辽宁省大连市普通高中2025-2026学年高二上学期寒假作业：专题6 带电体(或带电粒子)在叠加场、组合场中的运动

专题6　带电体（或带电粒子）在叠加场、组合场中的运动 一、带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场：一般是指电场、磁场和重力场并存，或其中两种场并存。 2．三种场力的特点 （1）重力的方向始终竖直向下，重力做功与路径无关，重力做的功等于重力势能的减少量。 （2）静电力的方向与电场方向相同或相反，静电力做功与路径无关，静电力做功的大小等于电势能的变化量。 （3）洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关，方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力始终不做功。 3．叠加场解题思路和方法 （1）带电粒子在存在磁场的叠加场中运动，如果做直线运动，一定是匀速直线运动，带电粒子所受合力为0，应利用平衡条件列方程求解。 （2）带电粒子做匀速圆周运动时，其所受重力和静电力平衡，洛伦兹力提供向心力，应利用平衡方程和向心力公式求解。 （3）当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，带电粒子所受洛伦兹力必不为0，且其大小和方向不断变化，但洛伦兹力不做功，这类问题一般应用动能定理求解。 二、带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子在匀强电场中运动（v0为初速度） （1）若v0与电场线平行，则粒子做匀变速直线运动； （2）若v0与电场线垂直，则粒子做类平抛运动。 2．带电粒子在匀强磁场中运动（v0为初速度） （1）若v0与磁感线平行，则粒子做匀速直线运动；　 （2）若v0与磁感线垂直，则粒子做匀速圆周运动。　 3．基本思路和方法 一、带电粒子在叠加场中的运动 （一）带电粒子在叠加场中的运动判断 1．所受重力不可忽略的带电粒子在无边界的重力场、匀强电场与匀强磁场的叠加场中由静止释放，其运动可能为 A．匀速直线运动 B．匀速圆周运动 C．匀变速曲线运动 D．变加速曲线运动 2．如图所示，电场强度为E的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，一正离子（不计重力）以速度v从左到右射入，恰能沿虚线水平飞越此区域，则 A．该正离子的速度v＝ B．若正离子从右向左飞入，将向上偏转 C．若电子从左向右以速度v飞入，也沿直线运动 D．若电子从右向左飞入，将向下偏转 （二）带电体在叠加场中的直线运动 1．如图所示，实线表示在竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交。有一带电液滴沿虚线AB斜向上做直线运动，AB与水平方向成β角，且α＞β，下列说法正确的是 A．液滴一定做匀速直线运动 B．液滴一定带负电 C．电场力可能做负功 D．液滴有可能做匀变速直线运动 2．如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小环，质量为1.0×10－4 kg，电荷量为4.0×10－4 C的正电荷，小环在棒上可以滑动，将此棒竖直放置在沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度E＝10 N/C，方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，方向垂直于纸面向里，小环与棒间的动摩擦因数μ＝0.2。设小环在运动过程中所带电荷量保持不变，g取10 m/s2，则下列说法正确的是 A．小环由静止沿棒竖直下落的最大加速度为10 m/s2 B．小环由静止沿棒竖直下落的最大速度为2 m/s C．若将磁场的方向反向，其余条件不变，则小环由静止沿棒竖直下落的最大加速度为5 m/s2 D．若将磁场的方向反向，其余条件不变，则小环由静止沿棒竖直下落的最大速度为45 m/s 3．（多选）如图所示，在水平匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中 A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和减少 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能为 D．小球向下运动的稳定速度v＝ 4．质量为m、电荷量为q的微粒以与水平方向成θ角的速度v从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的复合场区，恰好沿直线运动到A点，重力加速度为g。下列说法正确的是 A．该微粒可能带正电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强大小为 5．竖直平面内，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v与磁场方向垂直、与电场方向成45°角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，则下列关于电场强度E和磁感应强度B的大小表示正确的是（重力加速度为g） A．E＝　B＝ B．E＝　B＝ C．E＝　B＝ D．E＝　B＝ 6．如图所示，某空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面方向的匀强磁场（图中未画出），一质量为m的带正电粒子恰能以速度v沿图中虚线所示的轨迹做直线运动，粒子的运动轨迹与水平方向的夹角为60°，匀强电场的电场强度大小为E，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 A．匀强磁场的方向垂直于纸面向外 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子的电荷量为 D．若粒子运动过程中磁场突然消失，则粒子可能做匀减速直线运动 （三）带电体在叠加场中的匀速圆周运动 1．如图所示，电场强度为E的匀强电场竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向外，一带电小球获得垂直于磁场水平向左的初速度，正好做匀速圆周运动。重力加速度为g。下列说法正确的是 A．小球带负电 B．小球做匀速圆周运动的周期为 C．若撤去电场，小球可能做平抛运动 D．若将电场的方向改为竖直向下，小球一定做曲线运动 2．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R。已知电场的电场强度为E，方向竖直向上；磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则 A．液滴带负电 B．液滴所受的重力和电场力平衡 C．液滴顺时针运动 D．液滴运动速度大小为 3．（多选）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示，当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则 A．油滴a带负电，所带电荷量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 4．设在地面上方的真空室内，存在着方向水平向右的匀强电场和方向垂直于纸面向里的匀强磁场，匀强电场的场强E＝6 N/C。如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧轨道AC固定在纸面内，其圆心为O点，半径R＝1.4 m，OA连线在竖直方向上，AC弧对应的圆心角θ＝37°。现有电荷量q＝＋4.5×10－4 C的带电小球，以vA＝3.0 m/s的初速度沿水平方向从A点射入圆弧轨道内，一段时间后从C点离开，此后小球做匀速直线运动。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： （1）小球的质量m； （2）小球经过C点时的速率； （3）小球射入至圆弧轨道A端的瞬间，小球对轨道的压力（计算结果保留2位有效数字）。 （四）带电粒子在复合场中的运动（综合应用） 1．（多选）空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向（垂直于纸面向里）的匀强磁场，如图所示，已知一离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为0，C为运动的最低点。不计重力，则 A．该离子带负电 B．A、B两点位于同一高度 C．到达C点时离子速度最大 D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点 2．（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有 A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 3．如图所示，竖直平面内存在互相垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，电场强度方向水平向右。一质量为m、电荷量为q的带电小球（视为质点）以某一速度，从M点沿着与水平方向成30°的方向做直线运动到N点，MN的长度为l，重力加速度为g，下列说法正确的是 A．小球带负电 B．小球克服电场力做的功为mgl C．小球在N点的速度大小为 D．仅将电场方向逆时针旋转90°，其余条件不变，小球可在空间内做匀速圆周运动 4．如图所示，整个空间存在一水平向右的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，光滑绝缘斜面固定在水平面上，一带正电滑块从斜面顶端由静止下滑，下滑过程中始终没有离开斜面，下滑过程中滑块的位移x、受到的洛伦兹力f洛、加速度a与机械能E机等物理量的大小随时间变化的图线可能正确的是 5．如图所示，虚线MN沿竖直方向，左侧是水平正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1；MN右侧有竖直方向的匀强电场（如图中竖直线，方向未标出）和垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从MN左侧的场区沿与电场线成θ角斜向上的直线做匀速运动，穿过MN上的A点进入右侧的场区，恰好在竖直面内绕O点做半径为r的匀速圆周运动，并穿过MN上的P点进入左侧场区。已知MN右侧的电场对MN左侧无影响，当地重力加速度为g。求： （1）MN左侧匀强电场场强E1的大小； （2）MN右侧匀强电场E2的大小和方向、匀强磁场磁感应强度B2的大小和方向。 二、带电粒子在组合场中的运动 （一）磁场1＋磁场2 如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ＝30°的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场，圆形磁场半径为L，方向垂直于纸面向外，离开圆形磁场时速度方向与水平右方向夹角为60°，求： （1）粒子射入磁场的速度大小； （2）粒子在矩形磁场中运动的时间； （3）圆形磁场的磁感应强度。 （二）电场＋磁场 1．在如图所示的Oxy平面内，第一象限内有方向水平向左的匀强电场，第二、三象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从（l，0）的A点以速度v0沿y轴正方向射入电场，从（0，2l）的C点离开电场，经过磁场后再次到达y轴时刚好从坐标原点O处经过，不计粒子重力，求： （1）电场强度E的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从A点运动到O点经历的时间。 2．在平面直角坐标系xOy的第Ⅰ象限内，有平行于y轴的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y轴正方向；一质量为m、电荷量为－q的粒子，从y轴上的点P（0，l）沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的点a（2l，0）进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限某区域内有垂直于平面向里的匀强磁场。（不计粒子所受的重力） （1）求粒子初速度v0的大小。 （2）如图1所示，若第Ⅳ象限内的磁场区域为正方形abcd，正方形边长为2l，且ad边与x轴重合，粒子飞出磁场后能与y轴负方向成45°角通过y轴，求磁感应强度B1满足的条件。 （3）如图2所示，若第Ⅳ象限内的磁场区域为圆形，圆形区域半径为R（R<2l），且该圆与x轴相切于a点，粒子飞出磁场后恰能沿x轴负方向通过y轴，求磁感应强度B2的大小。 3．如图所示，平面直角坐标系xOy中存在一与x轴相切的圆形匀强磁场区域，圆心坐标为（0，0.2），匀强磁场的磁感应强度大小B＝ T、方向垂直于纸面向外。y<0区域，存在电场强度大小E＝4×103 N/C、方向沿y轴正方向的匀强电场。第四象限内的P点有一质量m＝2×10－9 kg、带电量q＝5×10－5 C的正电粒子，以大小v0＝5×103 m/s的初速度沿x轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O以与x轴负方向成θ＝45°角进入匀强磁场。粒子重力不计，求： （1）P点的坐标； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。 4．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴成60°的方向射入第一象限内的垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。第二象限分布着水平向左的匀强电场，电场强度为E。已知OP＝a，电场和磁场范围均足够大，重力忽略不计。求： （1）带电粒子电性以及第一次穿出第一象限的坐标； （2）匀强磁场的磁感应强度B的大小； （3）带电粒子从P点入射到第三次穿过y轴的时间。 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，在第三、四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场。从y轴上坐标为（0，L）的P点沿x轴正方向，以初速度v0射出一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子经电场偏转后从坐标为（2L，0）的Q点第一次经过x轴进入磁场。其中三、四象限的磁感应强度B＝，不计粒子的重力。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）粒子从P点射入到第二次经过x轴所用的时间； （3）粒子第n次经过x轴的位置离O点的距离。 （三）电场＋磁场1＋磁场2 1．如图，直角坐标系xOy中，在x≤－L区域有沿y轴负方向的匀强电场，在－L＜x≤0区域有方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在x>0区域还有一个圆心在O′（，0）点且与y轴相切的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于坐标平面向外。位于P（－2L，L）点的带正电粒子（不计重力）以初速度v0沿x轴正方向射出，粒子恰能依次经过Q（－L，0）点、O点和圆形区域圆弧上的M点。粒子质量为m、电荷量为q，MO′与x轴正方向的夹角为60°。求： （1）粒子在Q点的速度； （2）－L＜x≤0区域内磁场的磁感应强度大小B1和圆形区域内磁场的磁感应强度大小B2； （3）粒子从P点到M点所用时间。 2．如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界（BC与L1重合），两磁场区域宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1。一电荷量为＋q、质量为m的粒子（重力不计）从AD边中点以初速度v0沿水平方向向右进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。已知AB长度是BC长度的倍。 （1）求带电粒子到达B点时的速度大小。（2分） （2）求区域Ⅰ磁场的宽度L。（4分） （3）要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值。（4分） （4）求在（3）的条件下带电粒子从进入边界L1到第二次到达边界L2的时间。（4分） 3．如图，xOy平面内有区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在以原点O为圆心的圆形匀强磁场，区域Ⅱ存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场。电场强度大小为E，方向沿y轴负方向；两区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直于坐标平面向里。某带电粒子以速度v0从M点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，从N点离开区域Ⅰ并立即进入区域Ⅱ，之后沿x轴运动。已知B＝0.05 T，M点坐标为（0，0.1 m），粒子的比荷＝4×106 C/kg，不计粒子的重力。 （1）求粒子的速度大小v0。 （2）求电场强度E。 （3）某时刻开始电场强度大小突然变为2E（不考虑电场变化产生的影响），其他条件保持不变，一段时间后，粒子经过P点，P点的纵坐标y＝－0.2 m，求粒子经过P点的速度大小vP。 （四）交变电（磁）场 如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q。 （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v。 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6　带电体（或带电粒子）在叠加场、组合场中的运动 一、带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场：一般是指电场、磁场和重力场并存，或其中两种场并存。 2．三种场力的特点 （1）重力的方向始终竖直向下，重力做功与路径无关，重力做的功等于重力势能的减少量。 （2）静电力的方向与电场方向相同或相反，静电力做功与路径无关，静电力做功的大小等于电势能的变化量。 （3）洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关，方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力始终不做功。 3．叠加场解题思路和方法 （1）带电粒子在存在磁场的叠加场中运动，如果做直线运动，一定是匀速直线运动，带电粒子所受合力为0，应利用平衡条件列方程求解。 （2）带电粒子做匀速圆周运动时，其所受重力和静电力平衡，洛伦兹力提供向心力，应利用平衡方程和向心力公式求解。 （3）当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，带电粒子所受洛伦兹力必不为0，且其大小和方向不断变化，但洛伦兹力不做功，这类问题一般应用动能定理求解。 二、带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子在匀强电场中运动（v0为初速度） （1）若v0与电场线平行，则粒子做匀变速直线运动； （2）若v0与电场线垂直，则粒子做类平抛运动。 2．带电粒子在匀强磁场中运动（v0为初速度） （1）若v0与磁感线平行，则粒子做匀速直线运动；　 （2）若v0与磁感线垂直，则粒子做匀速圆周运动。　 3．基本思路和方法 一、带电粒子在叠加场中的运动 （一）带电粒子在叠加场中的运动判断 1．所受重力不可忽略的带电粒子在无边界的重力场、匀强电场与匀强磁场的叠加场中由静止释放，其运动可能为 A．匀速直线运动 B．匀速圆周运动 C．匀变速曲线运动 D．变加速曲线运动 解析：选D。若粒子做匀速直线运动，则合外力为零，由于粒子由静止释放，而合外力为零，故粒子的速度为零，不可能做匀速直线运动，故A错误；若粒子做匀速圆周运动，则重力与电场力相互平衡，只受洛伦兹力作用，由于粒子从静止释放，而重力与电场力相互平衡，故粒子的速度为零，不可能做匀速圆周运动，故B错误；粒子在运动过程中会受洛伦兹力作用，则合外力的方向一直在变化，则粒子不可能做匀变速曲线运动，故C错误；若重力和电场力对粒子都做正功，则粒子的速度增大，粒子受到的洛伦兹力增大，粒子所受合外力发生变化，故粒子做变加速曲线运动，故D正确。 2．如图所示，电场强度为E的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，一正离子（不计重力）以速度v从左到右射入，恰能沿虚线水平飞越此区域，则 A．该正离子的速度v＝ B．若正离子从右向左飞入，将向上偏转 C．若电子从左向右以速度v飞入，也沿直线运动 D．若电子从右向左飞入，将向下偏转 解析：选C。正离子（不计重力）以速度v从左到右射入，恰能沿虚线水平飞越此区域，此时电场力与洛伦兹力平衡，则有qE＝qvB，可得v＝，故A错误；若正离子从右向左飞入，正离子受到的电场力和洛伦兹力均向下，将向下偏转，故B错误；若电子从左向右以速度v飞入，电子受到的电场力与洛伦兹力平衡，也沿直线运动，故C正确；若电子从右向左飞入，电子受到的电场力和洛伦兹力均向上，将向上偏转，故D错误。 （二）带电体在叠加场中的直线运动 1．如图所示，实线表示在竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交。有一带电液滴沿虚线AB斜向上做直线运动，AB与水平方向成β角，且α＞β，下列说法正确的是 A．液滴一定做匀速直线运动 B．液滴一定带负电 C．电场力可能做负功 D．液滴有可能做匀变速直线运动 解析：选A。带电液滴沿虚线AB斜向上做直线运动，可知液滴受电场力、重力和洛伦兹力三力平衡，若液滴做变速运动，则洛伦兹力会发生变化，三力不再平衡，则液滴一定做匀速直线运动，不可能做匀变速直线运动，A正确，D错误。当带电液滴带正电，且电场线方向斜向上时，带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线向上的电场力F、垂直于速度方向斜向左上方的洛伦兹力F洛作用，这三个力的合力可能为零，带电液滴沿虚线AB做匀速直线运动；同理可分析电场线方向斜向上时带电液滴带负电及电场线方向斜向下时。液滴带正负电荷的情况，可得带电液滴所受合力均不为零，不可能沿直线运动，则液滴一定带正电且电场线方向斜向上，故B错误。由以上分析可知，带电液滴带正电，且电场线方向斜向上，此过程电场力做正功，C错误。 2．如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小环，质量为1.0×10－4 kg，电荷量为4.0×10－4 C的正电荷，小环在棒上可以滑动，将此棒竖直放置在沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度E＝10 N/C，方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，方向垂直于纸面向里，小环与棒间的动摩擦因数μ＝0.2。设小环在运动过程中所带电荷量保持不变，g取10 m/s2，则下列说法正确的是 A．小环由静止沿棒竖直下落的最大加速度为10 m/s2 B．小环由静止沿棒竖直下落的最大速度为2 m/s C．若将磁场的方向反向，其余条件不变，则小环由静止沿棒竖直下落的最大加速度为5 m/s2 D．若将磁场的方向反向，其余条件不变，则小环由静止沿棒竖直下落的最大速度为45 m/s 解析：选D。小环静止时受重力、电场力、弹力及摩擦力，电场力方向水平向右，摩擦力方向竖直向上，开始时，小环的加速度应为a＝＝2 m/s2，小环速度将增大，产生洛伦兹力，由左手定则可知，洛伦兹力水平向右，故水平方向合力将增大，摩擦力将增大，加速度将减小，当加速度等于零时，即重力等于摩擦力，此时小环速度达到最大，则有mg＝μ（qvB＋qE），解得v＝＝5 m/s，故A、B错误；若将磁场的方向反向，其余条件不变，则洛伦兹力向左，故当洛伦兹力与电场力平衡时加速度最大，为10 m/s2，故C错误；将磁场反向，当摩擦力与重力平衡时，速度最大，故mg＝μ（qv′B－qE），解得v′＝＝45 m/s，D正确。 3．（多选）如图所示，在水平匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中 A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和减少 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能为 D．小球向下运动的稳定速度v＝ 解析：选BC。小球静止时只受静电力、重力、弹力及摩擦力，静电力水平向左，弹力水平向右，摩擦力竖直向上；开始时，对小球，由牛顿第二定律有mg－μqE＝ma，小球的加速度a＝g－，小球速度增大，受到洛伦兹力，由左手定则可知，洛伦兹力向右，则有a＝g－，可知一开始小球的加速度先增大，A错误；在下降过程中有摩擦力做负功，故有部分能量转化为内能，故小球的机械能和电势能的总和减少，B正确；当洛伦兹力大小等于静电力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达到最大；此后速度继续增大，则洛伦兹力增大，水平方向上的弹力增大，摩擦力将增大，加速度将减小，直到加速度减小为0后做匀速直线运动，故加速度为最大加速度的一半时有两种情况，一种是洛伦兹力小于静电力的情况，另一种是洛伦兹力大于静电力的情况，当洛伦兹力小于静电力时有＝，解得v1＝，当洛伦兹力大于静电力时有＝，解得v2＝，C正确；当加速度等于零时，速度最大且保持稳定，则有mg＝μ（qBv3－qE），解得v3＝，D错误。 4．质量为m、电荷量为q的微粒以与水平方向成θ角的速度v从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的复合场区，恰好沿直线运动到A点，重力加速度为g。下列说法正确的是 A．该微粒可能带正电荷 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强大小为 解析：选C。假设微粒沿OA做匀变速运动，则垂直于OA方向上的合力一定为零，由于F洛＝Bqv与OA垂直，随着微粒速度变化，F洛变化，则垂直于OA方向上不能保持平衡，故微粒一定做匀速直线运动，B错误；假设微粒带正电，微粒所受垂直于速度斜向下的洛伦兹力、竖直向下的重力与水平向左的静电力，三力无法平衡，因此该微粒带负电，A错误；微粒受力分析如图所示，根据平衡条件得qE＝mg tan θ，mg＝Bqv cos θ，解得该磁场的磁感应强度大小B＝，电场的场强大小E＝，C正确，D错误。 5．竖直平面内，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v与磁场方向垂直、与电场方向成45°角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，则下列关于电场强度E和磁感应强度B的大小表示正确的是（重力加速度为g） A．E＝　B＝ B．E＝　B＝ C．E＝　B＝ D．E＝　B＝ 解析：选A。假设粒子带负电，则其所受电场力方向水平向左，洛伦兹力方向斜向右下方与速度方向垂直，可以从力的平衡条件判断出这样的粒子不可能做匀速直线运动，所以粒子应带正电荷，受力情况如图所示。根据合外力为0得mg＝qvB sin 45°，qE＝qvB cos 45°，联立可得B＝，E＝。 6．如图所示，某空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面方向的匀强磁场（图中未画出），一质量为m的带正电粒子恰能以速度v沿图中虚线所示的轨迹做直线运动，粒子的运动轨迹与水平方向的夹角为60°，匀强电场的电场强度大小为E，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 A．匀强磁场的方向垂直于纸面向外 B．匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子的电荷量为 D．若粒子运动过程中磁场突然消失，则粒子可能做匀减速直线运动 解析：选C。带电粒子受到重力、电场力、洛伦兹力，三者平衡，如图，因重力方向向下，电场力方向向右，所以洛伦兹力方向为左上方，根据左手定则可判断匀强磁场的方向垂直于纸面向里，A错误；由平衡条件可知qvB sin 60°＝qE，tan 30°＝，解得 B＝，q＝，B错误，C正确；若粒子运动过程中磁场突然消失，重力和电场力的合力与速度方向垂直且恒定，则粒子做类平抛运动，D错误。 （三）带电体在叠加场中的匀速圆周运动 1．如图所示，电场强度为E的匀强电场竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向外，一带电小球获得垂直于磁场水平向左的初速度，正好做匀速圆周运动。重力加速度为g。下列说法正确的是 A．小球带负电 B．小球做匀速圆周运动的周期为 C．若撤去电场，小球可能做平抛运动 D．若将电场的方向改为竖直向下，小球一定做曲线运动 解析：选B。小球做匀速圆周运动，电场力与重力等大反向，电场力向上，小球带正电，A错误；小球做匀速圆周运动，mg＝qE，T＝，联立可得T＝，B正确；若撤去电场，小球受到重力和洛伦兹力的作用，不可能做平抛运动，C错误；若把电场的方向改成竖直向下，小球受重力与电场力均向下，由运动方向可知洛伦兹力向上，如果合力为零，则小球做匀速直线运动，D错误。 2．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R。已知电场的电场强度为E，方向竖直向上；磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则 A．液滴带负电 B．液滴所受的重力和电场力平衡 C．液滴顺时针运动 D．液滴运动速度大小为 解析：选B。由题意知，液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动，则液滴受到的重力和电场力是一对平衡力，故液滴受到的电场力方向竖直向上，与电场方向相同，可知液滴带正电，故A错误；液滴做匀速圆周运动，由平衡关系，满足mg＝qE，故B正确；磁场方向垂直于纸面向里，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可以判断出液滴逆时针运动，故C错误；液滴所受的洛伦兹力提供液滴做圆周运动的向心力，即qvB＝m，又mg＝qE，联立解得v＝，故D错误。 3．（多选）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示，当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则 A．油滴a带负电，所带电荷量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 解析：选ABD。油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知油滴a带负电，有mg＝Eq，解得q＝，故A正确；由Bqv＝m，得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小v＝，故B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R＝，解得v1＝，周期T＝＝，故C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，又因油滴a带负电，则小油滴Ⅱ也带负电，则根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 4．设在地面上方的真空室内，存在着方向水平向右的匀强电场和方向垂直于纸面向里的匀强磁场，匀强电场的场强E＝6 N/C。如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧轨道AC固定在纸面内，其圆心为O点，半径R＝1.4 m，OA连线在竖直方向上，AC弧对应的圆心角θ＝37°。现有电荷量q＝＋4.5×10－4 C的带电小球，以vA＝3.0 m/s的初速度沿水平方向从A点射入圆弧轨道内，一段时间后从C点离开，此后小球做匀速直线运动。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： （1）小球的质量m； （2）小球经过C点时的速率； （3）小球射入至圆弧轨道A端的瞬间，小球对轨道的压力（计算结果保留2位有效数字）。 解析：（1）当小球离开圆弧轨道后，对其受力分析如图所示，由平衡条件得F电＝qE＝mg tan θ 代入数据解得m＝3.6×10－4 kg。 （2）小球从进入圆弧轨道到离开圆弧轨道的过程中，由动能定理得 qER sin θ－mgR（1－cos θ）＝mv－mv 代入数据得vC＝4 m/s。 （3）根据小球经过C点时的受力分析图可知F洛＝qvCB＝，解得B＝2.5 T 分析小球经过A处时，由向心力公式可知FN＋qvAB－mg＝m 代入数据得FN≈2.5×10－3 N 由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力FN′≈2.5×10－3 N，方向竖直向下。 答案：（1）3.6×10－4 kg　（2）4 m/s （3）2.5×10－3 N，方向竖直向下 （四）带电粒子在复合场中的运动（综合应用） 1．（多选）空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向（垂直于纸面向里）的匀强磁场，如图所示，已知一离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为0，C为运动的最低点。不计重力，则 A．该离子带负电 B．A、B两点位于同一高度 C．到达C点时离子速度最大 D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点 解析：选BC。离子开始受到电场力作用向下运动，可知电场力方向向下，则离子带正电，A错误；根据动能定理知，洛伦兹力不做功，在A到B的过程中，动能变化为0，则电场力做功为0，A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理，离子运动到C点电场力做功最大，则速度最大，C正确；只要将离子在B点的状态与A点进行比较，就可以发现它们的状态（速度为0，电势能相等）相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，那么离子就将在B点的右侧重复前面的曲线运动，因此，离子是不可能沿原曲线返回A点的，D错误。 2．（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有 A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 解析：选BC。电子从M点由静止释放，从M到N，电场力做正功，M、P在同一等势面上，可知电子从N到P，电场力做负功，A错误；根据沿电场线方向电势降低，可知N点电势高于P点电势，B正确；根据洛伦兹力方向与速度方向垂直，对带电粒子永远不做功，可知电子从M到N，洛伦兹力不做功，C正确；洛伦兹力不做功，且M、P在同一等势面上，可知电子在M点和P点速度都是零，即电子在M点和P点都是只受到电场力作用，所以电子在M点所受的合力等于在P点所受的合力，D错误。 3．如图所示，竖直平面内存在互相垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，电场强度方向水平向右。一质量为m、电荷量为q的带电小球（视为质点）以某一速度，从M点沿着与水平方向成30°的方向做直线运动到N点，MN的长度为l，重力加速度为g，下列说法正确的是 A．小球带负电 B．小球克服电场力做的功为mgl C．小球在N点的速度大小为 D．仅将电场方向逆时针旋转90°，其余条件不变，小球可在空间内做匀速圆周运动 解析：选C。由于小球做直线运动，若小球带负电，则受竖直向下的重力、水平向左的电场力、垂直于速度方向斜向下的洛伦兹力，小球不可能做直线运动，所以小球带正电，故A错误；由于小球带正电，受到水平向右的电场力，则电场力做正功，故B错误；由于洛伦兹力与速度有关，则小球一定做匀速直线运动，根据受力平衡有qvB＝，得v＝，故C正确；电场方向没有改变时，由平衡条件可得mg＝qE tan 60°，即重力与电场力大小不相等，所以仅将电场方向逆时针旋转90°，其余条件不变，重力与电场力的合力不为0，则小球不可能在空间内做匀速圆周运动，故D错误。 4．如图所示，整个空间存在一水平向右的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，光滑绝缘斜面固定在水平面上，一带正电滑块从斜面顶端由静止下滑，下滑过程中始终没有离开斜面，下滑过程中滑块的位移x、受到的洛伦兹力f洛、加速度a与机械能E机等物理量的大小随时间变化的图线可能正确的是 解析：选B。滑块从静止下滑过程中，始终未离开斜面，受到的重力竖直向下，电场力水平向右，垂直于斜面方向上受力平衡，沿斜面方向，滑块做匀加速直线运动，A、C错误；速度随时间均匀变化，洛伦兹力f洛＝qvB，随时间均匀变化，B正确；除重力做功外，还有电场力做功，机械能不守恒，D错误。 5．如图所示，虚线MN沿竖直方向，左侧是水平正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1；MN右侧有竖直方向的匀强电场（如图中竖直线，方向未标出）和垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从MN左侧的场区沿与电场线成θ角斜向上的直线做匀速运动，穿过MN上的A点进入右侧的场区，恰好在竖直面内绕O点做半径为r的匀速圆周运动，并穿过MN上的P点进入左侧场区。已知MN右侧的电场对MN左侧无影响，当地重力加速度为g。求： （1）MN左侧匀强电场场强E1的大小； （2）MN右侧匀强电场E2的大小和方向、匀强磁场磁感应强度B2的大小和方向。 解析： （1）带正电的小球在MN左侧场区做匀速运动，受力如图所示， 根据受力平衡有 qvB1cos θ＝mg qvB1sin θ＝qE1 联立解得E1＝。 （2）小球在右侧区域做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡，有qE2＝mg 得E2＝，方向竖直向上 洛伦兹力提供向心力，有qvB2＝m，联立解得B2＝ 根据左手定则可知B2方向垂直于纸面向外。 答案：（1）　（2）　竖直向上　　垂直于纸面向外 二、带电粒子在组合场中的运动 （一）磁场1＋磁场2 如图所示，真空区域有宽度为L、磁感应强度为B的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ＝30°的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于PQ边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场，圆形磁场半径为L，方向垂直于纸面向外，离开圆形磁场时速度方向与水平右方向夹角为60°，求： （1）粒子射入磁场的速度大小； （2）粒子在矩形磁场中运动的时间； （3）圆形磁场的磁感应强度。 解析：画出轨迹图如图。 （1）在矩形磁场区域，根据几何关系L＝R sin 60°，求得R＝L 根据qvB＝解得v＝。 （2）由题意知粒子在矩形磁场区域内转过的圆心角为60°，粒子在矩形磁场中运动的时间 t＝＝×＝。 （3）粒子在圆形磁场区域内，根据几何关系得R′tan 30°＝L 解得粒子在圆形磁场中运动的半径为L，根据qvB′＝解得B′＝B。 答案：（1）　（2）　（3）B （二）电场＋磁场 1．在如图所示的Oxy平面内，第一象限内有方向水平向左的匀强电场，第二、三象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从（l，0）的A点以速度v0沿y轴正方向射入电场，从（0，2l）的C点离开电场，经过磁场后再次到达y轴时刚好从坐标原点O处经过，不计粒子重力，求： （1）电场强度E的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从A点运动到O点经历的时间。 解析：（1）粒子在电场中做类平抛运动，设经历时间为t1，则2l＝v0t1，l＝·t 整理得E＝。 （2）设粒子离开电场时速度大小为v，与y轴夹角为α，则qEl＝mv2－mv，cos α＝ 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则2R sin α＝2l，qvB＝m，整理得B＝。 （3）由第（2）问可知α＝，所以粒子在磁场中运动的时间t2＝· 则t＝t1＋t2＝。 答案：（1）　（2）　（3） 2．在平面直角坐标系xOy的第Ⅰ象限内，有平行于y轴的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y轴正方向；一质量为m、电荷量为－q的粒子，从y轴上的点P（0，l）沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的点a（2l，0）进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限某区域内有垂直于平面向里的匀强磁场。（不计粒子所受的重力） （1）求粒子初速度v0的大小。 （2）如图1所示，若第Ⅳ象限内的磁场区域为正方形abcd，正方形边长为2l，且ad边与x轴重合，粒子飞出磁场后能与y轴负方向成45°角通过y轴，求磁感应强度B1满足的条件。 （3）如图2所示，若第Ⅳ象限内的磁场区域为圆形，圆形区域半径为R（R<2l），且该圆与x轴相切于a点，粒子飞出磁场后恰能沿x轴负方向通过y轴，求磁感应强度B2的大小。 解析：（1）根据题意，粒子在匀强电场中做类平抛运动，则 2l＝v0t，l＝at2，a＝ 联立可得v0＝。 （2）设粒子进入磁场后速度方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝＝1，所以θ＝45° 若粒子飞出磁场后能与y轴负方向成45°角通过y轴，则粒子一定从ab边离开磁场，所以2r cos 45°≤2l 根据洛伦兹力提供向心力qvB1＝m，v＝v0，联立可得B1≥。 （3）若第Ⅳ象限内的磁场区域为圆形，粒子飞出磁场后恰能沿x轴负方向通过y轴，即粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，根据qvB2＝m，解得B2＝。 答案：（1）　（2）B1≥　（3） 3．如图所示，平面直角坐标系xOy中存在一与x轴相切的圆形匀强磁场区域，圆心坐标为（0，0.2），匀强磁场的磁感应强度大小B＝ T、方向垂直于纸面向外。y<0区域，存在电场强度大小E＝4×103 N/C、方向沿y轴正方向的匀强电场。第四象限内的P点有一质量m＝2×10－9 kg、带电量q＝5×10－5 C的正电粒子，以大小v0＝5×103 m/s的初速度沿x轴负方向射入匀强电场，从坐标原点O以与x轴负方向成θ＝45°角进入匀强磁场。粒子重力不计，求： （1）P点的坐标； （2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的时间。 解析：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，由几何关系有vy＝v0tan θ＝5×103 m/s 根据牛顿第二定律有a＝＝1×108 m/s2 则粒子在匀强电场中运动的时间t＝＝5×10－5 s 水平方向有x＝v0t＝0.25 m 竖直方向有y＝at2＝0.125 m 故P点的坐标为（0.25 m，－0.125 m）。 （2）粒子进入匀强磁场的速度大小v＝＝5×103 m/s 由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝0.2 m 粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期T＝＝×10－4 s 粒子的运动轨迹如图所示， 由几何关系可知，粒子在匀强磁场中转过的圆心角α＝135°，故粒子在匀强磁场中的运动时间 t′＝T＝×10－5 s。 答案：（1）（0.25 m，－0.125 m） （2）×10－5 s 4．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴成60°的方向射入第一象限内的垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。第二象限分布着水平向左的匀强电场，电场强度为E。已知OP＝a，电场和磁场范围均足够大，重力忽略不计。求： （1）带电粒子电性以及第一次穿出第一象限的坐标； （2）匀强磁场的磁感应强度B的大小； （3）带电粒子从P点入射到第三次穿过y轴的时间。 解析：（1）粒子从P点以速度v沿与x轴成60°的方向射入，垂直于y轴从A点射出，根据左手定则，粒子运动轨迹如图所示， 由洛伦兹力的方向根据左手定则可知粒子带负电。由几何关系可知 R＝＝2a，OA＝R＋R sin 30°＝3a，因此A点坐标为（0，3a）。 （2）由洛伦兹力公式以及牛顿第二定律可知qvB＝m，解得B＝＝。 （3）进入电场后，由于粒子带负电，电场力F向右，因此粒子减速到零，又加速返回，以原速度大小第二次穿过A点，根据左手定则可知，向上偏转180°第三次经过y轴 在电场中有Eq＝ma 由运动学公式以及对称性可知t2＝＝ 在磁场中，由T＝，t＝T，θ1＝120°，θ2＝180° 可知t1＝T＝，t3＝T＝ 带电粒子从P点入射到第三次穿过y轴的时间t总＝t1＋t2＋t3＝＋。 答案：（1）负电　（0，3a）　（2）　（3）＋ 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，在第三、四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场。从y轴上坐标为（0，L）的P点沿x轴正方向，以初速度v0射出一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子经电场偏转后从坐标为（2L，0）的Q点第一次经过x轴进入磁场。其中三、四象限的磁感应强度B＝，不计粒子的重力。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）粒子从P点射入到第二次经过x轴所用的时间； （3）粒子第n次经过x轴的位置离O点的距离。 解析：（1）粒子从P点射出后在电场中做类平抛运动，则2L＝v0t1，L＝at 根据牛顿第二定律有qE＝ma，解得t1＝，E＝。 （2）根据类平抛运动规律可知，穿过x轴时速度与水平方向的夹角θ满足tan θ＝2×＝1 解得θ＝45°，则进入磁场的速度v＝v0 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝L 根据几何关系可知粒子从O点射出磁场，如图， 粒子在磁场中运动的周期T＝＝ 在磁场运动的时间t2＝T＝ 粒子从P点射入到第二次经过x轴所用的时间t＝t1＋t2＝。 （3）粒子第二次经过x轴后，根据运动的分解可知，竖直方向先匀减速，再匀加速，水平方向匀速运动，运动的时间为2t1，水平方向的位移x′＝v0×2t1＝4L 由上述分析可知第三次经过x轴的坐标为4L，第四次经过x轴的坐标为2L，第五次经过x轴的坐标为6L，如此循环运动， 则粒子第n次经过x轴的位置离O点的距离xn＝（n＋1）L（n为奇数）或xn′＝（n－2）L（n为偶数）。 答案：（1）　（2）　（3）（n＋1）L（n为奇数）或（n－2）L（n为偶数） （三）电场＋磁场1＋磁场2 1．如图，直角坐标系xOy中，在x≤－L区域有沿y轴负方向的匀强电场，在－L＜x≤0区域有方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在x>0区域还有一个圆心在O′（，0）点且与y轴相切的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于坐标平面向外。位于P（－2L，L）点的带正电粒子（不计重力）以初速度v0沿x轴正方向射出，粒子恰能依次经过Q（－L，0）点、O点和圆形区域圆弧上的M点。粒子质量为m、电荷量为q，MO′与x轴正方向的夹角为60°。求： （1）粒子在Q点的速度； （2）－L＜x≤0区域内磁场的磁感应强度大小B1和圆形区域内磁场的磁感应强度大小B2； （3）粒子从P点到M点所用时间。 解析：（1）带电粒子从P到Q做类平抛运动，设带电粒子在Q点时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝2×＝＝，得θ＝30° 则Q点的速度vQ＝＝v0，方向与水平方向成30°角斜向下。 （2）粒子在磁场中的运动轨迹如图所示， QO＝L＝2R sin 30°，解得R＝L 由qvQB1＝m，解得B1＝＝ 带电粒子从O到M，弦长s＝2×cos 30°＝ 弦切角α＝60°，则有s＝2R′sin 60°，解得R′＝ 由公式qvQB2＝m，解得B2＝＝。 （3）粒子从P到Q做类平抛运动，有t1＝ 从Q到O的时间t2＝＝，从O到M的时间t3＝＝，总时间t＝＋。 答案：（1）v0，方向与水平方向成30°角斜向下　（2）　　（3）＋ 2．如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界（BC与L1重合），两磁场区域宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1。一电荷量为＋q、质量为m的粒子（重力不计）从AD边中点以初速度v0沿水平方向向右进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。已知AB长度是BC长度的倍。 （1）求带电粒子到达B点时的速度大小。（2分） （2）求区域Ⅰ磁场的宽度L。（4分） （3）要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值。（4分） （4）求在（3）的条件下带电粒子从进入边界L1到第二次到达边界L2的时间。（4分） 解析：（1）设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有tan θ＝＝，则θ＝30° 根据速度关系有v＝＝。 （2）设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得qvB1＝m 轨迹如图甲所示， 由几何关系得L＝r1，解得L＝。 （3）当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长。设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示， 根据洛伦兹力提供向心力qvB2m＝m 根据几何关系有L＝r2（1＋sin θ） 解得B2m＝1.5B1。 （4）由图中几何关系可知，磁场Ⅰ中的圆心角为60°，磁场Ⅱ中的圆心角为240°，则粒子在磁场Ⅰ中的运动时间t1＝·＝ 粒子在磁场Ⅱ中的运动时间t2＝·＝ 带电粒子从进入边界L1到第二次到达边界L2的时间t＝t1＋t2＝。 答案：（1）　（2）　（3）1.5B1 （4） 3．如图，xOy平面内有区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在以原点O为圆心的圆形匀强磁场，区域Ⅱ存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场。电场强度大小为E，方向沿y轴负方向；两区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直于坐标平面向里。某带电粒子以速度v0从M点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，从N点离开区域Ⅰ并立即进入区域Ⅱ，之后沿x轴运动。已知B＝0.05 T，M点坐标为（0，0.1 m），粒子的比荷＝4×106 C/kg，不计粒子的重力。 （1）求粒子的速度大小v0。 （2）求电场强度E。 （3）某时刻开始电场强度大小突然变为2E（不考虑电场变化产生的影响），其他条件保持不变，一段时间后，粒子经过P点，P点的纵坐标y＝－0.2 m，求粒子经过P点的速度大小vP。 [解析]　（1）带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qBv0＝m 又有r＝0.1 m，联立解得v0＝2×104 m/s。 （2）带电粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，由平衡条件有qBv0＝qE，解得E＝1×103 N/C。 （3）电场强度突然变为2E，粒子运动到P点过程，由动能定理有2qE|y|＝mv－mv 解得vP＝6×104 m/s。 答案：（1）2×104 m/s　（2）1×103 N/C （3）6×104 m/s （四）交变电（磁）场 如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q。 （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v。 解析：（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期T＝2t0 根据T＝知粒子所带的电荷量q＝。 （2）若金属板的板间距离为D，则板长为，粒子在板间运动时有＝vt0 出电场时竖直方向速度为零，则竖直方向y＝2××（0.5t0）2 在磁场中时有qvB＝m，其中y＝2r＝，联立解得v＝π，D＝。 答案：（1）正电　　（2）　π ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $