专题11三角形中位线与梯形题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题11三角形中位线与梯形题型突破讲义 基础 过关题 1.等腰梯形的定义 2.直角梯形的定义 3.等腰梯形的性质定理 4.等腰梯形的判定定理 能力 提升题 5.与三角形中位线有关的求解问题 6.与三角形中位线有关的证明 7.三角形中位线的实际应用 拓展 拔高题 8.中点四边形 三角形的中位线（重点掌握） 一、基本概念 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段。 一个三角形有 3 条中位线。 二、核心定理（必背、必考） 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC,MN=BC 三、常见应用（必须会用） 求线段长度（已知一边求中位线，已知中位线求第三边） 证明两条线段平行 证明两条线段倍分关系（一半、两倍） 与平行四边形、矩形、菱形、中点四边形结合判断形状 四、易错点提醒 1.中位线 ≠ 中线： 2.中位线：连两边中点 3.中线：连顶点与对边中点 梯 形（重点掌握） 一、基本定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。 平行的两边叫底（上底、下底），不平行的两边叫腰。 二、特殊梯形（重点） 直角梯形：一腰垂直于底的梯形（有两个直角）。 等腰梯形：两腰相等的梯形。 三、等腰梯形的性质（必背） 1.等腰梯形同一底上的两个内角相等。 2.等腰梯形的对角线相等。 3.等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线。 四、等腰梯形的判定（会用） 1.两腰相等的梯形是等腰梯形（定义）。 2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 3.对角线相等的梯形是等腰梯形。 五、梯形中位线（常考拓展） 连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线。 性质：梯形中位线 平行于两底，且等于两底和的一半。EF=(AD+BC) 两章整体核心一句话 中位线：记住 “平行且一半”，会用它证平行、算长度、判形状。 梯形：重点抓等腰梯形的性质与判定，会加辅助线，会用梯形中位线公式。 【题型1.等腰梯形的定义】 1．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 2．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 3．下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 4．如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么 度．    【答案】105 【分析】作于，于，根据等腰直角三角形的性质用表示出及的长，由勾股定理及含30度直角三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和等于得出的度数即可． 【详解】解：如图，作于，于， 在中， ，， ， ，， ． 又， ， ， ， ， ． 故答案为：105．    【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰三角形的判定，难度一般，关键是巧妙作辅助线进行解答． 【题型2.直角梯形的定义】 5．在梯形中，，，，，，则 ． 【答案】9或3 【分析】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据勾股定理求出，分两种情况计算即可． 【详解】解：如图，在梯形中，过点作于， 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 则的长为9或3， 故答案为：9或3． 6．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 【答案】7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及含30度的直角三角形等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．过点作于，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由题意可知，，，利用直角梯形的性质证明四边形是矩形，再列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ，运动的速度都为每秒，，， ，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：7． 【题型3.等腰梯形的性质定理】 8．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．正三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形． 【详解】A：等腰直角三角形有1条对称轴； B：等腰梯形有1条对称轴； C：正方形有4条对称轴； D：正三角形有3条对称轴； 综上所述正方形对称轴条数最多， 故选：C． 9．在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为 ． 【答案】80 【分析】本题考查的是等腰梯形的性质，三角形中位线定理．连接，根据等腰梯形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵E、F、G、H分别为各边中点， ∴，，，， ∴四边形的周长， 故答案为：80． 10．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 11．如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，先根据三角形面积公式求出，证明，得到，再证明，得到，进一步证明，则． 【详解】解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：30．    解答题 12．如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【题型4.等腰梯形的判定定理】 13．下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，熟练掌握等腰梯形的判定：两腰相等的梯形为等腰梯形；对角线相等的梯形为等腰梯形；一组底角相等的梯形为等腰梯形．根据等腰梯形的判定方法和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误； B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误； C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误； D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确． 故选：D． 14．已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 15．已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出． 【详解】 A、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； B、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； C、∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∵， ∴四边形是等腰梯形． D、，，不能证明四边形是等腰梯形，错误； 故选C． 解答题 16．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型5.与三角形中位线有关的求解问题】 17．如图，在中，，点、分别是、的中点，则（   ）． A．6 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B 18．如图，在中，D、E分别为、的中点，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：是的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此即可求解． 【详解】解：∵D、E分别为、的中点， ∴， ， ∴． 故答案为：6 19．如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 20．