导数中的距离最值与单调性问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

导数中的距离最值与单调性问题 【例 1】曲线y = e2x 上的点到直线2x − y − 4 = 0 的最短距离是( ) A ． B ． C ． D ．1 【答案】A 【例 2】实数x1 ，x2 ，y1 ，y2 满足x1 (2) − lnx1 − y1 = 0 ，x2 − y2 − 4 = 0 ，则 (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 的最小值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】D 【例 3】若不等式 m对任意a ∈ R ，b∈ (0, +∞ ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(−∞,2] 【答案】B 【例 4】已知函数y = e2x+1 的图象与函数y 的图象关于某一条直线 l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为( ) A ． B ． C ． D ． (4 + ln 2) 【答案】A 【例 5】已知函数f (x) = x2 + ex − (x < 0) 与g(x) = x2 + ln(x + a) 图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(0 ， 【答案】B 【例 6】已知定义在R 上的函数f(x) ，其导函数f ,(x) 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．f (b) > f (c) > f (a) B ．f (b) > f (c) = f (e) C ．f (c) > f (b) > f (a) D ．f (e) > f (d ) > f (c) 【答案】D 【例 7】已知f x2 + cos x ，f ,(x) 为f (x) 的导函数，则y = f ,(x) 的图象大致是( ) A ． B ． ( C ． )D． 【答案】B 导数中的距离最值与单调性问题 巩固 【答案】 1:A 2:A 3: ． ( 1. 若点 A 是函数 y = x -4 e x 图象上的动点 ( ) A. 7√10 10 C. √17 )（其中e的自然对数的底数 ），则A到直线y=3-3x的距离最小值为 B. D. 17 【答案】A 【解析】解：设f（x）=x-4ex，g（x）=3-3x,f'（x）= 1-4ex 设与g（x）平行且与f（x）相切的直线与f（x）切于P (x0 ，x0 − 4ex0)所以f′ (x0) = 1 − 4ex0 = −3 ⇒ x0 = 0． 所以P（ 0，-4） 则P到直线y=3-3x的距离为d = = ，即A到直线y=3-3x的距离最小值为， 故选：A． 2. 函数y 的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【解析】解：因为函数y = f(x) = 可化简为f(x) = 可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C； 同时有y′ = f ′ (x) = = ， 故函数在x ∈ (0, )时f′ (x) > 0，则x ∈ (0, )上单调递增，排除答案B和D， 故选：A． 3. 已知函数y=e4x-3 的图象与函数y = 的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ． 【答案】 √2+√2ln2 ． 2 【解析】解：根据题意，l的方程为y=x-1，即函数y=e4x-3 的图象与函数y 的关于直线y=x-1对称， 证明如下：设P（ a,b ）为函数y=e4x-3 图像上任意一点，则b=e4a-3， P（ a,b ）关于直线y=x-1的对称点为Q（ b+1，a-1 ）， 设u=b+1，v=a-1，所以a=v+1，b=u-1，所以u-1=e4|（ v+1 ）|-3， 所以v = ，即函数y=e4x-3 的图象与函数y = 的图像关于直线y=x-1的对称，故P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=x-1距离最小值的2倍， 函数y=e4x-3，其导数y ′=4e4x-3，则该函数在P（ x0，y0 ）点处的切线斜率为k = 4e4x0−3，若4e4x0−3 = 1，解可得x 又由y=e4x-3，则y0 = ， P (则)，Q两点之间距离的最小值为 (P到直线y=x-1距离的最小) 故答案为： 导数中的距离最值与单调性问题 强化 【答案】 1:D 2:D 3:A 4:D 5:CD 6:D 7: 1. 曲线y=2lnx上的点到直线x-y+2ln2=0的最短距离是 ( ) A. 2 B. 2-ln2 C. ln 2 D. √2 【答案】D 【解析】解：由题知：y' = ，再令 = 1得x=2， 故与直线x-y+2ln2=0平行的切线的切点为P（ 2，2ln2 ）， 所以所求的距离为： = √2． 故选：D． 2. 已知函数f（x）=aex+x2+x+1经过点（ 0，2 ），且与g（x）的图象关于直线2x-y-3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）上的动点，则|PQ|的最小值是 ( ) A. √5 5 B. √5 C. 2√5 5 D. 2√5 【答案】D 【解析】解：∵函数f（x）=aex+x2+x+1经过点（ 0，2 ）， ∴a= 1，f（x）=ex+x2+x+1， ∴f′（x）=ex+2x+1， ∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x-y-3=0对称， ∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即是|PQ|的最小值． 直线2x-y-3=0的斜率k=2， 由f′（x）=ex+2x+1=2， 即ex+2x-1=0， 解得x=0， 此时的切点坐标为（ 0，2 ）， ∴过函数f（x）图象上点（ 0，2 ）的切线平行于直线y=2x-3， 两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x-y-3=0的最小距离， 此时d 由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2√5． 故选：D． 3. 若不等式（ x-a ）2+（ x-lna ）2 >m对任意x∈R，a∈（ 0，+∞ ) 恒成立，则实数m的取值范围是 ( ) A.（ -∞, B.（ -∞, ) C.（ -∞, √2 ） D.（ -∞, 2 ） 【答案】A 【解析】解：∵（ x-a ）2+（ x-lna ）2 >m, ∴m<2x2-2（ a+lna ）x+a2+ln2a对任意x∈R，a∈（ 0，+∞ ) 恒成立， 设f（x）=2x2-2（ a+lna ）x+a2+ln2a, ∴f′（x）=4x-2（ a+lna ）， 令f′（x）=0，解得x= a+lna ）， 当f′（x）>0时，即x>（ a+lna ），函数f（x）单调递增，当f′（x）<0时， a+lna ），函数f（x）单调递减， ∴f（x）min= a+lna ）]= a-lna ）2， 再设g（ a ）=a-lna, 令g′（ a ）=0，解得a= 1， 当a>1时，函数g（ a ）为增函数， 当0<a<1时，函数g（ a ）为减函数， ∴g（ a ）min=g（ 1 ）= 1-ln1= 1， 【答案】CD 学科网（北京）股份有限公司 ( 1 2 )∴f（x）min=f[ , 故选：A． （ a+lna ）]= （ a-lna ）2 = ， ( 1 2 )4. 已知函数f（x）= |x|+2x-的取值范围是 ( ) （x<0）与g（x）= |x|+log2（ x+a ）的图象上存在关于y轴对称的点，则a A. B. D.（ -∞, √2 ） 【答案】D 【解析】解：若函数f（x）= |x|+2x- 与g（x）= |x|+log2（ x+a ）的图象上存在关于y轴对称的点， 则等价于方程f（x）=g（ -x），在x<0时有解． 方程即-x+2x- （ -x+a ）， 即方程2x- -log2（ -x+a ）=0在（ -∞, 0）上有解． 令m（x）=2x- -log2（ -x+a ）， 则m（x）在其定义域上是增函数， 且x→-∞时，m（x）→-∞, 当x→0时，m（x）→ -log2a, ∴ , , ∴a<√2， 综上所述，a∈（ -∞, √2 ）． 故选：D． 5.（ 多选题 ）已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A. f（ a ）>f（ e ）>f（ d ） B. 函数f（x）在[a,b]上递增，在[b,d]上递减 C. f（x）的极值点为c,e D. f（x）的极大值为f（ c ） 【解析】解：由导数与函数单调性的关系知，当f′（x）>0时f（x）递增，f′（x）<0时f（x）递减，结合所给图象知，x∈（ a,c ）时，f′（x）>0， ∴f（x）在（ a,c ）上单调递增，f（ a ）<f（ b ）<f（ c ）， x∈（ c,e ）时，f′（x）<0， ∴f（x）在（ c,e ）上单调递减，（ e,+∞ ) 上单调递增， 函数f（x）在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值，f（ c ）>f（ d ）>f（ e ），故选：CD． 6. 已知函数f（x）=xsinx+cosx+2023，g（x）是函数f（x）的导函数，则函数y=g（x）的部分图象是( ) 学科网（北京）股份有限公司 A. C. B. D. 【答案】D 【解析】解：对于A、B：因为f（x）=xsinx+cosx+2023，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 因为g（ -x）=-xcos（ -x）=-xcosx=-g（x）， 所以g（x）为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B错误； 对于C、D：g( 故选：D． ) = 0，g() = cos = >0，故C错误，而D正确． 7. 已知函数f（x）=lnx-2x3 与g（x）=2x3-ax,若f（x）的图象上存在点A满足它关于y轴的对称点B落在g （x）的图象上，则实数a的取值范围是 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵函数f（x）=lnx-2x3 与g（x）=2x3 -ax, 若f（x）的图象上存在点A满足它关于y轴的对称点B落在g（x）的图象上， ∴f（x）=g（ -x）有解， ∴lnx-2x3=-2x3+ax, ∴lnx=ax在（ 0，+∞ ) 有解， 分别设y=lnx,y=ax, 若y=ax为y=lnx的切线， ∴y ′= ， 设切点为（ x0，y0 ）， ∴a= ，ax0 =lnx0， ∴x0 =e, 学科网（北京）股份有限公司 :a， ( 1 e )结合图象可知，a≤故答案为：a ． , $导数中的距离最值与单调性问题 【例 1】曲线y = e2x 上的点到直线2x - y - 4 = 0 的最短距离是( ) A ． B ． C ． D ．1 【例 2】实数x1 ，x2 ，y1 ，y2 满足x1 (2) - lnx1 - y1 = 0 ，x2 - y2 - 4 = 0 ，则 (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 的最小值为( ) A ．0 B ．2 C ． D ．8 【例 3】若不等式 m对任意a ∈ R ，b∈ (0, +∞ ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(-∞,2] 【例 4】已知函数y = e2x+1 的图象与函数y 的图象关于某一条直线 l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为( ) A ． B ． 【例 5】已知函数f = x2 + ex 与g(x) = x2 + ln(x + a) 图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是( ) A ． B ． C ．(0 ， D ．(0 ， ) 【例 6】已知定义在R 上的函数f(x) ，其导函数f ,(x) 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．f (b) > f (c) > f (a) B ．f (b) > f (c) = f (e) C ．f (c) > f (b) > f (a) D ．f (e) > f (d ) > f (c) 【例 7】已知f x2 + cos x ，f ,(x) 为f (x) 的导函数，则y = f ,(x) 的图象大致是( ) ( B ． )A． ( D ． )C． 导数中的距离最值与单调性问题 巩固 1. 若点A是函数y=x-4ex 图象上的动点（其中e的自然对数的底数 ），则A到直线y=3-3x的距离最小值为( ) A B. C. √17 D. 17 2. 函数y = (x ∈ [ − , 0) u(0, ])的图象大致是( ) A. B. C. D. 3. 已知函数y=e4x-3 的图象与函数y 的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ． 导数中的距离最值与单调性问题 强化 1. 曲线y=2lnx上的点到直线x-y+2ln2=0的最短距离是 ( ) A. 2 B. 2-ln2 C. ln 2 D. √2 2. 已知函数f（x）=aex+x2+x+1经过点（ 0，2 ），且与g（x）的图象关于直线2x-y-3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）上的动点，则|PQ|的最小值是 ( ) A B. √5 C D. 2√5 3. 若不等式（ x-a ）2+（ x-lna ）2 >m对任意x∈R，a∈（ 0，+∞ ) 恒成立，则实数m的取值范围是 ( ) A.（ -∞, B. C.（ -∞, √2 ） D.（ -∞, 2 ） 4. 已知函数f = |x|+2x 与g（x）= |x|+log2（ x+a ）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 ( ) A. B. D.（ -∞, √2 ） 5.（ 多选题 ）已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A. f（ a ）>f（ e ）>f（ d ） B. 函数f（x）在[a,b]上递增，在[b,d]上递减 C. f（x）的极值点为c,e D. f（x）的极大值为f（ c ） 6. 已知函数f（x）=xsinx+cosx+2023，g（x）是函数f（x）的导函数，则函数y=g（x）的部分图象是( ) A. C. B. D. 7. 已知函数f（x）=lnx-2x3 与g（x）=2x3-ax,若f（x）的图象上存在点A满足它关于y轴的对称点B落在g （x）的图象上，则实数a的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $