精品解析：海南省海口实验中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级期末考试数学试题 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 2025年11月29日，海南城市足球联赛正式开赛，为了清晰统计球队的净胜球情况，赛事方规定：若某球队进球数比失球数多3个，则净胜球记为，那么进球数比失球数少2个时，净胜球应记为（   ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查相反意义的量，理解题意是解决本题的关键． 根据净胜球的规定，进球数少于失球数记作负数，则少2个应记作． 【详解】解：∵球队进球数比失球数多3个，则净胜球记为， ∴进球数比失球数少2个时，净胜球应记为， 故选：A． 2. 如图是一个长方体被截去一角后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图；找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中. 【详解】解：从上面看，得到的图形是矩形以及右下角有一道斜线， 故选：A． 3. 2025年国庆与中秋双节叠加形成“超级黄金周”，全国旅游市场迎来爆发．经文化和旅游部数据中心测算，国庆中秋假日8天，全国国内出游总花费约8091亿元．数据809100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据809100000000用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 已知代数式的值是2，则代数式的值是（   ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是求代数式的值，利用整体代入法求代数式的值是解题关键． 由已知，将代数式变形为，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程．去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解： 去分母得到，， 解得， 当时，， ∴原分式方程的解为， 故选：D 6. 如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，黑棋①的坐标为，则白棋④的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系的坐标确定，关键是通过已知点的坐标确定坐标系的位置与方向．根据白棋②和黑棋①的坐标，明确坐标轴的正方向与单位长度，进而结合网格确定目标点的坐标． 【详解】解：通过白棋②的坐标和黑棋①的坐标可以确定原点在白棋②右侧格，上方格的位置， 白棋④的坐标为． 故选：． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则进行计算，判断即可． 【详解】解：A．，故A选项错误，不符合题意； B．，故B选项错误，不符合题意； C．，故C选项正确，符合题意； D．，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 8. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解． 详解】解：如图，∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形对边平行得出内错角相等，结合角平分线性质得到等腰三角形，进而求出的长度，再根据平行四边形对边相等确定的长． 由作图步骤确定是的角平分线；利用平行四边形的性质，得，结合角平分线得，故为等腰三角形，；根据及，算出；由平行四边形对边相等，得． 【详解】解：由作图步骤①②③可知，平分，即． ∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形对边平行且相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴， ∴（等角对等边）． 已知，且点E在上， ∴． ∵（平行四边形对边相等）， ∴． 故选：D． 11. 如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为20，则的长为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，理解题意是解决本题的关键． 由菱形的性质可得，，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：在菱形中，其周长为20，， ，，，， ， ，， ． 故选：C． 12. 如图，的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．由切线的性质可得，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 边与相切， ， ， ，与是所对的圆心角和圆周角， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________． 【答案】4（答案不唯一，满足均可） 【解析】 【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可． 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键． 15. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，通过证明可得，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解答本题的关键． 16. 如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图： 由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算与解不等式 （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂公式，求立方根，乘方的定义，解不等式组等知识，掌握相关运算法则公式和方法是解题的关键． （1）根据零指数幂公式，立方根的定义，乘方的定义求解即可； （2）根据解一元一次不等式组一般步骤求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ： 解得， ： 解得， ∴不等式组的解集为． 18. 北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 2件 1件 350元 第二周 1件 2件 400元 求、两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？ 【答案】A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，找准等量关系，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元， 根据题意列方程组得， 得， 解得， 将代入中，得 解得， ∴原方程组的解为 答：A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元． 19. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）频数分布直方图中B等级有__________人，扇形统计图中D等级所对应的圆心角为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约__________人； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率______． 【答案】（1）50； （2）20；36 （3）640 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． （1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出等级、等级的人数，最后根据中位数是第25、26个数据的平均数，求解作答即可； （2）由（1）知等级的人数；根据扇形统计图中等级所占总人数的比例乘以，计算求解即可； （3）根据题意可得，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， 等级人数为（人），等级人数为（人）， 成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据落在等级， 他们成绩的中位数落在等级， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：由（1）知等级的人数为20人； 等级的人数为人， ， 扇形统计图中等级所占的百分比为； 故答案为：20，36； 【小问3详解】 解：， 估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数为640人， 故答案为：640； 【小问4详解】 解：由题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ， 恰好抽到一名男生和一名女生的概率为， 故答案为：． 20. 