如图，在中，为上一点，分别延长，至点，，使得，连接，且．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 首先根据已知条件判断出是的中位线，利用中位线性质得到线段和角的关系，再通过角的等量代换以及边的等量关系证明，最后根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而求出的长度． 【详解】解：由题意，得是的中位线， ，， ， ，． ， ． 又， ， ， ． 解答题 21．【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【题型6.与三角形中位线有关的证明】 .22．我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线 时，它的中点四边形一定是菱形． 【答案】相等 【分析】本题考查了四边形中点四边形的性质．连接四边形各边中点形成的中点四边形的各边，根据中位线定理，中点四边形的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线长度的一半，所以中点四边形的形状和原四边形的对角线性质有关． 【详解】解：四边形的中点四边形为平行四边形．若其是菱形，则四边相等，由于中点四边形的边长度为原四边形对角线长度的一半，因此原四边形的对角线和必须相等，才能使中点四边形的邻边相等，即邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 23．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 24．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 25．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 解答题 26．如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．连接，根据三角形的中位线定理得到，，同理推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接．   是的中点，H是的中点， ∴，且， 同理可知，且， ∴，且， 四边形是平行四边形． 【题型7.三角形中位线的实际应用】 27．如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：、分别是中点， 是的中位线， ， 米， 米， 、两点间的距离为16米， 故答案为：16． 28．张师傅想要知道一个池塘的宽度，由于无法直接测量，于是他在池塘前的地面取一点C（如图），使点C到A，B两点均可直接到达，然后找到和的中点D，E，测得的长为80，则池塘的宽度为（    ） A．160m B．140m C．120m D．100m 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D、E分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴m， 答：隧道的长度为160m， 故选A． 29．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作交AC于点D，交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作取BE边的中点，作FB交EF于，交BF于点，得到四边形，它的面积记作，…照此规律作下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据中点和平行的条件可求出四边形EDAF的边长为三角形的一半为，高为三角形高的一半为，求出S1的值，同理求出S2、S3的值，找出规律列出Sn的表达式． 【详解】∵E是BC中点，，， ∴ED、EF是△ABC的中位线， ∴ED=EF=AD=AF==， ∴四边形EDAF是菱形， ∵△ABC是等边三角形， ∴△ABC的高=， ∴菱形EDAF的高为， ∴S1===， 同理，四边形也是菱形，FF1==，菱形的高为=， ∴S2===， S3=== …… Sn=， ∴   = 故答案为：  ． 【点睛】本题考查了等边三角形和菱形，熟练掌握中位线的性质和菱形面积的计算方法，通过求菱形面积找出规律是解题关键． 30．如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①； ②； ③是等腰直角三角形； ④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质逐个验证即可． 【详解】如图，连接．    是等腰直角三角形 ∵点是的中点 同理可得：，结合（已证） ，故①正确． 是等腰三角形， 又是直角， 是等腰直角三角形，故③正确 过点P分别作，垂足为点M、N．如下图．   ，点是的中点 是三角形的两条中位线 ，故④正确． 连接．    假定点E与点N不重合． 由，为直角知，四边形是矩形． 又（前面已证）知，四边形是正方形． 则为等腰直角三角形． 由前面已证可知，也是等腰直角三角形． ∴． 在直角中，总有：． ∴． ∴ 即：． 由四边形是正方形知，， ∴． 只有当点E与点N重合时，． 故②不正确． 综上，正确的有①③④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定定理与性质、三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键． 解答题 31．如图，已知，在中，，点B是的中点，过点D作，，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，，点B是的中点，则，即可得到结论； （2）连接交于O，根据四边形是菱形得到，证明是的中位线，则，得到，，则，即可得到菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵点B是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点B是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于O，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵点B是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【题型8.中点四边形】 32．如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为 cm． 【答案】20 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：∵H、G是与的中点， ∴是的中位线， ∴cm， 同理cm，根据矩形的对角线相等， 连接， 得到：cm， ∴四边形的周长为20cm． 故答案是：20． 【点睛】本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质． 33．下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了中点四边形，熟知平行四边形，菱形，正方形和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，原说法正确； B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形，原说法错误； C、顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形，原说法错误； D、顺次连接菱形各边中点，所形成的四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误． 故选：A． 34．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 35．如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点， ∴A1B1∥AC，C1D1∥AC， ∴A1B1∥C1D1， 同理可得，A1D1∥B1C1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形 ∵A1B1∥C1D1，A1D1∥B1C1，AC⊥BD， ∴∠A1B1C1＝∠APC1＝∠AHD＝90°， ∴四边形A1B1C1D1是矩形； ∵A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点， ∴A1B1＝AC＝3，A1D1＝BD＝5， ∴矩形A1B1C1D1的面积＝3×5＝15， 同理，A2B2C2D2是菱形； 则A2B2C2D2的面积＝15×， A3B3C3D3的面积＝15×， A4B4C4D4的面积＝15×， A5B5C5D5的面积＝15×， AnBnCnDn的面积为15×， ∵AnBnCnDn的面积为， ∴，即，解得，； 故选：B 【点睛】本题考查的是中点四边形的性质，掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、根据图形的变化找出规律是解题的关键． 解答题 36．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可． 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接． 、分别是、中点 ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点 同理： 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11三角形中位线与梯形题型突破讲义 基础 过关题 1.等腰梯形的定义 2.直角梯形的定义 3.等腰梯形的性质定理 4.等腰梯形的判定定理 能力 提升题 5.与三角形中位线有关的求解问题 6.与三角形中位线有关的证明 7.三角形中位线的实际应用 拓展 拔高题 8.中点四边形 三角形的中位线（重点掌握） 一、基本概念 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段。 一个三角形有 3 条中位线。 二、核心定理（必背、必考） 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC,MN=BC 三、常见应用（必须会用） 求线段长度（已知一边求中位线，已知中位线求第三边） 证明两条线段平行 证明两条线段倍分关系（一半、两倍） 与平行四边形、矩形、菱形、中点四边形结合判断形状 四、易错点提醒 1.中位线 ≠ 中线： 2.中位线：连两边中点 3.中线：连顶点与对边中点 梯 形（重点掌握） 一、基本定义 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。 平行的两边叫底（上底、下底），不平行的两边叫腰。 二、特殊梯形（重点） 直角梯形：一腰垂直于底的梯形（有两个直角）。 等腰梯形：两腰相等的梯形。 三、等腰梯形的性质（必背） 1.等腰梯形同一底上的两个内角相等。 2.等腰梯形的对角线相等。 3.等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线。 四、等腰梯形的判定（会用） 1.两腰相等的梯形是等腰梯形（定义）。 2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 3.对角线相等的梯形是等腰梯形。 五、梯形中位线（常考拓展） 连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线。 性质：梯形中位线 平行于两底，且等于两底和的一半。EF=(AD+BC) 两章整体核心一句话 中位线：记住 “平行且一半”，会用它证平行、算长度、判形状。 梯形：重点抓等腰梯形的性质与判定，会加辅助线，会用梯形中位线公式。 【题型1.等腰梯形的定义】 1．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 2．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 3．下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 4．如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么 度．    【题型2.直角梯形的定义】 5．在梯形中，，，，，，则 ． 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 6．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 7．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 【题型3.等腰梯形的性质定理】 8.下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．正三角形 9．在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为 ． 10．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 11．如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    解答题 12．如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【题型4.等腰梯形的判定定理】 13．下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 14．已知在梯形中，，，，那么等于 度． 15．已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 解答题 16．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【题型5.与三角形中位线有关的求解问题】 17．如图，在中，，点、分别是、的中点，则（   ）． A．6 B．2 C．3 D． 18．如图，在中，D、E分别为、的中点，若的面积为，则的面积为 ． 19．如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 20．如图，在中，为上一点，分别延长，至点，，使得，连接，且．若，，则 ． 解答题 21．【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【题型6.与三角形中位线有关的证明】 .22．我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线 时，它的中点四边形一定是菱形． 23．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 24．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 25．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 解答题 26．如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    【题型7.三角形中位线的实际应用】 27．如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为 米． 28．张师傅想要知道一个池塘的宽度，由于无法直接测量，于是他在池塘前的地面取一点C（如图），使点C到A，B两点均可直接到达，然后找到和的中点D，E，测得的长为80，则池塘的宽度为（    ） A．160m B．140m C．120m D．100m 29．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作交AC于点D，交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作取BE边的中点，作FB交EF于，交BF于点，得到四边形，它的面积记作，…照此规律作下去，则的值为 ． 30．如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①； ②； ③是等腰直角三角形； ④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 解答题 31．如图，已知，在中，，点B是的中点，过点D作，，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【题型8.中点四边形】 32．如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为 cm． 33．下列说法正确的是（   ） A．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 B．顺次连接任意四边形各边中点的四边形是菱形 C．顺次连接矩形各边中点的四边形是矩形 D．顺次连接菱形各边中点的四边形是正方形 34．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 35．如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解答题 36．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $