精品解析：山东淄博市临淄区2025-2026学年第一学期期末考试九年级（五四学制）数学试题

2025—2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 的绝对值的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，若的三边都缩小到原来的，则的值（ ） A 缩小到 B. 放大3倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是( ) A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. x=﹣3 D. x=﹣2 6. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. 的值随值的增大而减小 7. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2．则x的取值范围是_______． 8. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A. B. C. D. 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为250 D. 点在该函数图象上 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 12. 二次函数的最小值为__________． 13. 如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 14. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 15. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为______． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程组． 17. 国产大模型爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 18. 问题情境：如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼考工记》记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请完善下面的推理过程，判断车轮类型． 抽象图形：如图2，在车轮上取A，B两点，设所在圆圆心为O，连接．作弦的垂线，与弦交于点D； 测量数据：测得，， 计算的长度，______cm，并写出依据____________； 建构模型：设半径为rcm，用含r的代数式表示_______cm； 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：_______； 求解验证：解得_______cm； 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，，． （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）将矩形向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数的图象上，得到矩形．求矩形平移的距离m和反比例函数的解析式． 20. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1）（参考数据：） 21. 为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 主题 研究篮球运动员投篮技术特点 活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下处起跳投篮： 2．篮球运行路线是抛物线； 3．当篮球运动水平距离时，达到最大高度，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面，该运动员身高，球头顶上方处出手． 设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点为出手点，点为最高点，点为篮圈中心．过点作水平地面的垂线，垂足为点，以点为坐标原点，所在直线为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系．此时可以确定点，点的坐标分别为，． 确定思路 通过建立坐标系，可以求出抛物线解析式，从而进一步解决实际问题．因为点是最高点然后下降，说明点是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． （1）当，时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴； （2）试判断二次函数图象与x轴的交点个数； （3）若，当，时，总有，求a的取值范围． 23. 已知，是半径为6的圆O上的弦，P为圆上的动点，连接，过点A作直线与的延长线交于点C．请围绕以下三种情况，对圆中的动点问题进行探究． （1）特殊位置探究：如图1，若，且经过圆心O，求证：是的切线； （2）一般位置探究：如图2，点P在圆上运动， ，但不经过圆心O． ①求证：是的切线； ②若，求的长； （3）最值问题探究：如图3，点P在圆上运动，若，，的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 的绝对值的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、倒数的定义，先求的绝对值，再求其倒数． 【详解】∵， ∴ 其倒数为． 故选：C． 2. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 详解】解：. 故选：C 4. 在中，，若的三边都缩小到原来的，则的值（ ） A. 缩小到 B. 放大3倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义，正确理解正弦函数的定义是解题的关键． 变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可得的大小不变，即得答案． 【详解】解：在中，，若的三边都缩小到原来的，则变化后的三角形与原三角形相似， ∴的大小没有发生变化， ∴的值不变． 故选C． 5. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是( ) A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. x=﹣3 D. x=﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1， ∴=﹣1，解得b=﹣3． ∴B（﹣3，0）． 故选A． 【点睛】此题考查了利用抛物线的对称性求抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 6. 关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. 的值随值的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键． 根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，逐项判断，即可求解． 【详解】解：当时，，故A错误； 反比例函数的图象均关于原点中心对称，故B正确； ，则图象位于第一、三象限，故C错误； ，则 在每个象限内y随x的增大而减小，故D错误． 故选 B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2．则x的取值范围是_______． 【答案】0＜x＜1或x＞3 【解析】 【分析】解答时，看清两点，一是交点的横坐标；二是函数的图像的具体要求，结合图像写出答案即可． 【详解】解：根据图像，交点的横坐标分别为1,3， ∵＞， ∴0＜x＜1或x＞3． 故答案为：0＜x＜1或x＞3． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，找准交点的横坐标，用好数形结合思想是解题的关键． 8. 如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 过点O作于点F， ∴在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为250 D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，读懂函数图象． 过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，，由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，，求出，再由勾股定理求解，即可判断A；当，设此时点Q运动到点，即，由勾股定理求解，即可求解，即可判断B；当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，再由勾股定理求解，即可判断C；设点Q运动到点K时，此时，可求，再由勾股定理求解，即可判断D． 【详解】解：过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，， 由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，， ∴， ∴，故A正确； 当，设此时点Q运动到点，即， ∴， ∴，故B错误； 当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，故C正确； 设点Q运动到点K时，此时 ∴， ∴此时， ∴点在该函数图象上，故D正确， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须非负列式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 12. 二次函数最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最小值，解题关键在于把一般式化成顶点式．把二次函数化成顶点式，可直接得出二次函数最小值． 【详解】二次函数变形可得，， ∴二次函数的最小值为， 故答案为：． 13. 如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 14. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：． 15. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题可从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、的面积与的关系，列出等式求出值． 【详解】∵、、位于反比例函数图象上， ∴，， 过点作轴于点，作轴于点， ∴四边形ONMG是矩形， ∴， ∵为矩形对角线的交点， ∴， ∵函数图象在第一象限， ∴， ∴++S四边形ODBE=， 解得：． 故答案为4 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是掌握二次根式、特殊角三角函数、乘方的运算法则，会用加减消元法解二元一次方程组． （1）根据特殊角的三角函数值，化简二次根式及乘方计算即可； （2）根据加减消元法进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2），得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为． 17. 国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 ∵共有4个主题， ∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是； 【小问2详解】 列表如下： 乙 甲 共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果． 所以（甲乙都没有选择“．专家系统”）． 18. 问题情境：如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼考工记》记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请完善下面的推理过程，判断车轮类型． 抽象图形：如图2，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，连接．作弦的垂线，与弦交于点D； 测量数据：测得，， 计算的长度，______cm，并写出依据____________； 建构模型：设半径为rcm，用含r的代数式表示_______cm； 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：_______； 求解验证：解得_______cm； 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 【答案】数据测量：45；垂径定理（垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧）； 建立模型：；； 求解验证：75． 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 根据垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为点，半径为． 过点作弦的垂线，交于点，点为垂足，则点是的中点， 其推理依据是：垂径定理（垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧）． 经测量：，，则， 用含的代数式表示，． 在中，由勾股定理可列出关于的方程：， 解得．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 故答案为：45；垂径定理；；；75． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，，． （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）将矩形向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数的图象上，得到矩形．求矩形平移的距离m和反比例函数的解析式． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、平移的性质以及反比例函数解析式的求法，理解平移的定义是解题的关键． （1）由四边形是矩形，得到，根据，轴，即可得到，，； （2）根据平移的性质将矩形向右平移个单位，得到，，由点，在反比例函数的图象上，得到方程，即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，轴， ∴，，； 【小问2详解】 ∵将矩形向右平移m个单位， ∴，， ∴点，在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴，将代入，得到， ∴， ∴矩形的平移距离， 反比例函数的解析式为：． 20. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1）（参考数据：） 【答案】（1）登山缆车上升的高度； （2）从山底A处到达山顶D处大约需要． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过B点作于点C，于点E， 则四边形是矩形， 在中，，，， ∴， ∴， 答：登山缆车上升的高度； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∴从山底A处到达山顶D处大约需要：， 答：从山底A处到达山顶D处大约需要． 21. 为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 主题 研究篮球运动员投篮技术特点 活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下处起跳投篮： 2．篮球运行路线是抛物线； 3．当篮球运动水平距离时，达到最大高度，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面，该运动员身高，球在头顶上方处出手． 设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点为出手点，点为最高点，点为篮圈中心．过点作水平地面的垂线，垂足为点，以点为坐标原点，所在直线为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系．此时可以确定点，点的坐标分别为，． 确定思路 通过建立坐标系，可以求出抛物线解析式，从而进一步解决实际问题．因为点是最高点然后下降，说明点是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据题意可得到，将代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：点是抛物线的顶点， ， ， 点是抛物线上的点， ， ， ； （2）解：当时，， 跳离地面高度为． 答：球出手时，运动员跳离地面的高度为． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． （1）当，时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴； （2）试判断二次函数图象与x轴的交点个数； （3）若，当，时，总有，求a的取值范围． 【答案】（1）；对称轴为； （2）当时， 二次函数图象与x轴有1个交点； 当不全为0时，二次函数图象与x轴有2个交点． （3）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次方程根的判别式，能够结合二次函数的性质进行求解是解决本题的关键． （1）把，代入得，再求对称轴即可； （2）化简二次函数，再根据判别式确定与x轴的交点个数即可； （3）由题可知，二次函数对称轴为直线，再分及讨论，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当，时， 对称轴为直线； 小问2详解】 解： ， 当二次函数与x轴相交时，， 则 ∴当且，即时，，二次函数图象与x轴有1个交点； 当a、b不全为0时，，二次函数图象与x轴有2个交点． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 对称轴为直线， ①当时，若点A、B都在对称轴右侧， ∵时，总有， ∴，解得，即； ②当时，若点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧， 则，解得，不合题意，舍去； ③当时，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， 则，解得， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 23. 已知，是半径为6的圆O上的弦，P为圆上的动点，连接，过点A作直线与的延长线交于点C．请围绕以下三种情况，对圆中的动点问题进行探究． （1）特殊位置探究：如图1，若，且经过圆心O，求证：是的切线； （2）一般位置探究：如图2，点P在圆上运动， ，但不经过圆心O． ①求证：是的切线； ②若，求的长； （3）最值问题探究：如图3，点P在圆上运动，若，，的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；②； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则可证明，即，据此可证明结论； （2）①连接并延长，交圆O于点Q，连接，则，则可证明，同（1）可得，据此可证明结论；②作，垂足分别为点E，D，可证明；由垂径定理得到，则，利用相似三角形的性质求出，解直角三角形得到，则，，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点C到的距离为h，则，当h取到最大值时，取到最大值；连接，证明是等边三角形，得到，则可求出，故点P在圆上运动时，点C在以为弦，圆周角的圆上，且在优弧上运动．设的外接圆圆心为T，过点T作于点H，连接，可证明当T、C、H三点共线，且时，h有最大值，最大值为的长，可证明是等边三角形，得到，则，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵经过圆心O，即是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即， ∵是的直径， ∴是圆O的切线． 【小问2详解】 解：①连接并延长，交圆O于点Q，连接，则 ∵， ∴， 同（1）可得， ∵是的直径， ∴是圆O的切线． ②作，垂足分别为点E，D， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：设点C到的距离为h，则， ∵， ∴ ∴当h取到最大值时，取到最大值； 如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在圆上运动时，点C在以为弦，圆周角的圆上，且在优弧上运动． 设的外接圆圆心为T，过点T作于点H，连接， ∵， ∴当T、C、H三点共线，且时，h有最大值，最大值为的长， 由垂径定理可得， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴h的最大值为， ∴的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的性质与判定等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $