精品解析：湖北咸宁市通城县2025年秋季期末教学质量监测九年级数学试卷

2025年秋季期末教学质量监测试卷 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列情境属于旋转的是（ ） A. 电流表指针来回摆动 B. 滑动变阻器的滑片来回移动 C. 热气球缓慢上升 D. 打针时推动针管 3. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数，常数项分别是（ ） A. 4， B. ，2 C. 2，1 D. ，1 4. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 5. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点的位置，求的长．（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（为常数，）的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程的解是； ④． 其中正确的有（　　） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 12. 已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则______． 13. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为__________． 14. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练登眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为_____． 15. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转（点对应点，点对应点）得到，点在上． （1）的大小为_____； （2）延长交于点，若，则的长为_____． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当方法解一元二次方程：． 17. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转得到，其中，是对应点，若，求的度数． 18. 某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． （1）填空：根据题意，可列方程： ； （2）我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 19. 某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文艺社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中 ； （2）已知该校有1200名学生，请估计“文艺社团”共有多少人？ （3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求，，，的值； （2）若点与点关于轴对称，连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图，四边形内接于，且为直径，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且平分 （1）求证：是的切线； （2）若，，求、的长． 22. 已知中，，． （1）如图1，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间的数量关系为_____； （2）在（1）问中，连接，如图2，试探索线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在上述外取一点，连接，，，若，，，用上述旋转线段的方法，求出的长为_____． 23. 如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据如下表格． 滑行时间 0 2 4 6 8 10 12 … 滑行速度 10 9 8 7 6 5 4 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 84 … 为观察与、与之间的关系，建立平面直角坐标系，并描出表中数据对应的点．（如图1、图2） （1）请你用平滑的曲线连接它们，观察图象，可以看出像我们学过的函数图象的一部分，请直接写出滑行速度与时间的函数解析式和滑行距离与时间的函数解析式（不要求写出的取值范围）； （2）当小球在水平木板上停止下来时，求此时小球的滑行时间和距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，问小球是否会撞击小车，若不会撞击小车，求小球与小车的最近距离． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为，点是抛物线上一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合），过点作，垂足为点，连接交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段的长；（用含的式子表示） （3）若，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末教学质量监测试卷 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，依次分析每个选项的图形绕某点旋转后是否与自身重合，进而确定答案． 【详解】解：A项：图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D项：图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形无法重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列情境属于旋转的是（ ） A. 电流表指针来回摆动 B. 滑动变阻器的滑片来回移动 C. 热气球缓慢上升 D. 打针时推动针管 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 3. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数，常数项分别是（ ） A. 4， B. ，2 C. 2，1 D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式为，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项；将方程化为一般形式后，根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得一般形式：， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为1. 故选：D. 4. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 通过根与系数的关系，直接计算表达式的值． 【详解】解：∵ 方程， ∴ ， ∴ ，， ∴ . 故选：C． 5. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数等于除以中心角． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴边数， 故选：C． 6. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查反比例函数的图象性质．解题关键是明确“反比例函数，当时图象在第二、四象限”；易错点是混淆k的正负所对应的象限． 首先反比例函数中，；其次由图象在第二、四象限，得，即；最后解不等式得． 【详解】∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， 解得 ， 故选：C． 7. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值． 【详解】解：有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，其它开关闭合小灯都不发亮， 所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡不发光的概率是； 故选：D． 8. 小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点的位置，求的长．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】这道题主要考查初中数学中 “圆”​ 章节的核心知识点，弧长公式，平面直角坐标系，勾股定理，图形的旋转，解题的关键点在于确定半径和圆心角，易错点在于弧长公式记错或代入错误；根据点的坐标求出的长度，以及圆心角度数，代入公式即可． 【详解】过点作轴于点． ∵点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 即， 则． ∵在中， ， ∴． 故选D． 10. 如图，二次函数（为常数，）的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程的解是； ④． 其中正确的有（　　） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，结合一元二次方程根与系数的关系，进行逐项判断即可． 【详解】解：根据图象可得，该二次函数图象开口向下，交轴于正半轴， 则、， 由于对称轴在轴右侧， 则， ∴， ∴，故①错误； 当时，，即， 则，故②错误； 根据题意得，二次函数的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是， 则令得，， 此时该一元二次方程的解，， ∴， 则，故③④正确； 综上所述，正确的是③④， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后求出的值即可，解题的关键是正确理解反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中随机选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，采用列举法求解，总共有5种颜色，随机选择2种，共有10种等可能情况，正好选中淡与清是其中一种情况，因此概率为 ． 【详解】解：从焦、浓、重、淡、清五色中随机选择两色，那么有焦浓，焦重，焦淡，焦清，浓重，浓淡，浓清，重淡，重清，淡清等10种等可能情况，其中正好选中淡与清只有1种组合，因此概率为 ． 故答案为：． 14. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练登眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 根据“两天不练丢一半”，可得． 故答案为：． 15. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转（点对应点，点对应点）得到，点在上． （1）的大小为_____； （2）延长交于点，若，则的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，，得，根据旋转的性质，得到，结合解答即可； （2）根据题意，，，，得，,根据旋转的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握性质． 【详解】（1）解：根据题意，，， 得， 根据旋转的性质，得， 故； 故答案为：； （2）解：根据题意，，，， 得，, 根据旋转的性质，得,， 故，， 故， 解得， 故, 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当方法解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的常用解法是解决问题的关键． 先求出判别式，得到，再由一元二次方程求根公式，代入，，求解即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 17. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：把绕点逆时针旋转恰好得到 ，， ． 18. 某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． （1）填空：根据题意，可列方程： ； （2）我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2）多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【解析】 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 19. 某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文艺社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中 ； （2）已知该校有1200名学生，请估计“文艺社团”共有多少人？ （3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1） （2）（人） （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量解答即可． （2）利用样本估计总体计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，样本估计总体，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，画树状图，正确计算样本容量是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得文艺社团有15人，占比为， 故， 故， 故， 故 故答案为：20． 【小问2详解】 解：（人）． 答：“文艺社团”共有300人． 【小问3详解】 解：列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况， 恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求，，，的值； （2）若点与点关于轴对称，连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）的值为2，的值为，的值为1，的值为1 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形变化—轴对称，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得直线的表达式，求出点C的坐标，进而得到点D的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入，得， 反比例函数的表达式为． 把代入，得 ． 把点和点代入一次函数，得 ，解得 的值为2，的值为，的值为1，的值为1； 【小问2详解】 解：由（1）可知直线的表达式为， 在中，当时，， 点的坐标为， 又点与点关于轴对称， ， ． ； 【小问3详解】 解：根据图象知，不等式的解集为或． 21. 如图，四边形内接于，且为直径，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且平分 （1）求证：是的切线； （2）若，，求、的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点H， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）， 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）利用角平分线的概念，证明，即可得到，即可解答； （2）证明四边形是矩形，再结合勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点E， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 、的长分别是20、. 22. 已知中，，． （1）如图1，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间的数量关系为_____； （2）在（1）问中，连接，如图2，试探索线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在上述外取一点，连接，，，若，，，用上述旋转线段的方法，求出的长为_____． 【答案】（1） （2） 解：线段，，之间的数量关系为． 证明如下： ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）先证明，再证明，证明，等量代换即可得到． （3）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，证明，可以得证，然后应用勾股定理解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将线段绕点逆时针旋转得到，连接， ∵，， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴ 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据如下表格． 滑行时间 0 2 4 6 8 10 12 … 滑行速度 10 9 8 7 6 5 4 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 84 … 为观察与、与之间的关系，建立平面直角坐标系，并描出表中数据对应的点．（如图1、图2） （1）请你用平滑的曲线连接它们，观察图象，可以看出像我们学过的函数图象的一部分，请直接写出滑行速度与时间的函数解析式和滑行距离与时间的函数解析式（不要求写出的取值范围）； （2）当小球在水平木板上停止下来时，求此时小球的滑行时间和距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，问小球是否会撞击小车，若不会撞击小车，求小球与小车的最近距离． 【答案】（1）图象如图， ， （2）小球的滑行时间和距离分别为， （3）不会撞击，小球与小车的最近距离为 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的待定系数法求解析式，以及利用函数解决实际问题．解题关键在于熟练运用待定系数法准确求出函数解析式，再根据实际问题的条件建立方程或不等式求解． （1）设，可根据表格中两组与v的值代入方程，利用待定系数法求出k和；设，同样根据表格中两组t与s的值代入方程，用待定系数法求出a和． （2）先根据求出小球停下来（）时的时间t，再将该时间代入求出滑行距离s． （3）根据小车的速度分别表示出小球滑行距离s和小车行驶距离，根据小球不能撞上小车的条件列出方程判断出无解，即不会撞击，设小球与小车的距离为d，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设，当时，； 把，，代入得， 解得， 即； 设， ∵时，；时，， ∴ 解得． 即； 【小问2详解】 解：由，当时，， 解得． 把代入，得 ， 即小球的滑行时间和距离分别为，； 【小问3详解】 解：小球滑行距离，小车的行驶距离， 若小球能撞上小车，则 整理得， ，方程无解， 所以小球与小车不会相撞； 设小球与小车的距离为d，则， ， 当时，d有最小值． 即不会撞击，小球与小车的最近距离为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为，点是抛物线上一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合），过点作，垂足为点，连接交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段的长；（用含的式子表示） （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据抛物线的性质，确定点B，点C的坐标，再确定直线的解析式，再根据解析式确定点D的坐标， 则，解答即可． （3）设， 直线的解析式为，解得直线的解析式为：．设与的交点为G，故故， 根据三角形面积关系，构造不等式，构造二次函数确定取值范围，结合已知确定答案即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求不等式的解集，面积分割法，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为， 解得 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为，点C的坐标为， 又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合）， 故，且， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 令， 解得， 故， ∴. 【小问3详解】 解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为，点C的坐标为， 又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合）， 故，且， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设与的交点为G， 故 故， 故， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 当时，解得或， ∴时，t的取值范围是， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $