专题02 与三角形角度有关的倒角模型（6种模型15种类型）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 与三角形角度有关的倒角模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 A 字模型 精准识别 A 字模型的图形结构，掌握其与平行线、三角形边和角的关联，能快速推导角度与边长的数量关系 基础常考，多在几何小题中结合平行线性质，考查模型的图形识别与简单边角推导 8 字模型 清晰辨别 8 字模型的形状，熟练运用对顶角、三角形内角和等知识，推导模型内的角度关系 高频出现，易和三角形内角和、外角性质融合，以选择题、填空题形式考查角度计算 飞镖模型 深入理解飞镖模型的构成逻辑，牢记其角度关系（飞镖内部角和与外部角的关联），能灵活用于角度推理 重要考点，常以几何证明或角度计算题型考查，是破解复杂三角形角度问题的实用工具 三角形翻折模型 掌握三角形翻折前后的全等性、对应边和角相等的性质，能解决线段长度、角度大小、图形面积等问题 核心考点，贯穿三角形图形变换类题目，在计算、证明题中高频出现，常与勾股定理、全等三角形结合 三角形双角平分线模型 透彻理解三角形双角平分线形成的角度与三角形内角的特定关系，能熟练进行角度计算与证明 重要考点，常以选择题、解答题形式考查，是探究三角形角度深层关系的关键模型 高 + 角平分线模型与垂线 + 角平分线模型 掌握高与角平分线、垂线与角平分线结合时的图形性质，能推导线段、角度关系，解决几何证明与计算 常结合三角形高、角平分线的基本性质，在几何证明与计算中广泛应用，涉及线段、角度相等的推导 知识点01 A字模型 图示 结论 ∠1+∠2 = 180°+∠A 知识点02 8字模型 8字模型 8字模型-进阶（8字模型+角平分线） 图示 AP平分∠BAD， CP平分∠BCD 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D， AD+BC＞AB+CD 知识点03 飞镖模型 飞镖模型 飞镖模型-进阶（飞镖模型+角平分线） 图示 BO平分∠ABC， OD平分∠ADC 结论 ∠BCD=∠A+∠B+∠D， AB+AD＞BC+CD 知识点04 三角形翻折模型 向内翻折 向外翻折 图示 结论 2∠C=∠1+∠2 2∠C=∠2-∠1 知识点05 三角形双角平分线模型 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 ∠D = 90°+∠A ∠D = 90°-∠A ∠E = ∠A 大招 内加外减，一内一外不加不减. 知识点06 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型 条件 已知AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E 图示 ∠C＞∠B ∠C＜∠B 结论 条件 AE平分∠BAC交BC于点E，点M在AE上，MN⊥BC 于点N. AE平分∠BAC交BC于点E，点M在AE的延长线上，MN⊥BC 于点N. 图示 结论 题型一 A字模型 1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正六边形中，延长，交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质可得，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为，即， ， ， 故答案为：． 4．（2021九年级·全国·专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 题型二 8字模型 类型一 单8字模型 5．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，中，在的延长线上，过作于，交于．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理，可将求转化为求，即，再在中求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 又， ， 在中，，（已知）， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，垂线的定义，熟练掌握三角形内角和内角和定理是解题的关键． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知、交于点，，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和的应用、对顶角的性质，根据三角形内角和定理求出，是解题的关键． 根据，，得出，根据对顶角相等，得出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，延长交于点，根据三角形内角和定理求出，得出，再由三角形外角性质可得 ． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴。 故答案为：． 类型二 多8字模型 9．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ，， ， 又， ， ， ， 故选C． 类型三 8字+双角平分线模型 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2） ，过程见解析； ；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 类型四 8字模型综合 12．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，， ； （2）如图3：连接， 由（1）得：， ， ， 即五角星的五个内角之和为． （3）如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点， 由（3）得， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ． 题型三 飞镖模型 类型一 单飞镖模型 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 15．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【答案】(1)见详解 (2)50 (3)230° 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，新定义的运用，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答． （2）把代入，进行计算即可作答． （3）连接，结合图1的结论，列式计算，整理式子，即可作答． 【详解】（1）解：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴把代入， 得 解得； （3）解：连接，如图所示： 由方法一，在四边形中，得； 在四边形中，得； ∵ ∴ 即． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 类型二 飞镖模型+双角平分线模型 17．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，的角平分线交于点P，若，，则的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，根据，可推出，又因为，即可求出． 【详解】解：如图， ，的角平分线交于点， ，， 由三角形的内角和定理得，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 18．（21-22八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）； (2)见解析； (3)70° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证； （3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解． 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角， ∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B， 即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°， ∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线， ∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF）， ∴150°-∠C=2（110°-∠ C）， 解得：∠C=70°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 19．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；     ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又 ∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 又 ∵， ． ②由（1）可得，， ， 又 ∵平分平分， ， ． 30．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）① 115；②，理由见解析； 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，熟练运用三角形的外角性质以及角平分线性质是解题的关键． （1）连接，并延长到点E，根据三角形的外角性质得到，两式相加即得解； （2）① 由（1）知，结合角平分线性质，得到、，代入得到，再利用第（1）问结论可得，即可求解； ② 由（1）知，结合角平分线性质，得到，，利用三角形的外角性质得到，代入即可得解； 【详解】解：（1）， 理由：如图1，连接，并延长到点E， 则， ∴， 即； （2）① 由（1）知， ∵平分、平分， ∴、， ∴， ∴， 则； ② ， 理由：如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 即． 题型四 三角形翻折模型 类型一 顶角向内翻折 21．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 22．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解： 由翻折得到，， ，， ， ． 故选：D． 23．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 类型二 顶角相外翻折 24．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠可得，进而由三角形外角性质可得，，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故选 ：．    25．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的折叠问题，三角形的外角的性质．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得： ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：B． 26．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，，点在边上，将沿翻折得到，交直线于点． (1)如图1，当点在边上时， ①若，，，直接写出与的周长的和； ②若，试说明：； (2)如图2，若，将绕点逆时针旋转角度，记旋转中的为，在旋转过程中，直线分别与直线，直线相交于点，，是否存在这样的点，，使得?若存在，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①12；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①根据折叠的性质解答即可； ②由折叠的性质，得，．设，求出，，由可得结论； （2）分点在边上和点在边的延长线上两种情况，结合折叠的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：①由折叠得，， ∵，，， ∴与的周长和 ． ②由折叠的性质，得，． 设， ， ． ， ． ． ， ． ． （2）解：分两种情况讨论： （i）当点在边上时，如图1， ， ． 由折叠的性质，得， 由旋转的性质，得． ， ． 是的外角， ， ． ， ． （ii）当点在边的延长线上时，如图2， 同理，可求得， 综上所述，存在这样的点，，使得， 的度数为或． 27．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查折叠问题，三角形的外角性质，关键是掌握折叠的性质，熟练应用三角形的外角性质来解决问题． （1）由折叠的性质得到，，由邻补角的性质得到，求出，由三角形的外角性质得到； （2）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，因此； （3）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，得到． 【详解】（1）解：如图 由折叠的性质得到：，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ， 故答案为：； （3）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ． 28．（24-25八年级上·江西·阶段练习）（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 29．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 类型三 顶角向内翻折+双角平分线模型 30．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：∵，分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点，设射线交于，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 题型五 三角形双角平分线模型 类型一 两内角平分线模型 31．（2021九年级·全国·专题练习）（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）设． 由的内角和为，得．① 由的内角和为，得．② 由②得．③ 把③代入①，得， 即， 即 （2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴ 由三角形内角和定理得，， =180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]， =180°-（∠A+180°）， =90°-∠A； （3）如图： ∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4， 在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3 ∴∠1+∠3=180°-∠A① 在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1）， 即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②， 把①代入②得∠D=∠A． 【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 32．（24-25七年级下·吉林长春·期中）“如图①，在中，，和的平分线相交于点，求的度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当取不同的数值时，的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究． 【项目模型】如图②，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与的数量关系． 【特例发现】如图②，当时，__________度；当时，_____________度． 【规律探索】如图②，当度数为时，用含的代数式表示的大小，并写出推导过程． 【拓展应用】如图③，当时，和的平分线交于点，和的角平分线交于点．在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 【答案】特例发现：；；规律探索：，推理过程见解析；拓展应用：或 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 特例发现：先由三角形内角和定理得到的度数，再由角平分线的定义得到，据此得到，则由三角形内角和定理可求出的度数； 规律探索：同特例发现中的方法求解即可； 拓展应用：由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，则由规律探索的结论可得；再分，，和， 四种情况根据三角形内角和定理求出的度数，进而根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：特例发现：当时， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 规律探索：，推理如下： ∵，， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴； 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述，的度数为或． 33．（21-22七年级下·吉林长春·期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题： (1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸： (3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 类型二 两外角平分线模型 34．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）探究题： (1)【基本模型】：如图1，、为的外角，、的平分线交于点，请你写出与的数量关系，并说明理由． (2)【变式应用】：如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线． ①若，在点A、B运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． ②若，，求度数． 【答案】(1)； (2)①不会发生变化，；②． 【分析】（1）由角平分线性质及三角形内角和定理可得； （2）①结合题意，由（1）可知,,化简即可求得，故的大小不会发生变化，从而求解； ②设，由三角形内角和定理可求得、，由（1）可知解得，再运用三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）①如图，结合题意，由（1）可知， ， ， ， ， 故的大小不会发生变化， 当时， ； ②设，， ，， ，， ，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质；解题的关键是灵活运用角平分线和三角形内角和定理构建角的关系． 类型三 一内一外角平分线 35．（23-24七年级下·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有， 请补全下面证明过程： 证明：平分，平分， ，______（______）． ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【应用】 如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此． 【拓展】 如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示） 【答案】探究：；角平分线的定义；；；应用：；；拓展： 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： 探究：根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合已给推理过程求解即可； 应用：先利用平角的定义和三角形内角和定理求出的度数，再有探究的结论即可得到答案； 拓展：延长交的延长线于A，则由三角形内角和定理可得；再由题意可得分别平分，则． 【详解】解：探究：证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 故答案为：；角平分线的定义；；； 应用：延长了边与交于点A．如图③， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 拓展：如图，延长交的延长线于A， ∵，， ∴； ∵四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P， ∴分别平分， ∴， 故答案为：． 类型四 与双角平分线模型有关的规律探索问题 36．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（   ）度．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图：    同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故选：A． 37．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 题型六 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型 类型一 高+角平分线模型 39．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，是的边上的高，平分交于E，．    (1)若，求的度数； (2)若，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再由直角三角形确定，然后结合图形计算即可解答． （2）同（1）方法类似求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 40．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 【答案】（1）的度数为；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）先利用和的度数求出C，然后结合垂线和角平分线的定义求出和，最后求出的大小； （2）先用和表示出，然后结合垂线与角平分线的定义表示出和，最后再求出与的数量关系； （3）利用垂直平分线的性质得到，，证明，得到，再利用与分别是与的外角得到与与的关系，最后借助平分将无关的角消去得到的数量关系． 【详解】解：（1） ， 平分 ， 故答案为：． （2），理由如下： 在中，， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）∵垂直平分， ∴，， 在和中， ∴， ∴，即， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，线段垂平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用整体思想用含有和的式子表示相关角． 类型二 垂线+角平分线模型 41．（2021九年级·浙江·专题练习）（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求： ①∠CAE的度数； ②∠DAE的度数． （2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数． （3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由． 【答案】（1）①40°；②10°；（2）10°；（3）∠DFE＝（β﹣α），见解析 【分析】（1）如图1中，求出∠BAD，∠BAE，根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD即可解决问题． （2）如图2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中结论，再证明∠DFE＝∠HAE即可． （3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．由∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE＝∠HAE，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图（1）． ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°， 而AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°； （2）如图2中，作AH⊥BC于H． 由（1）可知∠HAE＝10°， ∵AH∥EF， ∴∠DFE＝∠HAE＝10° （3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下： 如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D． ∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B） ＝（∠B﹣∠C）， ∵AH∥FD， ∴∠DFE＝∠HAE， ∴∠DFE＝（β-α）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图①，已知，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数； （2）如图②，已知平分，交边于点，过点作，若，．请解答下列问题： ①_____（用含的代数式表示）； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等知识，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，根据垂线的定义，直角三角形两锐角互余可得，由即可求解； （2）①根据三角形内角和定理可得，根据平分，可得，即可求解；②根据三角形内角和定理，对顶角相等可得，由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． （2）①在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080 【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论； 尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则 ，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； 拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则 ； 提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案． 【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：    由三角形外角性质得：， ； 尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：    由“建立模型”得：， ， ， 在中，， ， 故答案为： 180 ； 拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：   ， ， 在中，， ， 由“尝试应用”得：， ； 提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：． 故答案为： 1080 ． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下． 在中，． （1）设、的平分线交于点O，求的度数； （2）设的外角、的平分线交于点，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？ 【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案： 如图1，在中，． (1) 、的平分线交于点O，则的度数为________； (2)的外角、的平分线交于点，则的度数为________； (3)与的数量关系是_________． (4)【问题深入】 如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式： (5)如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q．当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【分析】（1）由三角形内角和定理得到，，再根据角平分线的定义，推出，即可求出的度数； （2）根据三角形外角的定义，推出，再根据角平分线的定义，推出，然后利用三角形内角和定理即可求出的度数； （3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案； （4）由折叠的性质可知，，，得到，，再根据三角形内角和定理，推出，由（1）同理可证，据此即可得到答案； （5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出，再根据三角形外角的性质，得到，最后根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：由（1）和（2）可知，，， ， 故答案为： （4）解：，理由如下： 由折叠的性质可知，，， ，， ， ， 由（1）同理可证，， ， ； （5）解：四边形的内角和为， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，多边形内角和，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键． 3．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做“对顶三角形”．如图1，与互为“对顶三角形”． 【问题发现】 （1）如图1，请说明． 【拓展研究】 （2）如图2，若是的平分线，是的平分线，，求的度数．（用含x，y的代数式表示） 【解决问题】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长，至点M，N．若与分别平分与，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理可得结论； （2）证明，，结合（1）知，可得，再进一步可得结论； （3）证明，表示 ，结合，再建立不等式组求解即可． 【详解】解：（1），，， ． （2）， ． 是的平分线，是的平分线， ． 由（1）知， ， ∵， ∴的度数为． （3）与分别平分与，是的平分线，是的平分线， ， ， 即， ． ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，不等式组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2）（i），；（ii） （3） （4）或 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． （1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可； （2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可； （ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可； （3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可； （4）分为，，，，这四种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键． （1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论； ③由（1）中“规形图”结论可知：，结合三角形的内角和即可得解 【详解】（1），理由如下： 过点A、D作射线， ， 即 （2）①， 由（1）可知： ② 平分，平分， ③如图：由（1）中“规形图”结论可知：， 又 即 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 6．（20-21七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得 ，代入计算即可； ③利用 计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④ ， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 7．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知：中，点是上的一个定点，点是上一个动点，，，沿折叠，点的落点为点， (1)______，______． (2)如图，______． (3)点从出发沿方向运动，当时．求． (4)点从出发沿方向运动，当垂直于的边时，求（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)或； (4)或或 【分析】（）根据三角形内角和定理即可求解； （）由三角形内角和定理得，再根据折叠可得，进而即可求解； （）分点在上方和下方两种情况，分别画出图形，利用平行线和折叠的性质解答即可求解； （）分，和三种情况，分别画出图形，利用折叠的性质解答即可求解； 本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质等，掌握折叠的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当点在上方时，如图， ∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当点在下方时，如图， ∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴； 综上，或； （4）解：当时，如图， 则， 由折叠得，，， ∴， ∴，， ∴； 当时，如图，设垂足为点， 则， 由折叠得，， ∴； 当时，如图，设垂足为点， 则， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴； 综上，或或． 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又 ， ； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数； （2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式探究】（3）如图2，在中，，，是的角平分线．设，，求的长（用含a，b的代数式表示）； 【思维拓展】（4）在中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M．继续将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4）当是等腰三角形时，的度数为或或． 【分析】（1）先求出，将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，则，再根据可得出的度数； （2）将边沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，折痕与交于点D，则，，，进而得，由此得，则，由此可得，与之间的数量关系； （3）将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，折痕与交于点D，则，，，进而得，则，再根据得，然后根据即可得出答案； （4）先求出，设，根据折叠的性质分别求出，，，再分三种情况讨论如下：①当时，则；②当时，则；③当时，则，据此计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴； （2），与之间的数量关系是：，理由如下： 将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D，如图2所示： 根据折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D，如图3所示： 根据折叠的性质得：，，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （4）在中，，， ∴，如图4所示： 设， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∵将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上）， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， 当是等腰三角形时，有以下三种情况： 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或或． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解图形的折叠变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与三角形角度有关的倒角模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 A 字模型 精准识别 A 字模型的图形结构，掌握其与平行线、三角形边和角的关联，能快速推导角度与边长的数量关系 基础常考，多在几何小题中结合平行线性质，考查模型的图形识别与简单边角推导 8 字模型 清晰辨别 8 字模型的形状，熟练运用对顶角、三角形内角和等知识，推导模型内的角度关系 高频出现，易和三角形内角和、外角性质融合，以选择题、填空题形式考查角度计算 飞镖模型 深入理解飞镖模型的构成逻辑，牢记其角度关系（飞镖内部角和与外部角的关联），能灵活用于角度推理 重要考点，常以几何证明或角度计算题型考查，是破解复杂三角形角度问题的实用工具 三角形翻折模型 掌握三角形翻折前后的全等性、对应边和角相等的性质，能解决线段长度、角度大小、图形面积等问题 核心考点，贯穿三角形图形变换类题目，在计算、证明题中高频出现，常与勾股定理、全等三角形结合 三角形双角平分线模型 透彻理解三角形双角平分线形成的角度与三角形内角的特定关系，能熟练进行角度计算与证明 重要考点，常以选择题、解答题形式考查，是探究三角形角度深层关系的关键模型 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型 掌握高与角平分线、垂线与角平分线结合时的图形性质，能推导线段、角度关系，解决几何证明与计算 常结合三角形高、角平分线的基本性质，在几何证明与计算中广泛应用，涉及线段、角度相等的推导 知识点01 A字模型 图示 结论 ∠1+∠2 = 180°+∠A 知识点02 8字模型 8字模型 8字模型-进阶（8字模型+角平分线） 图示 AP平分∠BAD， CP平分∠BCD 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D， AD+BC＞AB+CD 知识点03 飞镖模型 飞镖模型 飞镖模型-进阶（飞镖模型+角平分线） 图示 BO平分∠ABC， OD平分∠ADC 结论 ∠BCD=∠A+∠B+∠D， AB+AD＞BC+CD 知识点04 三角形翻折模型 向内翻折 向外翻折 图示 结论 2∠C=∠1+∠2 2∠C=∠2-∠1 知识点05 三角形双角平分线模型 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 ∠D = 90°+∠A ∠D = 90°-∠A ∠E = ∠A 大招 内加外减，一内一外不加不减. 知识点06 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型 条件 已知AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E 图示 ∠C＞∠B ∠C＜∠B 结论 条件 AE平分∠BAC交BC于点E，点M在AE上，MN⊥BC 于点N. AE平分∠BAC交BC于点E，点M在AE的延长线上，MN⊥BC 于点N. 图示 结论 题型一 A字模型 1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正六边形中，延长，交于点，则的度数为 ． 4．（2021九年级·全国·专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 题型二 8字模型 类型一 单8字模型 5．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，中，在的延长线上，过作于，交于．已知，，则（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知、交于点，，，，则的度数是 ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图， ． 8．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ． 类型二 多8字模型 9．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型三 8字+双角平分线模型 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 类型四 8字模型综合 12．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 题型三 飞镖模型 类型一 单飞镖模型 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 15．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 类型二 飞镖模型+双角平分线模型 17．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，的角平分线交于点P，若，，则的度数为 18．（21-22八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 19．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 30．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 题型四 三角形翻折模型 类型一 顶角向内翻折 21．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 类型二 顶角相外翻折 24．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，有一张三角形纸片，已知，将沿折叠，得到，，与相交于点，当时，则的度数为(    ) A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，，点在边上，将沿翻折得到，交直线于点． (1)如图1，当点在边上时， ①若，，，直接写出与的周长的和； ②若，试说明：； (2)如图2，若，将绕点逆时针旋转角度，记旋转中的为，在旋转过程中，直线分别与直线，直线相交于点，，是否存在这样的点，，使得?若存在，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 27．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 28．（24-25八年级上·江西·阶段练习）（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 29．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 类型三 顶角向内翻折+双角平分线模型 30．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 题型五 三角形双角平分线模型 类型一 两内角平分线模型 31．（2021九年级·全国·专题练习）（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：． （2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：． （3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：． 32．（24-25七年级下·吉林长春·期中）“如图①，在中，，和的平分线相交于点，求的度数．”小白在解决这个问题的过程中，发现当取不同的数值时，的大小并不改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项目做进一步探究． 【项目模型】如图②，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与的数量关系． 【特例发现】如图②，当时，__________度；当时，_____________度． 【规律探索】如图②，当度数为时，用含的代数式表示的大小，并写出推导过程． 【拓展应用】如图③，当时，和的平分线交于点，和的角平分线交于点．在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 33．（21-22七年级下·吉林长春·期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题： (1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸： (3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 类型二 两外角平分线模型 34．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）探究题： (1)【基本模型】：如图1，、为的外角，、的平分线交于点，请你写出与的数量关系，并说明理由． (2)【变式应用】：如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线． ①若，在点A、B运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． ②若，，求度数． 类型三 一内一外角平分线 35．（23-24七年级下·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有， 请补全下面证明过程： 证明：平分，平分， ，______（______）． ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【应用】 如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此． 【拓展】 如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示） 类型四 与双角平分线模型有关的规律探索问题 36．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（   ）度．    A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 题型六 高+角平分线模型与垂线+角平分线模型 类型一 高+角平分线模型 39．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，是的边上的高，平分交于E，．    (1)若，求的度数； (2)若，则______． 40．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 类型二 垂线+角平分线模型 41．（2021九年级·浙江·专题练习）（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求： ①∠CAE的度数； ②∠DAE的度数． （2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数． （3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）如图①，已知，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数； （2）如图②，已知平分，交边于点，过点作，若，．请解答下列问题：①_____（用含的代数式表示）； ②求的度数． 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    2．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下． 在中，． （1）设、的平分线交于点O，求的度数； （2）设的外角、的平分线交于点，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？ 【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案： 如图1，在中，． (1) 、的平分线交于点O，则的度数为________； (2)的外角、的平分线交于点，则的度数为________； (3)与的数量关系是_________． (4)【问题深入】 如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式： (5)如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q．当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果． 3．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做“对顶三角形”．如图1，与互为“对顶三角形”． 【问题发现】 （1）如图1，请说明． 【拓展研究】 （2）如图2，若是的平分线，是的平分线，，求的度数．（用含x，y的代数式表示） 【解决问题】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长，至点M，N．若与分别平分与，，请直接写出的取值范围． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 6．（20-21七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 7．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知：中，点是上的一个定点，点是上一个动点，，，沿折叠，点的落点为点， (1)______，______． (2)如图，______． (3)点从出发沿方向运动，当时．求． (4)点从出发沿方向运动，当垂直于的边时，求（直接写出答案） 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又 ， ； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数； （2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式探究】（3）如图2，在中，，，是的角平分线．设，，求的长（用含a，b的代数式表示）； 【思维拓展】（4）在中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M．继续将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $