2026届山东青岛市中考数学自编模拟卷（1）

· 2026届山东省青岛市中考数学模拟卷（1） · （满分120分，时间120分钟） 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）随着技术的不断进步和创新，人工智能正逐渐渗透到各个领域．以下有关人工智能的概念图形中属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2．（本题3分） 的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数．直接根据相反数的定义作答即可． 【详解】解： 的相反数是． 故选：C 3．（本题3分）在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（   ） A．1.581×109元 B．5.27×107元 C．5.027×107元 D．5.27×108元 【答案】D 【分析】利用这部电影在上映前三日平均每天的票房=这部电影在上映前三日的总票房，即可求出结论． 本题考查了科学记数法-表示较大的数，利用科学记数法表示出这部电影在上映前三日的总票房是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这部电影在上映前三日平均每天的票房为（元）． 故选：D． 4．（本题3分）下列运算正确的是【   】 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算法则逐一计算作出判断： A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 故选D． 5．（本题3分）方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 【答案】A 【分析】把a=1，b=k，c=1代入△=b2-4ac进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，再计算出关于k的方程即可． 【详解】∵a=1，b=k，c=1， ∴△=b2-4ac=k2-4×1×1=k2-4， ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴k2-4=0， k=±2， 故答案选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式的运用. 6．（本题3分）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为（  ） A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3） D．（–9，–4） 【答案】A 【详解】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的， 而点A(−1，4)的对应点为C(4，7)， ∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3， 则点B(−4，−1)的对应点D的坐标为(1，2). 故选：A 7．（本题3分）为满足市场对新冠疫苗需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产5万份疫苗，现在生产300万份疫苗所需的时间与更新技术前生产200万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设更新技术前每天生产万份，则更新技术后每天生产万份疫苗，根据“现在生产300万份疫苗所需的时间更新技术前生产200万份疫苗所需时间”即可得出关于的分式方程． 【详解】设更新技术前每天生产万份疫苗，则更新技术后每天生产万份疫苗， 依题意得：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产300万份疫苗所需的时间与更新技术前生产200万份疫苗所需时间相同”这一个隐含条件得出方程是解题的关键． 8．（本题3分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积(   ) A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小 【答案】C 【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，构造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性质，通过证明△DMG≌△DNH，把△DHN补到△DNG的位置，得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形DMCN的面积，即为定值． 【详解】解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC，如图， ∵ CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， DM= AD=AB，DN=BD=AB， ∴DM=DN， ∴四边形DMCN是正方形， ∴∠MDN=90°， ∴∠MDG=90°﹣∠GDN， ∵∠EDF=90°， ∴∠NDH=90°﹣∠GDN， ∴∠MDG=∠NDH， 在△DMG和△DNH中， ， ∴△DMG≌△DNH(AAS)， ∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积， ∵正方形DMCN的面积=DM2=AB2，   ∴ 四边形DGCH的面积AB2， ∵扇形FDE的面积=， ∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=（定值）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（共18分） 9．（本题3分）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 10．（本题3分）为了贯彻和落实“双减政策”，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程．为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为 名． 【答案】100 【分析】用整体1减去篮球、硬笔书法、戏剧赏析、剪纸所占的百分比，求出做豆腐课程所占的百分比，再用该学校500名学生乘以做豆腐课程所占的百分比即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，估计该学校500名学生中选择做豆腐课程的学生约为500×（1-30%-20%-14%-16%）=100（名）， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，依据扇形统计图求出做豆腐课程所占的百分比是解题的关键． 11．（本题3分）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形内接于， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 12．（本题3分）如图，在正方形中，，对角线和相交于点O，E为上一点，连接，点F为的中点，若，则的周长是 ． 【答案】25 【分析】本题考查正方形性质，勾股定理，三角形中位线性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 利用三角形中位线性质推出， 进而得到， 利用勾股定理算出，进而得到 ，再根据三角形周长公式计算解题． 【详解】解：∵正方形中，对角线和相交于点， ∴， 即为的中点， ， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ， ， 则的周长是， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 14．（本题3分）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根分别为和3； ④若点，，均在二次函数图象上，则； ⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向，对称轴计算公式和与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，则可判断①；根据对称轴计算公式可得，结合二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为可判断②；由对称性可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，据此可判断③；函数图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可判断④；当时，函数有最小值，最小值为，据此可判断⑤． 【详解】解：∵函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由对称性可知，二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为和3，故③正确； ∵函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，均在二次函数图象上，且， ∴，故④错误； ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴对于任意的实数m都有 ， ∴，故⑤错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（共78分） 15．（本题4分）已知：△ABC． 求作：⊙O，使它同时与AB、AC相切，且O点在BC上． （用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】作∠A的平分线交BC于点O，然后过点O作AB的垂线，垂足为P，以点O为圆心，OP为半径作⊙O即可． 【详解】解：如图，⊙O为所作． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质． 16．（本题8分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1），（2）无解． 【分析】本题考查求一元一次不等式的解集，分式方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1） 解①，得， 由②，得， ∴原不等式组的解集为． （2）方程两边同乘，得， 去括号，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 17．（本题6分）超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会．摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元． （1）摇奖一次，获一等奖的概率是多少？ （2）老李一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算． 【答案】（1），（2）参与摇奖划算，见解析． 【分析】（1）找到红色区域的份数占总份数的多少即为获得一等奖的概率， （2）游戏是否合算，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：（1）整个圆周被分成了16份，红色为1份，∴获得一等奖的概率为：， （2）转转盘：60×+50×+40×=20， ∵20元＞15元， ∴转转盘划算． 【点睛】本题主要考查了古典型概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中． 18．（本题6分）为测量某栋楼的高度，小丽与小明先从与楼底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得楼顶的俯角为，底部的俯角为，求该栋楼的高度．（参考数据：，，结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于，作于，如图所示，根据坡度定义，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，根据题意，利用矩形的判定得到四边形是矩形，结合矩形的性质及含的直角三角形性质，在得到，进而由勾股定理列方程求出，最后在中解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：过点作于，作于，如图所示： 沿斜面坡度为的斜坡前进到达点， ，且， 设，则在中，由勾股定理可得，即，解得或（负值不合题意，舍去）， ， ， 四边形是矩形，则， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得，解得，即， 在中，，则，解得， ， 答：该栋楼的高度是． 【点睛】本题考查三角函数测高，涉及坡度定义、勾股定理、解方程、矩形的判定与性质、含的直角三角形性质、解直角三角形等知识，根据题意，构造出直角三角形，利用三角函数求线段长是解决问题的关键． 19．（本题6分）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 【答案】(1)29，28， (2)甲队员表现更好 (3)乙在篮板方面表现的更好 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 故答案为：29，28，； （2）解：甲：， 乙：， ∵， ∴甲队员表现更好． （3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好． （①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．） 20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数与图形面积，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，求解即可． （2）先求出B点的坐标，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得， 解得：， ∴， 顶点坐标是； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∴． 21．（本题8分）小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形． （1）请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形． （2）小宇又发现：如图②时，菱形ABCD的周长最小，等于　 　； （3）如图③时菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3）17 【分析】（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形； （2）根据垂线段最短，当两纸条垂直放置时，菱形的周长最小，边长等于纸条的宽度； （3）当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，周长最大，作出图形，设边长为x，表示出CE＝8﹣x，再利用勾股定理列式计算求出x，然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵两条纸条宽度相同（对边平行）， ∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， 又∵AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）如图②，当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为2， 所以，菱形的周长＝4×2＝8． 故答案是：8； （3）如图③，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大， 设AB＝BC＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△DCE中，DC2＝DE2+CE2， 即x2＝（8﹣x）2+22， 解得x＝， 所以，菱形的周长＝4×＝17． 【点睛】本题是对菱形性质和一元二次方程解法的考查，熟练掌握菱形性质和一元二次方程解法是解决本题的关键. 22．（本题10分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 150 270 500元 餐椅 40 70 (1)商场计划购进餐桌，餐椅共100张且总进价低于5100元，求最多能购买多少张餐桌？ (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张，该商场计划将一半的餐桌成套销售（一张餐桌加四张椅子为一套），其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)最多能购买9张餐桌 (2)当购买餐桌30张，餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润为7950元 【分析】（1）设购买餐桌x张，则购买餐椅张，然后根据购进餐桌，餐椅共100张且总进价低于5100元列出不等式求解即可； （2）设购买餐桌a张，利润为w元，先列出w关于a的一次函数关系式，再求出a的取值范围即可利用一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设购买餐桌x张，则购买餐椅张， 由题意得，， 解得， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为9， ∴最多能购买9张餐桌； （2）解：设购买餐桌a张，利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴w随a增大而增大； ∵， ∴， ∴当时，w最大，最大为7950， ∴， ∴当购买餐桌30张，餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润为7950元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式和函数关系式是解题的关键． 23．（本题10分）问题提出： 在如图所示的正方形网格中，我们称格线的交点为格点，以格点为顶点的正方形称为“格点正方形”．如图所示正方形ABCD、EFGH都是“格点正方形”，那么像图中这种（即边长为8个单位）的正方形网格中“格点正方形”一共有多少个呢？ 问题转化： 我们可以把“格点正方形”分为两类：一类称作“正向正方形”，即“格点正方形”的边在格线上的，如正方形ABCD；另一类称作“斜向正方形”，即“格点正方形”的边不在格线上的，如正方形EFGH． 探究一： 我们先来研究“正向正方形”的个数和： ①在的正方形网格中，“正向正方形”的个数是1； ②在的正方形网格中， 边长为2的“正向正方形”的个数为1； 边长为1的“正向正方形”的个数为4； 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ③在的正方形网格中， 边长为3的“正向正方形”的个数为1； 边长为2的“正向正方形”的个数为4； 边长为1的“正向正方形”的个数为9； 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ④在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是： ； ⑤在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是： ． 探究二： 经过研究得到 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是0； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是1； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是6； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是20； 探究三： 将前面的研究结果制作成表格如下： 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 “正向正方形”的个数和 1 5 14 “斜向正方形”的个数和 0 1 6 20 “格点正方形”的总数 1 6 20 从表格中数据看出，“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系， 借此规律：在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是 ． 问题解决： 在的正方形网格中，“格点正方形”的总数是 个． 拓展延伸： 如果用表示的正方形网格中“格点正方形”的总数，那么 ． 【答案】30；204；30；50；55；50；105；50；540； 【分析】根据规律“正向正方形”和“斜向正方形”规律填空即可． 【详解】由题意得到规律： 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是； “斜向正方形”的个数是正方形的“格点正方形”的总数； ∴探究一： ④在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ⑤在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：． 探究三： 将前面的研究结果制作成表格如下： 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 “正向正方形”的个数和 1 5 14 30 55 “斜向正方形”的个数和 0 1 6 20 50 “格点正方形”的总数 1 6 20 50 105 从表格中数据看出，“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系， 借此规律：在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是50． 问题解决： 5×5 6×6 7×7 8×8 “正向正方形”的个数和 55 91 140 204 “斜向正方形”的个数和 50 105 196 336 “格点正方形”的总数 105 196 336 540 在的正方形网格中，“格点正方形”的总数是540个． 拓展延伸： 根据规律得： ∴ 【点睛】本题是一道找规律的试题，通过分析找出“正向正方形”和“斜向正方形”规律是解题的关键． 24．（本题12分）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，，，将沿着的方向以每秒的速度运动到图②中的位置，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，沿着的方向运动时间为秒， ①当为何值时，是菱形？请说明你的理由； ②能是矩形吗？若能，求出的值及此矩形的面积；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见详解． (2)①当秒时，四边形是菱形； ②能,的值为，及此矩形的面积． 【分析】（1）根据平移和全等三角形的性质可得，，即可得出，再根据全等三角形的性质易得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）①当秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形是菱形； ②根据矩形的性质可得，，在根据含的直角三角形可得，再根据勾股定理可得，，从而得出． 【详解】（1）证明：由题意可得， ∴， 根据平移的性质得到：． 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①当秒时，四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ②能．∵是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当四边形是矩形， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，平移和全等三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形，平行四边形，矩形和菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 试卷第2页，共24页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届山东省青岛市中考数学模拟卷(1) (满分120分，时间120分钟) 一、单选题（共24分） 1.(本题3分)随着技术的不断进步和创新，人工智能正逐渐渗透到各个领域.以下有关人工智能的概念图形中 属于中心对称图形的是() B 2.(本题3分)- 的相反数是() 2 A.25 B.-2V5 C.5 D.- 5 2 2 3.(本题3分)在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨.电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房 便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为() A.1.581×109元B.5.27×107元 C.5.027×107元 D.5.27×108元 4.(本题3分)下列运算正确的是【】 A.(a3=a7 B.a6÷a3=a2 C.(2ab)°=6a3b3 D.-a5a5=-a0 5.(本题3分)方程x2+a+1=0有两个相等的实数根，则k的值是() A.±2 B.2 C.-2 D.3 6.(本题3分)已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1) 的对应点D的坐标为() A.(1,2) B.(2,9) C.(5,3) D.(-9,-4) 7.(本题3分)为满足市场对新冠疫苗需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天 比更新技术前多生产5万份疫苗，现在生产300万份疫苗所需的时间与更新技术前生产200万份疫苗所需时间相 同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得() A.300-200 B.300-200 300_200 D.300-200 x-5x C. xx+5 x+5 x x x-5 8.(本题3分)如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF, 点C恰在EF上，设∠BDF=a(O°<a<90°)，当a由小到大变化时，图中阴影部分的面积() 1/10 B D E A.由小到大 B.由大到小 C.不变 D.先由小到大，后由大到小 二、填空题（共18分） 9.(本题3分)计算：(5+3-)=一 10.(本题3分)为了贯彻和落实“双减政策”，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、 戏剧赏析五个课程.为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规 定每人必须并且只能选择其中一个课程)，并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七 年级500名学生中选择做豆腐课程的学生约为名. 戏剧赏析 剪纸 14%/ 16% 篮球 30% 做豆腐 硬笔书法 20% 11.(本题3分)如图，四边形ABCD内接于O0,AB是O0的直径，点E在⊙0上，∠ADC=125°，则∠BEC 的度数为 B E 12.(本题3分)如图，在正方形ABCD中，AD=15,对角线AC和BD相交于点O,E为BC上一点，连接AE ,点F为AE的中点，若OF=3.5,则△BEF的周长是 2/10 13.(本题3分)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2.若点P是ABC内一点，则 PA+PB+PC的最小值为 14.(本题3分)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，对称轴为 直线x=1,结合图象给出下列结论： x=1 -1八O ①abc>0; ②3a+c=0; ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-1和3； ④若点(-2y),(0,y),(3,y均在二次函数图象上，则y2<乃<3； ⑤a+b<m(am+b)(m为任意实数).其中正确的结论有_ 三、解答题（共78分) 15.(本题4分)己知：△ABC. 求作：⊙O,使它同时与AB、AC相切，且O点在BC上. (用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.) 3/10 C -4x≤-x+6 16.(本题8分)(1)解不等式组： 5x+2 ≤-19 3 (2)解方程： x+14 x-1x2-1 =1. 17.（本题6分)超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会.摇奖机是一个圆形 转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元.一次性购物 满300元者，如果不摇奖可返还现金15元. (1)摇奖一次，获一等奖的概率是多少？ (2)老李一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算，请你帮他算算. 蓝 黄 红 蓝 蓝 黄 18.(本题6分)为测量某栋楼的高度，小丽与小明先从与楼底端A在同一水平线上的点C出发，沿斜面坡度为 i=3:√5的斜坡CD前进10V14m到达点D,在D处测得楼顶B的俯角为53°，底部A的俯角为60°，求该栋楼的 高度.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3结果保留根号） B 19.(本题6分)为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八 年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况. 4/10 信息1：甲的得分情况：20,14,28,30,32,32： 乙的得分情况：24,28,24,28,28,27 信息2： 甲、乙篮板箱线图 16 14 12 0 8 甲 信息3：技术统计表 平均每场篮 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 篮板方差 板 甲 26 32 m 9 S 乙 26.5 n 27.5 8 si 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的m=,1=, S驿S2(填“>=”或“<”) (2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队 员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 20.(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-bx+c的图象经过点A(-1,0),C(0,-3),与x轴交 于点A、B(点A在点B左侧). B (1)求二次函数的解析式及顶点坐标： 5/10 (2)求B点的坐标，并求出ABC的面积. 21.(本题8分)小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形. (1)请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形， (2)小宇又发现：如图②时，菱形ABCD的周长最小，等于一； (3)如图③时菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长. D D B 图① 图② 图③ 22.(本题10分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 150 270 500元 餐椅 40 70 (1)商场计划购进餐桌，餐椅共100张且总进价低于5100元，求最多能购买多少张餐桌？ (2)若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张，该商场计划将一 半的餐桌成套销售（一张餐桌加四张椅子为一套），其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得 最大利润？最大利润是多少？ 23.（本题10分)问题提出： 在如图所示的正方形网格中，我们称格线的交点为格点，以格点为顶点的正方形称为“格点正方形”.如图所示正 方形ABCD、EFGH都是“格点正方形”，那么像图中这种8×8（即边长为8个单位）的正方形网格中“格点正方形” 一共有多少个呢？ 问题转化： 我们可以把“格点正方形”分为两类：一类称作“正向正方形”，即“格点正方形”的边在格线上的，如正方形ABCD: 另一类称作“斜向正方形”，即“格点正方形”的边不在格线上的，如正方形EFGH. 6/10 H 探究一： 我们先来研究“正向正方形”的个数和： ①在1x1的正方形网格中，“正向正方形”的个数是1； ②在2×2的正方形网格中， 边长为2的“正向正方形的个数为1： 边长为1的“正向正方形的个数为4： 在2×2的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：1+4=12+22=5； 边长为2 边长为1 ③在3×3的正方形网格中， 边长为3的“正向正方形”的个数为1： 边长为2的“正向正方形”的个数为4： 边长为1的“正向正方形的个数为9： 在3×3的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：1+4+9=12+22+32=14； 边长为3 边长为2 边长为2 边长为2 边长为2 边长为1 ④在4×4的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：一： 7/10 ⑤在8x8的正方形网格中，“正向正方形的个数和是：-一 探究二： 经过研究得到 1×1的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是0： 2×2的正方形网格中，“斜向正方形的个数和是1： 3×3的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是6： 4×4的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是20； 探究三： 将前面的研究结果制作成表格如下： 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 “正向正方形”的个数和 1 5 14 8/10 “斜向正方形”的个数和 0 6 20 “格点正方形”的总数 6 20 从表格中数据看出，“斜向正方形的个数和与“格点正方形的总数有非常紧密的联系， 借此规律：在5×5的正方形网格中，“斜向正方形的个数和是_· 问题解决： 在8×8的正方形网格中，“格点正方形”的总数是_个. 拓展延伸： 如果用乙表示n×n的正方形网格中“格点正方形”的总数，那么(Z02+乙201)-(Z221+Z00）=- 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 “正向正方形”的个数和 1 5 14 30 55 “斜向正方形”的个数和 0 6 20 50 “格点正方形”的总数 1 6 20 50 105 5×5 6×6 7×7 8×8 “正向正方形”的个数和 55 91 140 204 “斜向正方形”的个数和 50 105 196 336 “格点正方形”的总数 105 196 336 540 24.(本题12分)如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形， ∠A=100°，∠ACB=60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动到图②中△DFE的位置，连接 AF,CD. B E D D 图① 图② (1)求证：四边形AFDC是平行四边形； (2)若AC=4cm,BC=10cm,△DFE沿着BE的方向运动时间为t秒， 9/10 ①当t为何值时，口AFDC是菱形？请说明你的理由； ②▣AFDC能是矩形吗？若能，求出t的值及此矩形的面积；若不能，说明理由. 10/10