综合与实践 活动主题：测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具：测角仪、皮尺等 测量：光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，，为法线．入射光线和折射光线及法线，都在同一平面内，点A到直线的距离为3米． 参考数据：，，，，，， 请根据上表中提供的信息，解决下列问题： （1）填空：________，________； （2）求的长；（结果保留根号） （3）若米，求水池的深（精确到米）． 【答案】（1）30；30 （2）的长为米 （3）水池的深为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）作，交的延长线于点，根据平行线的性质和余角的定义求解即可； （2）根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； （3）根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【小问1详解】 解：作，交的延长线于点，则， ，， 又，， ∴，，， ∴， 故答案为：30，30； 【小问2详解】 解：米， （米）， （米）， （米）， 即的长为米； 【小问3详解】 解：设水池的深为米，则米， 由题意可知：，，米， （米），（米）， ， ， 解得， 即水池的深约为米． 21. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点、点两个点． （1）求二次函数的解析式及对称轴； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为，对称轴为直线 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，点的平移规律，解一元二次方程，求函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据点平移的规律得出点的坐标，然后代入解析式，解一元二次方程即可； （3）求出临界点的纵坐标和顶点坐标，然后再求出对称点的坐标即可． 【小问1详解】 解：将和代入得， ，解得 ∴二次函数的解析式为， 其对称轴为直线； 【小问2详解】 解：点平移之后的点的坐标为， 将代入得， ， 解得或（舍去）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，，即顶点坐标为， 此时，， 点的对称点坐标为， ∴． 22. 如图，正方形中，点E、点F分别是、上的两个动点，连接、，且，连接并延长，交的延长线于点G． （1）若， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，移动点E，若，求证：；（思路提示：此图为半角模型，可将绕点A逆时针旋转或将绕点A顺时针旋转，请在图2上作旋转后的图形，并加以证明） （3）如图3在（2）的条件下，作，垂足为点Q，交于点N，连结，求证：． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质和可证明； ②根据可得，，再根据平行线的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，即可求出，进而即可得到； （2）根据半角旋转模型，把逆时针旋转，则与重合，设对应的点为，即可证明，得到，再结合，可得，可得； （3）根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，可得是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四点共圆，根据圆周角． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴； ②证明：∵， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴． ∵， ∴． ∴ ， 又∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，． ∵， ∴． 在中， ， ∴， ∴； 小问2详解】 证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，则与重合，点的对应点为点， ， ，，， 三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：如图，连接， 由（2）得， ， 垂直平分， ， ， ， 四点在以为直径的同一个圆上， ． 【点睛】本题考查半角旋转模型，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，同弧所对的圆周角相等等知识，熟练根据模型作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级期末考试数学试题 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 2025年11月29日，海南城市足球联赛正式开赛，为了清晰统计球队的净胜球情况，赛事方规定：若某球队进球数比失球数多3个，则净胜球记为，那么进球数比失球数少2个时，净胜球应记为（   ） A. B. 2 C. D. 1 2. 如图是一个长方体被截去一角后得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年国庆与中秋双节叠加形成“超级黄金周”，全国旅游市场迎来爆发．经文化和旅游部数据中心测算，国庆中秋假日8天，全国国内出游总花费约8091亿元．数据809100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知代数式的值是2，则代数式的值是（   ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，黑棋①的坐标为，则白棋④的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（     ） A. B. C. D. 10. 在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为20，则的长为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 4 12. 如图，的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 因式分解：________． 14. 如图，已知点，反比例函数图像一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________． 15. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长为________． 16. 如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算与解不等式 （1）计算：． （2）解不等式组： 18. 北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 2件 1件 350元 第二周 1件 2件 400元 求、两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？ 19. 某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； （2）频数分布直方图中B等级有__________人，扇形统计图中D等级所对应圆心角为__________； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约__________人； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率______． 20. 综合与实践 活动主题：测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具：测角仪、皮尺等 测量：光从空气斜射入水中，入射光线射到水池水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，，为法线．入射光线和折射光线及法线，都在同一平面内，点A到直线的距离为3米． 参考数据：，，，，，， 请根据上表中提供的信息，解决下列问题： （1）填空：________，________； （2）求的长；（结果保留根号） （3）若米，求水池的深（精确到米）． 21. 已知二次函数（，为常数）图象经过点、点两个点． （1）求二次函数的解析式及对称轴； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 22. 如图，正方形中，点E、点F分别是、上的两个动点，连接、，且，连接并延长，交的延长线于点G． （1）若， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，移动点E，若，求证：；（思路提示：此图为半角模型，可将绕点A逆时针旋转或将绕点A顺时针旋转，请在图2上作旋转后的图形，并加以证明） （3）如图3在（2）的条件下，作，垂足为点Q，交于点N，连结，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $