精品解析：河北张家口市桥西区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

张家口市桥西区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为小亮绘制的本班学生跳绳次数的箱线图，则该班跳绳次数的上四分位数为（ ） A. 132 B. 136 C. 144 D. 162 3. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 解方程组时，若将可得（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．算筹图2所表示的方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 10. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，同物几何？”其意思是：有一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，则这个正整数可以是（ ） A. 44 B. 163 C. 263 D. 338 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若则______0．（填、或）． 14. 如图是石家庄2024年国庆节7天的最低气温的统计结果，这7天最低气温的中位数是________． 15. 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 16. 已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 18. 如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，//，且，，求，的度数． 19. 如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求m，a的值； （2）当时，直接写出x取值范围． 20. 为了解全校800名学生本学期计划购买课外书的费用情况，小明随机调查了其中40名学生，并将结果绘制成扇形统计图． （1）分别求出这40名学生本学期计划购买课外书的费用的众数和平均数； （2）根据该调查，估计全校学生购买课外书的总花费（用科学记数法表示）． 21. 小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了苹果和梨，共花了26元；小丽买了苹果和梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？根据题意，小明列出方程组：，而小丽列出的是：，交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的． （1）他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ （2）直接写出苹果和梨的价格各为多少？ 22 甲、乙两地11月16﹣31日每日最高气温（单位：）依次如下： 甲地 15 12 12 12 12 12 15 15 15 15 8 8 5 9 9 9 乙地 15 14 18 12 12 12 13 13 15 15 9 5 9 10 12 10 （1）求甲地日最高气温数据的四分位数； （2）如图是利用计算机软件绘制的甲、乙两地日最高气温的箱线图（有残缺），结合（1）中的结论，你能做出什么判断？ 23. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． （1）①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； （2）若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 24. 某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 如图， A型板材规格是； B型板材规格是． 材料二 目前只能购得标准板材，如图． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下三种截法： 截法一：A型1块，B型2块； 截法二：A型2块，B型块； 截法三：A型0块，B型块． 任务一 直接写出材料三中的，的值； 任务二 公司现需要A型板材块，B型板材块． 设按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出与和与的函数关系式； 任务三 若用表示所购标准板材张数，求与的函数关系式，并直接指出当取何值时最小，最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口市桥西区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数且未知数的最高次数为1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，是二元一次方程，符合题意； B．方程只含一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C．方程中项次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D．方程只含一个未知数且最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 2. 如图为小亮绘制的本班学生跳绳次数的箱线图，则该班跳绳次数的上四分位数为（ ） A. 132 B. 136 C. 144 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图和四分位数，理解上四分位数的定义是解题的关键． 根据上四分位数的定义及图形即可得出答案． 【详解】解：从箱线图中可得，上四分位数对应箱子的右侧边缘，从图中可以看到，箱子的右边缘对应数值为144． 故选：C． 3. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，掌握不等式的性质是关键，解不等式，得到x的取值范围，再判断选项中符合条件的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 观察各选项，只有， 故选择：D． 4. 解方程组时，若将可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 通过将方程，消去x，得到关于y的方程，本题可解． 【详解】解： 由，得，． 故选：B． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 先解不等式，再把其解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， ， ， 把不等式的解集在数轴上表示如下： 故选：A． 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故选：B． 7. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 8. 我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．算筹图2所表示的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．理解题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 9. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 10. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为联立两个解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴直线（k，b为常数，且）与直线交点， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 故选A． 11. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查中位数及平均数的计算方法，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 分三种情况进行分析：当时，当时，当时，然后根据中位数及平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：当时，这组数据按从小到大顺序排列为x，8，10，10 由题意得， 则； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，x，10，10 由题意得， 则（不合题意，舍）； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，10，10，x 由题意得， 则； 综上所述：或12，符合的只有选项C． 故选：C． 12. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，同物几何？”其意思是：有一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，则这个正整数可以是（ ） A. 44 B. 163 C. 263 D. 338 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，先确定出除以21余2的最小正整数为23，此时也满足除以5余3，再确定出3，5，7的最小公倍数，即可得出结论． 【详解】解：∵一个正整数，除以3余2，除以7余2， ∴这个正整数除以21也余2， ∴除以21余2的最小正整数为23， 而， ∴满足条件的最小正整数为23， ∵3，5，7的最小公倍数为， ∴满足条件的所有正整数为（k为自然数）， ∴当时，这个正整数是23， 当时，这个正整数是128， 当时，这个正整数是233， 当时，这个正整数是338， 故只有D选项符合． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若则______0．（填、或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图是石家庄2024年国庆节7天的最低气温的统计结果，这7天最低气温的中位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，先把数据按着大到小或者小到大进行排序，位于中间位置的数为中位数，如果中间数据有两个，那么取它们的平均数为中位数，即可作答． 【详解】解：观察图中的数据： 则位于中间位置的数为 ∴这7天最低气温的中位数是． 故答案为： 15. 把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【解析】 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案：（或或，写出一种即可 ）． 16. 已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据所给解一元一次不等式的步骤，写出每步的依据即可． 【详解】解：由题知， 第一步的依据是：不等式的基本性质2， 第二步的依据是：不等式的基本性质1， 第三步的依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3． 18. 如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，//，且，，求，的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠BEC=∠A，在△ECB中，根据其内角和为180°，联立∠B-∠A=30°，即可先求出∠A、∠B的度数． 【详解】∵ ， ∴∠BEC=∠A， 在△ECB中，∵BE=CE， ∴∠B=∠BCE， ∵∠B+∠BCE+∠BEC=180°，即2∠B+∠A=180°， 联立∠B-∠A=30°， 解得∠A=40°，∠B=70°． 【点睛】考查了平行线的性质和等腰三角形的性质的知识，解题关键是找出各角的关系． 19. 如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求m，a的值； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）先求出点坐标，再将所得点坐标代入即可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， 所以点坐标为． 将点代入得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数的图象上方，且函数的图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 20. 为了解全校800名学生本学期计划购买课外书的费用情况，小明随机调查了其中40名学生，并将结果绘制成扇形统计图． （1）分别求出这40名学生本学期计划购买课外书的费用的众数和平均数； （2）根据该调查，估计全校学生购买课外书的总花费（用科学记数法表示）． 【答案】（1）众数为150元，平均数为162.5元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、由样本估计总体、科学记数法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和平均数的定义求解即可； （2）用（1）中计算的平均数乘以500即可得解． 【小问1详解】 解：由题中扇形统计图可知，这40名学生本学期计划购买课外书的费用的众数为150元， 平均数为（元）． 【小问2详解】 解：由（1）知，全校学生购买课外书的平均花费约为162.5元， 则全校学生购买课外书的总花费约为（元）． 21. 小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了苹果和梨，共花了26元；小丽买了苹果和梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？根据题意，小明列出方程组：，而小丽列出的是：，交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的． （1）他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ （2）直接写出苹果和梨的价格各为多少？ 【答案】（1）正确，他们产生分歧的原因是未知数的含义不同 （2）苹果的价格为10元，梨的价格为8元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据所列方程，找出未知数的含义是解题的关键． （1）根据可知，他们的方程组都正确，产生分歧的原因是设的未知数不同； （2）按照小明的思路，解方程组即可． 【小问1详解】 解：他们列的方程组都正确，他们产生分歧的原因是未知数的含义不同， 小明设的苹果的价格为元，梨的价格为元，而小丽设的梨的价格为元，苹果的价格为元； 【小问2详解】 解：按照小明的思路来解决，设苹果的价格为x元，梨的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：苹果的价格为10元，梨的价格为8元． 22. 甲、乙两地11月16﹣31日每日最高气温（单位：）依次如下： 甲地 15 12 12 12 12 12 15 15 15 15 8 8 5 9 9 9 乙地 15 14 18 12 12 12 13 13 15 15 9 5 9 10 12 10 （1）求甲地日最高气温数据的四分位数； （2）如图是利用计算机软件绘制的甲、乙两地日最高气温的箱线图（有残缺），结合（1）中的结论，你能做出什么判断？ 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、中位数，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，将甲地数据从小到大排序：5，8，8，9，9，9，12，12，12，12，12，15，15，15，15，15，然后根据四分位数的意义计算可以得解； （2）依据题意，结合箱线图的判断从箱线图和四分位数可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，将甲地数据从小到大排序：5，8，8，9，9，9，12，12，12，12，12，15，15，15，15，15， ∴第25百分位数，位置，对应第4项数据，得； 第60百分位数，位置，得； 第75百分位数，位置，对应第12项数据，得． 答：； 【小问2详解】 解：结合箱线图的判断从箱线图和四分位数可以得出以下结论： 平均气温：乙地的中位数（约 12）高于甲地的中位数（12），且整体箱线位置更高，说明乙地平均气温略高于甲地； 气温稳定性：乙地箱线更窄（四分位数范围更小），说明乙地气温波动更小，更稳定；甲地箱线较宽，气温波动更大，乙地整体气温分布更集中． 23. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美点”为点Q． （1）①求点的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为，求点P的坐标； （2）若点的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 【答案】（1）①；② （2）m的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查坐标的求解、一元一次方程、二元一次方程组的应用等知识点，熟知“美点”的定义是解题的关键． （1）①根据“美点”的定义即可求解； ②设点的坐标为，根据“美点”的定义列出方程组解出，，即可求解； （2）先表示出点的“美点”，再分在轴、轴两种情况讨论即可解答． 【小问1详解】 解：①点的坐标为， 它的“美点”坐标为，即． ②设点的坐标为， 由题意可知， 解得， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点， 它的“美点” 坐标为，即， 当位于轴上， ， 解得， 当位于轴上， ， 解得：． 综上所述，的值为或． 24. 某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 如图， A型板材规格是； B型板材规格是． 材料二 目前只能购得的标准板材，如图． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下三种截法： 截法一：A型1块，B型2块； 截法二：A型2块，B型块； 截法三：A型0块，B型块． 任务一 直接写出材料三中的，的值； 任务二 公司现需要A型板材块，B型板材块． 设按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出与和与的函数关系式； 任务三 若用表示所购标准板材的张数，求与的函数关系式，并直接指出当取何值时最小，最小值是多少？ 【答案】任务一：，；任务二：，；任务三：，当时，取最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数的值，熟练找出等量关系及一次函数的性质是解题的关键． （1）根据按截法二裁剪时，2块A型板材块的长为，用，与B型板的规格进行比较可得，按截法三裁剪时，3块B型板材块的长为，而4块B型板材块的长为，从而求得； （2）根据按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张，需用A型板材块、B型板材块，即可找出求出与和与的函数关系式； （3）根据与和与的函数关系式，即可得与的关系，进而求得，当时，最小，把代入即可求得的最小值． 【详解】解：任务一：， ， ，； 任务二：由题意得：，， ，； 任务三：由题意得：， ； x，y，z都是非负整数， ，且为2和3的公倍数， ∴当时，Q取最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $