精品解析：福建漳州市2025-2026学年上学期期末教学质量检测八年级数学试卷

2025－2026学年上学期教学质量检测 八年级数学试卷（北师大版） （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. 23 D. 0 2. 下列四个点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确是（ ） A B. C. D. 4. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据是3和18 5. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. －2 D. 2 6. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”，以下假设正确的是（ ） A. 假设一个三角形中有两个锐角 B. 假设一个三角形中有两个直角 C. 假设一个三角形中没有直角 D. 假设一个三角形中有三个直角 7. 学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（ ） A. 87分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 9. 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 81的算术平方根是______． 12. 比较大小_____ 13. 在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是__________ 14. 命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等．”是________．（填“真命题”或“假命题”） 15. 小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为________． 16. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，为直线上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组： 19. 漳州市博物馆（点）、漳州艺术馆（点）、漳州城市展示馆（点）以品字形布局坐落于九龙江南岸，其中博物馆与艺术馆沿直线分布，两馆相距40米． 如图所示，1个单位长度代表10米，以漳州市博物馆（点）为原点，、两点所在直线为轴，建立平面直角坐标系．漳州城市展示馆坐标为． 根据以上信息完成下列问题： （1）在图中画出，并将向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到 （2）直接写出的坐标和的面积 20. （1）尺规作图：已知，过点在线段上方作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图中，在射线上截取，连接，求证： 21. 知识链接： 一切浸在液体或气体中的物体，都会受到液体或气体对它向上托举的力，这个力被称为浮力． 实验背景： 为探究浮力与浸水深度的关系，小明搭建了如图1所示的实验装置：下方是盛有水的烧杯，上方用弹簧测力计悬挂着一个圆柱体．实验时，将圆柱体缓慢竖直下降，逐步浸入水中；当圆柱体完全浸没后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 弹簧测力计示数 （1）观察表中数据与图2的图象，猜想与之间的函数类型，写出关于的函数关系式，并选取表中一组数据对关系式进行验证． （2）当圆柱体完全浸入水中后，弹簧测力计示数保持恒定．结合（1）中得到的函数关系式，求该圆柱体的高度，并计算此时圆柱体受到的浮力大小． 22. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 96 乙公司套餐 88 90 根据以上信息，请回答下列问题： （1）__________ （2）从方差的角度看，_____（填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； （3）结合以上统计数据，你认为哪家公司套餐的品质较好？（请说明理由） 23. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进两类图书，已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元． （1）两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划购进两类图书本，其中类图书的购进数量不少于本，已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，设购进类本，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 24. 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 课题查阅资料 神奇加密有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如、、，这26个字母依次对应这26个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数对应的字母为密文． 解密规则 运算规则（x、均为1∽26的自然数）： 加密：①被4除余1，；②被4除余2，； ③x被4除余3，；④被4整除， 解密：① ② ③ ④ 举例说明 将明文转换成密文：，即密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 解决问题 漳州芗城文化底蕴深厚，“文庙”“卤面”是其特色名片，下面结合这些元素解决密码问题． （I）将明文“文”（对应首字母）加密1次，求对应的密文①_____ （II）将密文“”（对应“卤”字加密后的字母）解密，求对应的明文②_____ （III）加密可以重复进行，按照以上程序加密明文重复加密2025次，求此时明文对应的密文． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点  （1）求直线的解析式； （2）点是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点的坐标； （3）已知为的中点，点是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期教学质量检测 八年级数学试卷（北师大版） （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. 23 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：，23，0是整数，为有理数，为无理数． 故选：B． 2. 下列四个点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴观察各选项可知在第二象限． 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 4. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（ ） A. 这组数据下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据是3和18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：A．这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项符合题意； C．这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．箱线图下边缘是3，上边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. －2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，对于，当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质，当小于0时，函数值y随x的增大而减小，列不等式计算即可． 【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而减小， ，即， 观察选项，，符合条件， 故选：C． 6. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”，以下假设正确的是（ ） A. 假设一个三角形中有两个锐角 B. 假设一个三角形中有两个直角 C. 假设一个三角形中没有直角 D. 假设一个三角形中有三个直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法．用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”，首先应假设“一个三角形中有两个内角是直角”，然后从这个假设出发，进行推理，如果推出矛盾，就说明假设不成立，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”，首先应假设一个三角形中有两个内角是直角， 故选：B． 7. 学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（ ） A. 87分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算．根据题目中的得分和对应的百分比，将各分数乘以各自的比例后相加，即可得到总成绩． 【详解】解：礼仪服装得分为80分，占，即分； 语言表达得分为90分，占，即分． 因此，该同学的成绩为分． 故选：A． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺， 由勾股定理得： ， 解得 ， 即折断处离地面的高度是尺． 故选：D． 9. 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 10. 如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 81的算术平方根是______． 【答案】 9 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根．根据定义直接求解即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义，81的算术平方根是， ∵， ∴． 故答案为9． 12. 比较大小_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，立方根的定义，将3转化为即可解答． 【详解】解：，， ，即， 故答案：． 13. 在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是__________ 【答案】54 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理可判断出为直角三角形，然后再求面积即可． 【详解】解：， 为直角三角形， 这个三角形的面积是， 故答案为：54 14. 命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等．”是________．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，假命题．熟练掌握“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”是解题的关键． 利用平行线的性质判断命题的真假即可． 【详解】解：由题意知，“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”，错误，是假命题， 故答案为：假命题． 15. 小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，为直线上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点即为所求，求出两点的坐标，据此可得出及的度数，根据轴对称的性质得出是等腰直角三角形，故可得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得出点坐标． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点即为所求， ∵直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴是线段的垂直平分线， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解二元一次方程组，待定系数法求解析式，一次函数的性质，轴对称的性质——最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及立方根的计算； （1）根据二次根式的乘法以及立方根进行计算即可求解； （2）根据平方差公式，二次根式的乘法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ， 得，解得， 将代入①，得，解得， 所以方程组的解是． 19. 漳州市博物馆（点）、漳州艺术馆（点）、漳州城市展示馆（点）以品字形布局坐落于九龙江南岸，其中博物馆与艺术馆沿直线分布，两馆相距40米． 如图所示，1个单位长度代表10米，以漳州市博物馆（点）为原点，、两点所在直线为轴，建立平面直角坐标系．漳州城市展示馆的坐标为． 根据以上信息完成下列问题： （1）在图中画出，并将向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到 （2）直接写出的坐标和的面积 【答案】（1）见解析 （2），，，的面积为 【解析】 【分析】本题考查平移作图，平移的坐标变化，坐标系中三角形的面积，掌握平移作图与坐标变化是解题的关键． （1）利用平移性质得到点A、B、C的对应点，，，再顺次连接即可得到， （2）直接由图可得各点坐标，根据三角形的面积公式求得的面积； 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：，，， 的面积为 20. （1）尺规作图：已知，过点在线段上方作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图中，在射线上截取，连接，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作平行线，全等三角形的性质与判定，平行线的判定． （1）作，即可求解． （2）证明得出，即可证明． 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图，在射线上截取 由（1）可知， 且， ∴ ， ． 21. 知识链接： 一切浸在液体或气体中的物体，都会受到液体或气体对它向上托举的力，这个力被称为浮力． 实验背景： 为探究浮力与浸水深度的关系，小明搭建了如图1所示的实验装置：下方是盛有水的烧杯，上方用弹簧测力计悬挂着一个圆柱体．实验时，将圆柱体缓慢竖直下降，逐步浸入水中；当圆柱体完全浸没后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 弹簧测力计示数 （1）观察表中数据与图2的图象，猜想与之间的函数类型，写出关于的函数关系式，并选取表中一组数据对关系式进行验证． （2）当圆柱体完全浸入水中后，弹簧测力计示数保持恒定．结合（1）中得到的函数关系式，求该圆柱体的高度，并计算此时圆柱体受到的浮力大小． 【答案】（1）猜想与之间满足一次函数关系，，验证见解析 （2）圆柱体的高度，此时圆柱体受到的浮力为9.6N 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）观察表格发现弹簧测力计的初始示数为，h每增加，F减少，由此可猜想F与h的函数类型是一次函数，可设，再从表格中找两个相对简单的数值代入求出待定系数，最后选一对数值进行验证； （2）观察函数图像发现，当时，弹簧测力计的示数不再变化，将代入（1）中关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：猜想F与h之间满足一次函数关系， 设F与h之间的函数表达式为，把，与，代入，得解得 ∴， 验证：当时，， ∴符合. 故答案为猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证符合. 【小问2详解】 观察函数图像发现，当时，弹簧测力计的示数不再变化， 即浮力保持不变，所以圆柱体的高度 ∴当即时， ∴浮力： 答：圆柱体的高度，此时圆柱体受到的浮力为 22. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 96 乙公司套餐 88 90 根据以上信息，请回答下列问题： （1）__________ （2）从方差角度看，_____（填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； （3）结合以上统计数据，你认为哪家公司套餐的品质较好？（请说明理由） 【答案】（1）， （2）乙 （3）乙（或者甲）公司套餐的品质较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差的计算以及利用这些统计量对数据进行分析和比较，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键． （1）将甲公司套餐得分从小到大排列后，根据中位数的定义找出中间位置的数得到．在乙公司套餐得分中出现次数最多的数即为众数； （2）计算甲、乙两家公司套餐得分的方差，根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较两家公司方差大小来判断哪家公司套餐得分更稳定． （3）综合平均数、中位数、众数以及方差等统计量，分析哪家公司套餐品质较好． 【小问1详解】 甲公司套餐得分从小到大排列为，中间位置的数是， ∴． 乙公司套餐得分中出现的次数最多， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：甲公司套餐得分的方差， 乙公司套餐得分的方差， ∴， ∴乙公司套餐的得分较稳定； 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：我认为甲公司套餐的品质较好，理由： 从众数看，甲公司套餐得分众数，乙公司套餐得分众数，甲公司众数更高． 我认为乙公司套餐的品质较好，理由： 从方差看，乙公司套餐得分方差更小，说明乙公司套餐得分更稳定， 从中位数看，甲公司套餐得分中位数是，乙公司套餐得分中位数，乙公司中位数更高． （分析合理即可）． 23. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进两类图书，已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元． （1）两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划购进两类图书本，其中类图书的购进数量不少于本，已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，设购进类本，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元 （2）当购进类图书本，类图书本时，该书店所获利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程组与函数关系式是解本题的关键． （1）设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元． 根据题意建立方程组作答即可； （2）设购进类图书本，利润为；再列出一次函数解析式，结合函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元． 根据题意得：， 解得， 答：类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元 【小问2详解】 解：设购进类图书本，利润为 随的增大而减小且 当时有最大值，最大值为 答：当购进类图书60本，类图书40本时，该书店所获利润最大，最大利润为320元. 24. 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 课题查阅资料 神奇的加密有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如、、，这26个字母依次对应这26个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数对应的字母为密文． 解密规则 运算规则（x、均为1∽26的自然数）： 加密：①被4除余1，；②被4除余2，； ③x被4除余3，；④被4整除， 解密：① ② ③ ④ 举例说明 将明文转换成密文：，即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 解决问题 漳州芗城文化底蕴深厚，“文庙”“卤面”是其特色名片，下面结合这些元素解决密码问题． （I）将明文“文”（对应首字母）加密1次，求对应的密文①_____ （II）将密文“”（对应“卤”字加密后的字母）解密，求对应的明文②_____ （III）加密可以重复进行，按照以上程序加密明文重复加密2025次，求此时明文对应的密文． 【答案】（I）；（II）；（Ⅲ） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （I）根据将明文转换成密文的方法计算即可求解； （II）根据将密文转换成明文的方法计算即可求解； （Ⅲ）根据将明文转换成密文的方法计算出前几项，找到规律，根据规律即可求解； 【详解】解：（I） 故答案为：． （II） 故答案为：． （Ⅲ）解：加密次得，加密第次 ，； 加密第3次加密第4次 加密第5次；加密第6次 加密第7次第7次加密结果回到初始明文数字2（），形成“2→13→23→12→3→7→8→2”的7步循环 ， 所以加密次，得数字明文对应的密文是． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点  （1）求直线的解析式； （2）点是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点的坐标； （3）已知为的中点，点是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，结合的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出，设，分两种情况：①时，②时，分别求得的值，进而求得点的坐标； （3）分类讨论，①当点为直角顶点时，②当点为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴，轴分别交于点，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 小问2详解】 解：∵，，． ∴，， ∴， 设，， 当，即时， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵，，为的中点， ∴点的坐标为 当点为直角顶点时，如图，过点作轴于，过点作交延长线于，交轴于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴点的坐标为或 当点为直角顶点时，如图，过点作轴于，过点作轴于， 同①可得， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及分类讨论思想等．在中注意待定系数法的应用步骤，在中利用三角形的面积公式是解题的关键，在中确定出点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $