精品解析：河南省郑州外国语学校2025-2026学年高二上学期期末数学试题

郑州外国语学校2025—2026学年高二上学期期末试卷 数学 （120分钟 150分） 一､单选题（本大题8个小题，每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】由方程得直线斜率， ∵，∴. 故选：C. 2. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解的值. 【详解】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 3. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 4. 已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，进而可求得，可求. 【详解】由已知得，焦点，则. 故选：C. 5. 已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆上恰有两个点到直线的距离等于1，再确定圆心到直线的距离的取值范围，最后利用点到直线的距离公式求解b的取值范围即可. 【详解】因为圆的方程为 ，因此圆心为 ，半径 ， 因为直线 可化为 ， 所以圆心 到直线的距离为， 又因为圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以，代入 ， 得， 即，整理得， 解得. 故选：D. 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径；然后根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，由此可判断圆心的轨迹为椭圆；求出长半轴长和短半轴长即可得到动圆圆心的轨迹方程. 【详解】依题意，，圆心为，半径为，，圆心为，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，所以椭圆的短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 7. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 8. 若曲线与圆恰有一个公共点，则实数m的值为（ ） A. e B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】将曲线与圆恰有一个公共点，转化为与圆相切，列出关于切点横坐标与实数的方程组，求解可得实数m的值. 【详解】因为曲线与圆恰有一个公共点，所以曲线与圆相切. 设切点横坐标为， 由，得； 由，结合图象得. 则，可得． 故选：D. 二､多选题（本大题3个小题，每题6分，共18分，部分答对得部分分） 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 10. 弦经过抛物线的焦点，设、，下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 以弦为直径的圆与准线相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用抛物线的焦半径公式可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断C选项；利用弦长公式可判断B选项；利用抛物线的焦点弦公式以及直线与圆的位置关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，准线方程为， 由抛物线的焦半径公式可得，A错； 对于BC选项，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，B对C对； 对于D选项，弦的中点为，点到准线的距离为， 由焦点弦长公式可得，所以以弦为直径的圆与准线相切，D对. 故选：BCD. 11. 已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的几何性质可判断A选项；利用圆的几何性质以及椭圆焦半径的最值可判断BC选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A选项，因为，故点在圆内， 又因为，且圆的半径为， 故，当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当、为椭圆的右顶点时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当、分别为椭圆的右、左顶点时，等号成立，C对； 对于D选项，取椭圆的左焦点，则， 所以 ， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，D对. 故选：ACD. 三､填空题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【详解】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 故答案为：. 13. 若函数在上单调，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出两条渐近线的方程分别为和，从而焦点所在直线的方程为，求出实轴顶点坐标可得，再结合求解. 【详解】由题意，当趋于无穷大时，， 可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为， 依据题意重新建立直角坐标系， 以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴， 由解得或 记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 可得，又，所以， 故此时双曲线的标准方程为． 故答案为： 四､解答题（共5题，共77分，写清楚必要的文字说明､计算､推理过程） 15. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）根据线面角的向量求法即可求出. 【小问1详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以 【小问2详解】 在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令，则，，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知圆经过点和，且圆心直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程，结合圆心在直线上，即可求解； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为 【小问2详解】 由（1）知，圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）分离参数，求解新函数的最值可得答案. 【小问1详解】 由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知不等式，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，所以. 18. 已知数列为正项数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由递推式可得，结合，即可得到； （2）根据题意作差得，解得，再检验时，即可； （3）根据题意，再由裂项相消法即可求解． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 作差得，，所以， 令，所以，检验成立，所以； 【小问3详解】 因为， 所以． 19. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，使得恒为定值 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合离心率求解的值即可得解； （2）法一：先求出直线、的方程，设角平分线上任意一点为，则，化简求解； 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点），由于，则，再由，即可得解； 法三：设角平分线与轴交于点，根据可解得，即可得解； （3）设直线方程为，联立方程组，利用根于系数关系化简即可得解. 【小问1详解】 设椭圆方程为（）， 因为椭圆经过点，所以， 又离心率，，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：，，，则直线方程为， 直线方程为， 设角平分线上任意一点为，则， 得或， 因为斜率为正，所以直线方程为. 法二：设，（点为的角平分线所在直线与轴交点）， 由于，则， 故，由于是锐角， 则，，所以， 直线的斜率为， 故直线的方程为. 法三：设角平分线与轴交于点， 则，即， 故，得， 所以，所以，故直线的方程为. 【小问3详解】 设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 故当时，使得恒为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025—2026学年高二上学期期末试卷 数学 （120分钟 150分） 一､单选题（本大题8个小题，每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 若曲线与圆恰有一个公共点，则实数m的值为（ ） A e B. 2 C. D. 1 二､多选题（本大题3个小题，每题6分，共18分，部分答对得部分分） 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 10. 弦经过抛物线的焦点，设、，下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 以弦为直径的圆与准线相切 11. 已知点的坐标为，点在以为圆心的圆上运动，点在椭圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 三､填空题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，且，则___________． 13. 若函数在上单调，则实数的取值范围是__________. 14. 某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为__________． 四､解答题（共5题，共77分，写清楚必要的文字说明､计算､推理过程） 15. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程. 17 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知数列为正项数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 19. 已知椭圆：（）经过点，，分别为的左、右焦点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为定值?若存在，求出及该定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $