定义求出点的坐标，再根据向量模的计算公式计算. 【详解】因为点是点在坐标平面Oxy内的射影，所以点的坐标为， 所以. 故选：A 7. 已知双曲线的渐近线与直线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 2或 C. 或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线及渐近线与轴的夹角，得到之间的关系进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为， 由题意得渐近线与轴的夹角为，即或. 所以或. 所以离心率为或 故选：D. 8. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析可知在上恒成立，根据端点效应可得，解得，并把代入检验即可. 【详解】因为，则， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 令，则, 即在上恒成立，且， 可得，解得， 若，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 则， 可知函数在上单调递增，则，符合题意； 综上所述：实数的最大值为2. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列为等比数列，公比，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：） A. 数列的通项公式为. B. 构成等比数列. C. 数列为等差数列. D. 数列的通项公式为，则当时，取得最大值. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件可求出，，求得通项，可判断A，B；求得进而判断C；通过分析数列的单调性可判断D. 【详解】对于A，由公比得，∴， 又，∴，，，，∴，故A正确； 对于B，由选项A得，,，∴不构成等比数列，故B不正确； 对于C，由选项A得，，数列为等差数列，故C正确； 对于D，由选项A得，，， 当时, ；当时, . 又可知， 因为，所以，即当时，取得最大值.故D正确. 故选：ACD. 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. “”是“为锐角”的必要不充分条件. B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的定义，结合向量夹角公式判断A；利用共面向量定理的推论判断B；利用空间基底的意义判断C；利用共面向量的意义判断D. 【详解】对于A，由，得，反之，由为锐角，得， 因此“”是“为锐角”的必要不充分条件，A正确； 对于B，在中，，则P，A，B，C四点共面，B正确； 对于C，假设向量共面，则，而， 则，即，向量与共面，与是空间的一个基底矛盾， 因此向量不共面，也是空间的一个基底，C正确； 对于D，异面直线的方向向量可以平移到同一平面内， 因此分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量共面，D错误. 故选：ABC 11. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于P，Q两点，则（ ） A. 抛物线C的焦点为 B. 直线AB与抛物线相切 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线方程，求出焦点坐标判断A；联立直线与抛物线方程，由解的情况判断B；设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式、两点间距离公式求解判断CD. 【详解】由点在抛物线上，得，解得，抛物线， 对于A，抛物线C的焦点为，A正确； 对于B，直线的方程为，即，由 消去得，此方程有两个相等的根2，直线AB与抛物线相切，B正确； 对于C，设直线的方程为，由消去得， ，即，设，则，， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题可得，由两点间的斜率公式求解即可. 【详解】设,且为直角，则直线的斜率存在， 则，所以,解得：或, 所以点的坐标为或， 故答案为：或 13. 已知函数，则的解集______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算规则，写出函数导数，根据定义域，求解不等式. 【详解】已知，定义域为，可知， 则，即，因为，化简得，解得， 故答案为：. 14. 空间直线与平面也有方程.教材中有如下阐述： 在空间直角坐标系中，已知点，向量不全为0，过点且一个法向量为的平面的方程为. 请利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定的材料求出平面的法向量，利用另外两个平面的法向量求出它们交线的方向向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】由平面的方程为，得平面的法向量， 平面的法向量，平面的法向量， 设直线l的方向向量为，由直线l是两平面的交线，得向量与向量、都垂直， 则，解得，得，设直线l与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 给定函数 （1）判断函数的单调性，并求的极值. （2）若有两个解，求的取值范围. 【答案】（1） 因为， 所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 在处，函数取得极小值，. 无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，求函数的极值. （2）根据函数的单调性，结合函数值的符号，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，. 作函数草图如下： 所以有两个解，可得. 即所求的取值范围为： 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的性质有，结合已知及线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 由底面，底面，则， 又，且均在面内，则平面； 【小问2详解】 由题设，构建如下图示空间直角坐标系， 则，故， 若为面的一个法向量，则， 令，则，而是面的一个法向量， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知数列满足，数列的前项和为，且满足. （1）求数列和的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出；由数列前项和与第项的关系建立等式，再利用等差数列定义求出，进而求出. （2）由（1）求出，再按分段，结合错位相减法求和并验证即得. 【小问1详解】 在数列中，， 当时，，两式相减得，则， 当时，，解得不满足上式，因此； 在数列中，当时，，则， 因此数列是首项为，公差为1的等差数列，， 当时，，满足上式，则， 所以数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， ， 两式相减得， 则，当时，满足上式， 所以. 19. 在圆上任取一点，过点作轴于点，点在线段MN上，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. （1）求曲线E的方程. （2）若平行四边形ABCD的四个顶点都在上，其对角线为AC与BD. （i）证明：AC与BD的交点为原点. （ii）求平行四边形ABCD面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）12. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，利用向量线性运算的坐标表示求出点的坐标，再代入圆的方程即得. （2）（i）按直线的斜率存在与否分类，设出直线方程，利用弦长公式及平行四边形性质证得关于原点对称，关于原点对称即可；（ii）将平行四边形面积表示为，结合（i）中信息，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设点，由轴于点，，得，， 又点在圆上运动，因此，即， 所以曲线E的方程为， 【小问2详解】 （i）当直线的斜率存在时，设其方程为，设， 由，消去得， ，， 则， 由，得，设直线的方程为， 同理得，由，得， 因此，，即直线的方程为，而直线与关于原点对称； 当直线斜率不存在时，设其方程为，直线方程为， 由，得，则，同理， 由，得，直线关于原点对称， 因此的边关于原点对称，同理边关于原点对称， 即的对称中心为原点，即AC与BD的交点为原点； 所以AC与BD的交点为原点. （ii）当直线的斜率存在时，原点到直线的距离， 的面积， 当且仅当，即时取等号， 当直线斜率不存在时，原点到直线的距离， 的面积， 当且仅当，即时取等号，而，符合题意， 所以面积的最大值为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $