精品解析：湖南省郴州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷

郴州市2024年下学期期末教学质量监测试卷 高二数学 （试题卷） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置. 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题. 4．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知抛物线，则抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的抛物线方程直接求出焦点坐标. 【详解】抛物线的焦点坐标是. 故选：A 2. 已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到直线的斜率，从而求出直线的方向向量. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线的方向向量为，所以. 故选：C 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用第项与前项的关系求出答案. 【详解】数列的前项和，所以. 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 5. 在正项等比数列中，若为方程的两个实根，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，再利用对数运算及等比数列性质计算得解. 【详解】由为方程的两个实根，得， 在正项等比数列中，，， 所以. 故选：B 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得. 【详解】依题意，，，而，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：C 7. 在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，而，， 则， ，， ，因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 8. 已知双曲线的右焦点为，以点为圆心，半径为的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点到渐近线的距离，结合圆的性质可得，进而求出离心率. 【详解】由对称性，不妨令渐近线为，右焦点， 则点到直线距离， 由，得， 所以该双曲线的离心率. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（ ） A. B. 为等差数列 C. 当取得最小值时， D. 为递减数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，再逐项分析判断. 【详解】在等差数列中，， 则，，公差， 对于A，，A错误； 对于B，，则，， 为等差数列，B正确； 对于D，由，得为递增数列，D错误； 对于C，数列前6项都为负，从第7项起都为正，因此当取得最小值时，，C正确. 故选：BC 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABCD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；由直线与圆相切判断B；求出圆心到直线距离判断CD. 【详解】对于A，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆，可得圆心，半径， 因为直线斜率一定存在，且与圆相切，可得圆心C到直线l的距离， 即，解得，故切线方程，即，B正确； 对于C，当时，直线，点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C正确； 对于D，点到直线距离的最大值为， 因此圆上一点到直线的最大距离是，D正确. 故选：ABCD 11. 在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点，点是线段的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 若点是的中点，则过、、三点的正方体的截面的周长是 B. 三棱锥的体积是定值 C. 直线与平面所成的线面角的正弦值是 D. 异面直线与所成的角的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】做出截面，求出截面周长，即可判断A，根据锥体的体积公式判断B，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断C、D. 【详解】对于A：连接、，取的中点，连接、， 则且，所以四边形为平行四边形，所以， 又且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四点共面，则截面周长为，故A正确； 对于B：，即三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C、D：如图建立空间直角坐标系，则，，， 设， 所以，又平面的法向量为， 设直线与平面所成的线面角为，则，故C错误； 因为，，设异面直线与所成的角为， 则， 所以当时，，又，所以， 即异面直线与所成的角的最大值是，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量法定量计算. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】设两圆交点为，， 则两点坐标是方程组的解， 两式相减得，即， 所以两点坐标均满足此方程， 所以即为两圆的公共弦所在直线的方程， 故答案为： 13. 已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【详解】直线过点，又抛物线焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为： 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______． 【答案】4725或4746 【解析】 【分析】根据给定的运算法则，逆推进出前4项，再结合数列周期性求出. 【详解】由，得，或， 若，则数列周期数列，其周期为3， 因此； 若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3， 因此. 故答案为：4725或4746 【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前4项，再利用周期性求和. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，联立方程组，求出圆的一般方程，即可得到圆的标准方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，再根据圆的弦长公式，即可求得斜率，从而得到直线方程. 【小问1详解】 设圆的一般方程为，将三点坐标代入得： ，解得 所以圆的一般方程为：， 则圆的标准方程为：. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为：， 此时直线与圆有两个交点，则被圆截得的弦长为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 即： 由（1）圆心，圆心C到直线的距离为， 由得：，解之得 所以直线的方程为：，即： 综上所述，直线的方程为：或. 16. 已知函数（为常数）在处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）已知点是函数图象上的一点，求点到直线的距离的最小值． 【答案】（1）2. （2）； 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直求出的值. （2）由（1）求出函数，平移直线与曲线相切，求出切点坐标，再利用点到直线距离求出最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得，则， 由曲线在处的切线与直线垂直，得， 所以的值是2. 【小问2详解】 由（1）知，，平移直线与函数的图象相切，设切点为， 则切线的斜率，解得，切点为， 所以点到直线的距离的最小值为. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合余弦定理，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，， 由余弦定理，得， 则，而，则，， 由平面平面，得，又平面， 因此平面，又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 显然平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面和平面夹角为，， 所以平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为．求证：． 【答案】（1） （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）由与的关系，及等差数列通项公式即可求； （2）由（1）求出，利用裂项相消法求，即可证明. 【小问1详解】 由题意，当时，，解得或， 因为，所以， 由得， 两式相减得， 整理得，因为， 所以， 所以数列是首项为6，公差为4的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以 . 因为， 所以， 所以，即. 19. 已知双曲线为双曲线的左、右焦点，渐近线方程为，点为双曲线在第一象限上的一点，且的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）、为双曲线的左右顶点，直线上一点，以为圆心，半径为的圆与直线交于两点，直线、与双曲线分别交于另一点、． ①证明：为定值； ②探究：直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②直线恒过定点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程得到，再由余弦定理、三角形面积公式及双曲线的定义得到方程组，求出，，即可得解； （2）①设，即可表示出、的坐标，再由斜率公式计算可得；②设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据，求出、的关系，即可得解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为， 设，由渐近线方程为，所以，则， 由，在中由余弦定理可得， 又点为双曲线在第一象限上的一点，所以， 即，所以， 又的面积为，即，所以， 又，解得，， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 ①由（1）可得、， 设，则，所以，， 所以，， 所以，即为定值； ②直线恒过定点，理由如下： 设，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，可得， 显然且，则，， 所以， 又， ， 所以，即，所以， 即直线的方程为，所以直线恒过点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郴州市2024年下学期期末教学质量监测试卷 高二数学 （试题卷） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置. 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题. 4．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知抛物线，则抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正项等比数列中，若为方程两个实根，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 22 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线右焦点为，以点为圆心，半径为的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知公差为等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（ ） A. B. 为等差数列 C. 当取得最小值时， D. 为递减数列 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当直线与圆相切时，切线方程是 C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D. 圆上的一点到直线的最大距离是 11. 在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点，点是线段的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 若点是中点，则过、、三点的正方体的截面的周长是 B. 三棱锥的体积是定值 C. 直线与平面所成的线面角的正弦值是 D. 异面直线与所成的角的最大值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为______． 13. 已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则______． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程． 16. 已知函数（为常数）在处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）已知点是函数图象上的一点，求点到直线的距离的最小值． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 18. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为．求证：． 19. 已知双曲线为双曲线的左、右焦点，渐近线方程为，点为双曲线在第一象限上的一点，且的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）、为双曲线的左右顶点，直线上一点，以为圆心，半径为的圆与直线交于两点，直线、与双曲线分别交于另一点、． ①证明：为定值； ②探究：直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $