精品解析：山东济宁市泗水县2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025－2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 2. 下列各式中是分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，分母中含有字母的代数式即为分式，根据分式的定义判断即可． 【详解】解：A：，分母为数字2，不含字母，属于整式中的分数形式，不是分式； B：，分母为数字5，不含字母，分子为多项式，但整体仍为整式，不是分式； C：，分母为（含字母和），符合分式的定义； D：，是多项式，属于整式，无分母结构，不是分式； 故选：C． 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小数，形式为，其中，为正整数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，涉及幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法运算等知识，熟记幂的相关运算法则是解决问题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一判断各选项的正确性即可得到答案． 【详解】解：A、由可知，选项A计算错误，不符合题意； B、由可知，选项B计算错误，不符合题意； C、由可知，选项C计算错误，不符合题意； D、由可知，选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母进行去分母即可． 【详解】解：原方程两边同乘得：， 故选：D． 6. 如图，在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，再添加哪个条件不能证明和全等的是 ①； ②； ③； ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法对四个条件分别证明即可． 【详解】解：①添加， 在和中， ， ；故①不符合题意； ②添加， ， ， 在和中， ， ；故②不符合题意； ③添加， 在和中， ， ；故③不符合题意； ④添加， ， ， ，， 不能判定和全等，故④符合题意； 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等． 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而易得点B的坐标． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， 点坐标为， ，， 轴，轴， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且， ， 在与中， ， ， ∴点B的坐标为， 故选：B． 8. 已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（ ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式．根据表格信息，当时分式无意义，说明分母在时为零；当时分式值为零，说明分子在时为零．逐一验证选项，只有选项A同时满足这两个条件． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴分母含有，排除BD； ∵当时，分式值为零， ∴分子含有，排除C， ∴分式可能是A：， 故选：A． 9. 如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质以及角平分线可知,进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， , ， ∵是的角平分线， , , , , , ， 故选：A． 10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. 32 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索， 根据杨辉三角的规律，的展开式系数为1，6，15，20，15，6，1，含的项对应第二项，再代入计算即可． 【详解】根据杨辉三角的规律，的展开式系数为1，6，15，20，15，6，1， 展开式中含项的系数为6， ∴展开式中含的项为， ∴含项的系数是． 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 已知，那么的值是_______． 【答案】42 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：42． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键． 13. 已知：，则______ 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，等式两边同时平方变形后即可得到答案 【详解】解：， 两边同时平方得：， ∴， ∴， 故答案为：7 14. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则的度数为_________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．点关于轴的对称点为，求出，，从而求得，，即可由求解． 【详解】解：如图，设交轴于． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． ∵点关于轴的对称点为． ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段的性质，线段垂直平分线的性质．由等腰三角形中三线合一，可得垂直平分，进而可得，，由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：中，，是边上的中线， ， 垂直平分， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值， 如图，过点B作于点Q，交于点P，此时取最小值， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算下列各式： （1） （2）（用简便方法计算） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的计算，平方差公式的运用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）先计算多项式乘以多项式以及平方差公式，最后合并同类项即可； （2）将变形为，采用平方差公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 先化简再求值： （1）已知，求的值； （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和分式的混合运算法则． （1）先由多项式乘以多项式法则和完全平方公式化简，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先计算分式的乘法，再计算加法，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； ， 原式 ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 18. 阅读下面的分解因式的过程： 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【答案】 证明：∵ ， 又∵ 是的三条边，根据三角形三边关系：，， ∴ ，， ∴ ， 即． 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用．利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解得到，根据三角形三边关系得到，，即可得到结论． 【详解】略 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下述要求作图，并标好相应的字母． （1）尺规作图：用无刻度直尺和圆规在直线上作点，使； （2）借助格点，仅用无刻度直尺在直线上作点，使直线． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，尺规作图，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）作出线段的垂直平分线与直线的交点即为点，由线段垂直平分线的性质即可得到； （2）取格点，连接与交点即为点，由得，那么，由得，故，即． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 20. 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，________； （2）当时，求证：； 【答案】（1） （2） 证明：，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握角度的转化和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再在中利用三角形内角和定理计算的度数，即为的值． （2）先根据等腰直角三角形性质得到，再通过角度关系推出，结合已知和得到，最后用证明两个三角形全等． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：泗水作为“红薯之乡”，红薯产业蓬勃发展．今年，泗水某红薯种植园迎来大丰收，现计划将一批红薯用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨红薯待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨红薯的次数与每辆小货车运完20吨红薯的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输红薯各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨红薯的次数与小货车运输20吨红薯的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量－小货车每辆每次运输量 （1）解法一所列方程中的表示________（填序号），解法二所列方程中的表示________（填序号）；①小货车每辆运输吨；②大货车每辆运输吨；③一辆大货车运输完50吨需次． （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． 【答案】（1）①；③ （2） 解法一： 方程两边同乘， 得， 解得，检验，当时，， 所以，为原分式方程的解． ∴大货车每次运输红薯吨，小货车每次运输红薯10吨． 解法二： 方程两边同乘x，得：， 解得， 检验，当时，， 所以，为原分式方程的解． ∴大货车每次运输红薯吨，小货车每次运输红薯吨． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于根据题意正确建立方程． （1）根据所列方程分析即可； （2）根据解分式方程步骤求解，进而得出大货车、小货车每辆每次运输红薯的吨数，即可解题． 【小问1详解】 解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨； 解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次； 故答案为：①；③． 【小问2详解】 略 22. 【教材重现】如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的乘法公式是________； （2）根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，，求的值； （3）把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一条直线上，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论代入计算即可； （3）延长，，交于一点，根据阴影部分的面积等于梯形减去两个三角形的面积即可进行计算． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：图1的阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差， 则， 图2的长为，宽为，则面积为 故答案为：； 【小问2详解】 解：，且， 【小问3详解】 解：如图，延长，，交于一点 四边形是正方形 ，， ； 23. 【认识概念】 活动：用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角，对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合以上内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）文文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点，欢欢认真思考得出了下列结论： ①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤筝形的面积等于对角线乘积的一半．你认为正确的结论有________；（只需填序号） 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】 （1）如图1，筝形即为所求： （2）证明：如图，连接， 在和中， ， ， ； （3）①④⑤；（4）的度数为或 【解析】 【分析】（1）取格点B关于对称的格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）根据全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的判定，对每个结论进行分析判断即可得出结论； （4）分两种情况：①在筝形中，当时，②在筝形中，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略； （3）解：∵ ∴， ∴，， ∴对角线平分一组对角和，故①正确； 现有条件无法证明对角线平分一组对角和，无法证明垂直平分，故②③错误； ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确； 筝形的面积为， 筝形的面积等于对角线乘积的一半，故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 故答案为：①④⑤； （4）①在筝形中，当时， ， ； ②在筝形中，当时， ， ， ． 综上所述，当四边形为筝形时，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了网格作图、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形和垂直平分线的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是分式的是（    ） A. B. C. D. 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，再添加哪个条件不能证明和全等的是 ①； ②； ③； ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（ ） 的值 0 1 2 3 的值 无意义 0 A. B. C. D. 9. 如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. 32 D. 12 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 已知，那么的值是_______． 13. 已知：，则______ 14. 如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则的度数为_________． 15. 如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算下列各式： （1） （2）（用简便方法计算） 17. 先化简再求值： （1）已知，求的值； （2），其中． 18. 阅读下面的分解因式的过程： 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下述要求作图，并标好相应的字母． （1）尺规作图：用无刻度直尺和圆规在直线上作点，使； （2）借助格点，仅用无刻度直尺在直线上作点，使直线． 20. 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，________； （2）当时，求证：； 21. 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：泗水作为“红薯之乡”，红薯产业蓬勃发展．今年，泗水某红薯种植园迎来大丰收，现计划将一批红薯用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨红薯待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨红薯的次数与每辆小货车运完20吨红薯的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输红薯各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨红薯的次数与小货车运输20吨红薯的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量－小货车每辆每次运输量 （1）解法一所列方程中的表示________（填序号），解法二所列方程中的表示________（填序号）；①小货车每辆运输吨；②大货车每辆运输吨；③一辆大货车运输完50吨需次． （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． 22. 【教材重现】如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的乘法公式是________； （2）根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，，求的值； （3）把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一条直线上，若，，求阴影部分的面积． 23. 【认识概念】 活动：用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角，对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合以上内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）文文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点，欢欢认真思考得出了下列结论： ①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤筝形的面积等于对角线乘积的一半．你认为正确的结论有________；（只需填序号） 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $