精品解析：湖北随州市曾都区2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测八年级数学试卷

曾都区2025-2026学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接签在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与的公因式为（ ） A. B. C. D. 2. 关于x轴对称点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 下列添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍不能判定这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式能用公式法分解因式的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（ ） A. 平分 B. C. 平分 D. 7. 解分式方程时，下列去分母变形正确的是（ ） A B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 若，则 10. 如图，将的较短直角边沿折叠到较长直角边上，点B落在点E处，若，则以下结论：①；②；③E是的中点；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．把正确答案填在答题卡对应题号的横线上） 11. 写出一个使分式有意义的x的值________． 12. 在中，如果，那么是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 13. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______． 14. 如图1，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点E在的延长线上），立柱，如图2所示，若斜梁增加部分的长为，则立柱相比增高了_______． 15. 用4张长为x，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．用含x，y的代数式表示______（结果要求化简），若，当时，则______． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，，求证：． 19. 已知，． （1）直接写出的结果； （2）求的值； （3）当时，求的值． 20. 如图，已知锐角三角形，． （1）尺规作图：①作的垂直平分线l； ②作的平分线交于点M，交l于点P；（不写作法与证明，保留作图痕迹，标明字母） （2）连接，若，求度数． 21. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… （1）请写出第5个等式； （2）观察上面的规律发现，两个连续奇数的平方差等于介于这两个奇数之间的偶数的4倍．请用含n（n为正整数）的式子表示第n个等式； （3）运用有关知识，说明（2）中的结论的正确性． 22. 如图，在中，平分，E是边上一点，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形； （2）若点E是的中点，试猜想与的大小有什么关系？并证明你的猜想． 23. 根据以下素材，完成后面的任务． 问题情境 素材1 “随州的出路在环境，未来靠环境．”为整体提升城市环境，助力支点建设，2025年随州城区进行了较大规模的道路改造． 素材2 甲、乙两工程队各承包了一段500米的道路改造工程，已知乙每天可完成的工程比甲多5米，两工程队同时开始施工，当甲还有100米没有完成时，乙刚完成全部工程． 素材3 后来，两工程队又承包了新的道路改造工程，甲比乙少承包了100米，乙承包了600米，他们的施工效率均保持不变，且仍然同时开始施工． 问题解决 任务1 求甲、乙两工程队每天各可完成多少米道路改造？ 任务2 通过计算说明：第二次承包的道路改造工程，甲、乙两工程队是否可同时完工？ 任务3 对于第二次承包的道路改造工程，应该如何调整其中一人的施工效率才能使两人同时完工？请通过计算给出所有的调整方案． 24. [习题再现] （1）教材中有这样一道复习题：如图1，，，，，垂足分别为D，E，，，求的长．请你直接写出的长． [变式应用] （2）如图2，D是等腰直角内一点，，，，求面积． [拓展探究] （3）两条平行线有这样一条性质：两条平行线中的一条直线上的每一点到另一条直线的距离都相等．如图3，在中，，，的面积为12，以为直角边向右侧作一个等腰直角，连接，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都区2025-2026学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接签在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与的公因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式由系数最大公因数和字母公因式组成，字母取指数最小值，由此求解即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：与的系数最大公因数为，字母的指数最小值为，字母的指数最小值为， 故公因式为， 故选：A． 2. 关于x轴对称点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：关于轴对称点的坐标为． 故选：． 【点睛】考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3. 下列添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添括号的法则：括号前是“”时，括号内各项符号不变；括号前是“”时，括号内各项符号改变，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握添括号的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项添括号错误，不符合题意； B、，故原选项添括号正确，符合题意； C、，故原选项添括号错误，不符合题意； D、，故原选项添括号错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍不能判定这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、在和中，，故，故不符合题意； B、∵， ∴，即， 在和中，，故，故不符合题意； C、添加，不能证明，故符合题意； D、在和中，，故，故不符合题意； 故选：C． 5. 下列多项式能用公式法分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 6. 如图，O是重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（ ） A. 平分 B. C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 7. 解分式方程时，下列去分母变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，通过找公分母去分母化为整式方程．注意分母 与 互为相反数，需先变形． 详解】解：∵， 又， ∴， 即 ， ∴ ， 两边同乘 ，得 ． 故选：D． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算、多项式乘法和除法，需运用指数法则和代数运算规则逐一验证选项，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形判定与性质，连接，由作图可得，，，证明，得出，再逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， 由作图可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴，故能由上述操作结果得出， ∴，故能由上述操作结果得出； 若，则，故能由上述操作结果得出； 是等边三角形，不能由上述操作结果得出，故符合题意； 故选：C． 10. 如图，将的较短直角边沿折叠到较长直角边上，点B落在点E处，若，则以下结论：①；②；③E是的中点；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握折叠后图形相对应的边和角大小不变是解题的关键．根据题意，得到折叠后图形相对应的边和角大小不变，通过角度和边长变换对结论逐个验证，即可求解． 【详解】解：根据题意，可知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确， ∵，， ∴，故结论②正确， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E不是的中点，故结论③错误， 如图，过点D分别作，， ∵， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述，结论①②④正确． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．把正确答案填在答题卡对应题号的横线上） 11. 写出一个使分式有意义的x的值________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，因此需满足分母，解得，从而可选取任意不等于1的实数作为的值，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴分母， 解得：， 故可取， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在中，如果，那么是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，利用三角形内角和定理，结合已知条件求出的度数，从而判断三角形形状，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：∵，, ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 13. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______． 【答案】对应边相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果． 【详解】解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等； 故答案为：对应边相等的两个三角形全等 14. 如图1，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点E在的延长线上），立柱，如图2所示，若斜梁增加部分的长为，则立柱相比增高了_______． 【答案】0.6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由直角三角形的性质可得，求出，再由直角三角形的性质可得，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵立柱垂直平分横梁， ∴，， ∵， ∴， ∵斜梁增加部分的长为，点E在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴立柱相比增高了， 故答案为：． 15. 用4张长为x，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．用含x，y的代数式表示______（结果要求化简），若，当时，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式的应用，根据阴影部分的面积等于四个三角形的面积加上中间小正方形的面积，计算即可得出结果；用大正方形的面积减去阴影部分的面积即可得出空白部分的面积，再根据，并结合完全平方公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程） 16. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、积的乘方、因式分解，掌握以上知识点解答本题的关键． （1）首先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可； （2）首先提取公因式，再用公式法即可得出答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算—化简求值，先计算分式的乘法，再计算减法，即可化简，最后代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 18. 如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由得出，证明即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19. 已知，． （1）直接写出的结果； （2）求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果； （2）根据幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则得出，整体代入，计算即可得出结果； （3）利用完全平方公式的变形计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴， ∴． 20. 如图，已知锐角三角形，． （1）尺规作图：①作的垂直平分线l； ②作的平分线交于点M，交l于点P；（不写作法与证明，保留作图痕迹，标明字母） （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线、作角平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据线段垂直平分线的作法作图即可；②根据角平分线的作法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，再由角平分线的定义得出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①如图，直线l即为所求作； ②如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：∵直线l垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… （1）请写出第5个等式； （2）观察上面的规律发现，两个连续奇数的平方差等于介于这两个奇数之间的偶数的4倍．请用含n（n为正整数）的式子表示第n个等式； （3）运用有关知识，说明（2）中的结论的正确性． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握此知识点并发现数字变化规律是解题的关键． （1）根据题意写出符合规律的算式即可； （2）根据等式的规律即可得出答案； （3）利用平方差公式因式分解进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：观察前面几个等式，可得第5个等式为． 【小问2详解】 解：由规律可得第n个等式为． 【小问3详解】 解：因为左边=右边， 所以是正确的． 22. 如图，在中，平分，E是边上一点，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形； （2）若点E是的中点，试猜想与的大小有什么关系？并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，从而得出，即可得证； （2）延长到点H，使，连接．证明，得出，，再证明出，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：猜想：． 证明如下：延长到点H，使，连接． ， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，完成后面的任务． 问题情境 素材1 “随州的出路在环境，未来靠环境．”为整体提升城市环境，助力支点建设，2025年随州城区进行了较大规模的道路改造． 素材2 甲、乙两工程队各承包了一段500米的道路改造工程，已知乙每天可完成的工程比甲多5米，两工程队同时开始施工，当甲还有100米没有完成时，乙刚完成全部工程． 素材3 后来，两工程队又承包了新的道路改造工程，甲比乙少承包了100米，乙承包了600米，他们的施工效率均保持不变，且仍然同时开始施工． 问题解决 任务1 求甲、乙两工程队每天各可完成多少米道路改造？ 任务2 通过计算说明：第二次承包的道路改造工程，甲、乙两工程队是否可同时完工？ 任务3 对于第二次承包的道路改造工程，应该如何调整其中一人的施工效率才能使两人同时完工？请通过计算给出所有的调整方案． 【答案】任务1：甲、乙两工程队每天分别可完成20米、25米的道路改造；任务2：甲、乙两工程队仍然不能同时完工；任务3：将甲的施工效率增加米/天或将乙的施工效率减少1米/天才能使两工程队同时完工 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： 任务1：设甲每天施工x米，则乙每天施工米，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：分别求出甲、乙两队完工所需要的时间，即可求解； 任务3：方案1：将甲施工效率增加a米/天，方案2：将乙的施工效率减少b米/天，根据两种方案，分别列出方程，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：任务1：设甲每天施工x米，则乙每天施工米，根据题意，得： 解方程得． 经检验是方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲、乙两工程队每天分别可完成20米、25米的道路改造． 任务2：甲、乙两工程队仍然不能同时完工． 甲需要的时间为：（天）， 乙需要的时间为：（天）， 所以甲比乙完成工程的时间多1天． 任务3：方案1：将甲的施工效率增加a米/天，则 ， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 方案2：将乙的施工效率减少b米/天，则 ， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 综上所述，将甲的施工效率增加米/天或将乙的施工效率减少1米/天才能使两工程队同时完工． 24. [习题再现] （1）教材中有这样一道复习题：如图1，，，，，垂足分别为D，E，，，求的长．请你直接写出的长． [变式应用] （2）如图2，D是等腰直角内一点，，，，求的面积． [拓展探究] （3）两条平行线有这样一条性质：两条平行线中的一条直线上的每一点到另一条直线的距离都相等．如图3，在中，，，的面积为12，以为直角边向右侧作一个等腰直角，连接，直接写出的面积． 【答案】（1）的长0.8；（2）；（3）的面积为9或21 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，再结合线段的和差计算即可得出结果； （2）过点作，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当以为直角边，时，作交于点，过点作，交的延长线于点；当以为直角边，时，作交于点，过点作，交的延长线于点；分别结合全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）如图，过点作，交的延长线于点， ， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）如图，当以为直角边，时，作交于点，过点作，交的延长线于点， ， ∵在中，，，的面积为12，， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积； 如图，当以为直角边，时，作交于点，过点作，交的延长线于点， ， 同理可得：，， ∴， ∴的面积； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $