精品解析：安徽淮南第二中学2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试卷

淮南二中2027届高二第一学期期末检测数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ，则. 故选：D． 2. 在等比数列中，等于（ ） A. 4 B. -4 C. -1 D. -4或-1 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，列出关于的方程，求解可得的值. 【详解】据题意有，所以. 整理得，所以. 故选：B. 3. 设为等差数列前n项和，若，则( ) A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式即可求解. 【详解】依题意为等差数列前n项和，若， 解得，所以. 故选：C. 4. “直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线与直线平行可得或，进而可判断. 【详解】因为直线与直线平行， 直线的斜率为， 则直线的斜率存在且为，故， 所以，即，解得或， 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 当时，两直线分别为，，不重合满足题意， 故由直线与直线平行可得或， 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，以及导数的几何意义，逐项判断即可. 【详解】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； 由图可知，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立； 由图可知，，故C成立； 由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：B. 6. 已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（ ）时，最大. A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质分析可得且，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，等差数列中，若，， 则有， 所以， 同时，即， 必有且， 故当时，最大． 故选： 7. 已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，故，，由双曲线定义得到方程，求出，求出离心率. 【详解】设直线与的切点为，连接， 则， 因为，所以， 而，所以，， 而，所以， 所以，． 因此，所以， 离心率. 故选：B． 8. 已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合线面角的定义求，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点  到平面  的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，则，A正确； 对于B中，，则，B错误； 对于C中，，则，C错误； 对于D中，，则，D正确. 故选：AD 10. 已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中两点的距离公式计算即可判断选项A；利用直线的方向向量和平面法向量的关系可以判断选项B；利用直线的方向向量与平面的法向量的关系求解夹角正弦值进而判断选项C；利用空间中点到平面的距离公式求解即可判断选项D. 【详解】对于A：因为两点的坐标分别为，， 所以，故A正确； 对于B：由题意知，平面的一个法向量为， 则，故和不垂直， 所以直线与平面不平行，故B错误； 对于C：设直线与平面所成角为， 因为，平面的一个法向量为， 所以，故C正确； 对于D：由题意知两点的坐标分别为，，则， 平面的一个法向量为，由空间中点到面的距离公式可得到平面的距离,故D正确， 故选： 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则数列是以1为公差的等差数列 D. 若，则数列是以为公差的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，由，得， 两式相减可得：， 即， 由，令可得，且， 所以从第二项起为等比数列，公比为3， 所以，故A错误； 对于选项B，由，可得， 又 ， 当时，成立， 所以，B正确. 对于选项C，由，两边同时除以可得： ，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确. 对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误. 故选：BC . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的通项公式为，则它的前6项和为__________. 【答案】147 【解析】 【分析】根据数列通项公式特点，运用分组求和，利用等差（等比）数列求和公式计算即得. 【详解】因，则该数列的前6项和为： . 故答案为：147. 13. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个． 【答案】23 【解析】 【详解】除以 余 且除以 余的数是除以 余的数. 和的最小公倍数是. 的倍数有 除以 余 且除以 余的数有，… 其中除以 余 的数最小数为 ，这些东西有个，故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 14. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间，若，，则与的面积之比为_____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义，求得，得到，求得直线的方程，进而求得和直线的方程，结合点到直线的距离公式，分别求得点和到直线的距离，进而得到答案． 【详解】因为抛物线C：，所以， 设，由，，且A在B与D之间， 则，解得，则， 所以，则， 所以直线的方程为，即， 令，则，所以， 所以，故直线的方程为，即， 所以点到直线的距离，点到直线的距离， 故， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据计算即可； （2）根据导数的几何意义求出斜率，再利用点斜式即可求出. 【小问1详解】 ，则，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，， 故所求切线方程为：，即. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令求得，当时，根据第一种情况的式子和该情况的式子联立即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为①，当时可得，即， 当时，②， 由①-②得， 即，即是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得，， 即， 故. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求． 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中， 由，，，， 得，， 则，， 又，且，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）在四棱锥中由勾股定理计算可证明，，结合线面垂直判定定理可得出结论； （2）建立空间直角坐标系分别求出平面和平面的法向量，设，再利用二面角的余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 可得，，， 设（），则， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面的法向量为， 由，解得，令，，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 18. 已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． （1）求和的方程； （2）过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；． （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程可求得，即可求出的方程；再由椭圆与抛物线的右焦点重合，可求出的方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立由弦长公式可求出，，假设为定值，可得，解方程可求出的值. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以，所以， 所以方程：． 又因为椭圆的右焦点， 所以，所以方程：． 【小问2详解】 解：假设存在这样的， 设直线的方程为：， ． ， ，， ， 设， ， ，， ， 为定值． ，任意的实数恒成立 ，得到， 当时，为定值． 19. 已知数列满足． （1）求的值； （2）证明是等比数列，并求的通项公式； （3）设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式即可求解； （2）由得出，即可证明，进而得出通项公式； （3）由（2）得，再分类讨论为正奇数或正偶数，解不等式即可求解． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 所以，即． 【小问3详解】 由（2）得， ①当为正奇数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正奇数都成立， 当时，有最小值1， 所以． ②当为正偶数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正偶数都成立， 当时，有最小值，所以， 综上，可知，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2027届高二第一学期期末检测数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，等于（ ） A. 4 B. -4 C. -1 D. -4或-1 3. 设为等差数列前n项和，若，则( ) A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 4. “直线与直线平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（ ）时，最大. A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013 7. 已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则数列是以1为公差的等差数列 D. 若，则数列是以为公差的等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的通项公式为，则它的前6项和为__________. 13. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个． 14. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，和y轴交于D点，且A在B与D之间，若，，则与的面积之比为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求． 18. 已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． （1）求和的方程； （2）过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知数列满足． （1）求的值； （2）证明是等比数列，并求的通项公式； （3）设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $