寒假复习巩固（三）13.3三角形的内角与外角 2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假复习巩固（三） 13.3 三角形的内角与外角 一、单选题 1．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是（   ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 3．是下图中某个三角形的外角，该三角形是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．在光学反射现象中，光线碰到平面镜会发生反射．如图，光线照射到平面镜上，然后反射到平面镜上，根据反射原理可知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．小桐把一副直角三角尺按如图的方式摆放在一起，其中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，一轮船在海上往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 12．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列四个结论： ①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．在中,,则的外角为 ． 14．若三个角的大小满足，则的度数为 ． 15．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 16．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 17．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题如图，已知，，，则的度数是 ． 18．将一副三角板按如图放置，和中，，．则下列结论： ①        ② ③若，则    ④若则 其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 19．如图，在中，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 20．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，，求的度数． 21．中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． (1)如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． (2)若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 22．如图，已知． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 23．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 24．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《寒假复习巩固（三） 13.3 三角形的内角与外角》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C C C C C B 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 利用三角形内角和定理直接计算的度数即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选B． 2．B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，互余的定义，利用三角形内角和定理，结合两个锐角互余的条件，求出第三个角的度数，进而即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵两个锐角互余，即它们的和为， 又∵三角形内角和为， ∴第三个角的度数为， ∴该三角形是直角三角形， 故选：． 3．D 【分析】本题考查了三角形外角的定义； 根据三角形外角的定义可得答案． 【详解】解：是的一个外角， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是． 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，，根据等式的性质变形得，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 而， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，由得，由可求出的度数 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差运算，熟练掌握平行线的同位角相等性质，并结合三角尺的固定角度进行角度推导是解题的关键． 先利用直尺两边平行的性质，得到同位角相等，再结合三角尺的角，通过角度和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】根据三角形外角性质可得，，然后利用三角形内角和定理计算即可．本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∵，， ∴ ， 故选：C． 8．C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用三角形内角和定理求得内角的度数．根据三角形的内角和是，逐个判断即可． 【详解】解：①由、可得，即，为直角三角形； ②由、可得，即，，是直角三角形； ③由、可得，即，，不是直角三角形； ④由，可以设，，，由可得：，解得，则，，，为直角三角形； 能确定为直角三角形的有3个． 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线得出相等角，然后利用三角形的内角和定理得出，然后再用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵都与地面平行， ∴， ∴， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义得出、的度数，结合三角形内角和，求出的度数即可． 【详解】解：由方向角的定义可知， ∴，， ∴， 故选B． 11．C 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，则，利用外角可得，，再进一步即可解答． 【详解】解：设，则， ∴，， ∴， ∴，即． 故选：C． 12．C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．根据平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，逐项进行判断如下： ①， ， 即， 故①正确； ②， ， ． ， ， 与不平行， 故②错误； ③， ． ， ， ， 故③正确； ④，， ． ， ． ， ， ， 故④正确； 综上，正确的有①③④， 即正确的有3个． 故选：C． 13．/50度 【分析】本题主要考查三角形外角性质，根据三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和解答即可． 【详解】解：在中,, 则的外角， 故答案为：． 14．/度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角度比设未知数，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设，，，由三角形内角和定理得 ，即， 解得， 所以． 故答案为． 15．直角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 【详解】解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 16．/75度 【分析】此题考查平行线的性质，利用三角板的特征求得的度数，再根据平行线的性质，即可解答，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：如图，∵一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 17．/34度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．延长交于F，根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据三角形外角的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于F， ， ， ， ， 故答案为：． 18．①②③④ 【分析】本题考查平行线的判定，三角形的内角和，角的和差，垂线的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定，三角形的内角和，角的和差，垂线的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 令与的交点为M，如图 ∵，， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质． （1）根据三角形的内角和等于可得，由此即可求出的度数； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴． （2）∵在中，， ∴． 20．(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直定义， 对于（1），先根据“两直线平行，内错角相等”得，进而得出，再根据“同位角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据角平分线定义得，然后根据垂直定义得，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 21．(1)， (2)结论：，理由见解析 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图1中，连接． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，， 故答案为：，． （2）解：结论：． 理由：如图2中， ∵，， ∴． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等量关系得出，证明，根据平行线的性质得出，再根据等量代换得出，根据同位角相等，即可得出两直线平行； （2）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得出，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 23．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可求出的度数，由角平分线的定义可得的度数，然后根据三角形外角的性质可求出的度数，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴ ． 24．（1），不是（2）见解析（3）或者 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或者 或者． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $