精品解析：陕西镇安中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题

2025-2026学年第一学期期末考试 高二年级数学 学校：_____班级：_____姓名：______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试场号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线平行”的　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. -1 B. C. D. 1 4. 已知是定义在上的奇函数，且时，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知为空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面，现有如下命题，正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）关于向量的描述，下列说法错误的是（ ） A. B. 向量与向量的单位向量方向相同或相反 C. 零向量没有大小，没有方向 D. 一物体在力的作用下由点移动到点，已知，则力对该物体所做的功为 10. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则一定是钝角三角形 11. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的面积为1 B. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 以为直径的圆的方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是_____. 13. 在的展开式中，含项的系数为___________. 14. 王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2， 2)和原点O. （1）求圆C的方程； （2）相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1， 0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程． 16. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （1）求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 17. 已知在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求的值； （2）若的面积为3，求的值. 18. 如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆E：，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B， (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程； (2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试 高二年级数学 学校：_____班级：_____姓名：______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试场号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：B. 2. “”是“直线与直线平行”的　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：当，；两直线方程分别为：与直线此时两直线重合，充分性不成立． 若直线与直线平行， 则当时，两直线方程分别为或，此时两直线不平行， 当，若两直线平行，则， 即且，解得，即必要性不成立， 故“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件， 故选：． 【点睛】本题在两条直线平行的情况下求参数的值．着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．在判断两条直线平行时，应该注意两条直线不能重合，否则会出现多解而致错． 3. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 解得. 故选：A. 4. 已知是定义在上的奇函数，且时，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出时的函数解析式，进而根据对数的运算求出结果. 【详解】当时，，所以. 因为是定义在上的奇函数，所以. 所以，所以. 因为，所以. 故选：D. 5. 甲、乙两市都位于长江下游，根据多年来的气象记录，记事件A为“甲市下雨”，事件B为“乙市下雨”，已知，，.则和分别等于（ ）.（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】由题，，， 所以， . 故选：C. 6. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可． 【详解】设，则，则， 则， 故选：． 7. 已知为空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面，现有如下命题，正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系性质定理和判定定理逐项分析即可. 【详解】选项A，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交，故A选项不正确； 选项B，因为，， 所以直线分别是平面的法向量所在直线， 又因为，所以两平面的法向量所在直线互相垂直，故，故B选项正确； 选项C，若，，则，又，所以，故C选项不正确； 选项D，若，，， 则与的关系可能为：，，与相交（包括垂直与不垂直）， 故D选项不正确； 故选：B. 8. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的方程为，根据中点条件将的坐标表示出来，根据求出，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出坐标，最后根据两点距离公式求出结果. 【详解】由题意得，，设直线的方程为. 因为的横坐标为，代入方程得其纵坐标为. 所以点的坐标为，设， 因为是的中点，所以，解得. 所以，由于，所以根据抛物线的定义可得，解得. 所以直线的方程为，抛物线. 联立直线与抛物线方程得，化简得. 所以，由于，所以，所以. 所以线段的长为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）关于向量的描述，下列说法错误的是（ ） A. B. 向量与向量的单位向量方向相同或相反 C. 零向量没有大小，没有方向 D. 一物体在力的作用下由点移动到点，已知，则力对该物体所做的功为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量的相关概念可判断ABC，由向量的数量积可判断D. 【详解】选项A，相反向量模相等，故，所以A选项正确； 选项B，根据单位向量的概念可知： 向量的单位向量为：，向量的单位向量为：， 所以向量与向量的单位向量方向相反，不可能相同，故B选项不正确； 选项C，零向量大小为0，方向任意，故C选项不正确； 选项D，由， 所以力对该物体所做的功为： ，故D选项正确. 故选：BC. 10. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则一定是钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理和三角形内角的范围逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据正弦定理得， 化简得，得到或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确； 对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误； 根据余弦定理可得，，因为，所以. 因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确. 故选：BD. 11. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的面积为1 B. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 以为直径的圆的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，由求出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项 【详解】对于A，由双曲线，可得，则， 设，则， 所以，得， 因为点在双曲线上，所以，解得， 所以的面积为，所以A正确； 对于BC，由得，所以双曲线的渐近线方程为，到一条渐近线的距离为，所以B错误，C正确； 对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为，所以D错误， 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知10名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4，则这组数据的60百分位数是_____. 【答案】5.05 【解析】 【分析】根据百分位数的定义和公式计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的60百分位数是第6项和第7项的平均值， 即. 故答案为：5.05. 13. 在的展开式中，含项的系数为___________. 【答案】60 【解析】 【分析】 先求出的展开式的通项，令的指数为，进而可求出含项的系数. 【详解】由题意，的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：60. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中指定项的系数的求法，属于基础题. 14. 王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 【答案】144 【解析】 【分析】根据分步计数乘法原理计算即可. 【详解】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2， 2)和原点O. （1）求圆C的方程； （2）相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1， 0)，若l1，l2被圆C所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程． 【答案】（1）(x＋2)2＋y2＝4 （2）x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0 【解析】 【分析】（1）设圆心C(a，－a－2)，由题意可得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解方程即可得出答案. （2）设出直线的直线，因为圆心C到直线l1，l2的距离相等，用点到直线的距离公式可得，解方程即可得出答案. 【小问1详解】 由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a，－a－2)． 由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2， 解得a＝－2. 因为圆心C(－2，0)，半径r＝2， 所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4. 【小问2详解】 由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设l1的斜率为k，则l2的斜率为， 所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， l2：，即x＋ky＋1＝0. 由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等， 所以，解得， 所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 16. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （1）求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 【答案】（1）0.5 （2）0.8 （3） 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 ，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（2）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（3）求出的所有可能值，利用二项分布求出概率分布列和期望作答. 【小问1详解】 事件表示“顾客购买甲种商品”，事件表示“顾客购买乙种商品”， 则：，. 由题意可知，与相互独立，故，. 购买一种商品包含“买甲不买乙”和“买乙不买甲”，即，且这两个事件互斥，因此：. 【小问2详解】 “至少购买一种”的对立事件是“两种都不买”，即. 所以:. 【小问3详解】 由题意可知，表示3位顾客中至少购买一种商品的人数，每位顾客“至少买一种”的概率为， 故（二项分布）. ①分布列 二项分布概率公式： 分布列： 表格 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 ②期望 二项分布期望公式： ③方差 二项分布方差公式： . 17. 已知在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求的值； （2）若的面积为3，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求，利用正弦定理求a； （2）分别利用面积和余弦定理列方程组，即可求出的值. 【详解】解：（1）因为，B 为内角，所以， 由正弦定理得，即，解得； （2）由的面积得：，得 由余弦定理得，得， 即， 所以即，所以. 18. 如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 因为，，所以. 因为为正方形，所以， 又因为，所以. 因为，所以. 因为，故，而为线段的中点， 所以， 又因为，所以. 而，故； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，证明，得到，从而得证. （2）以为原点，以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系, 设正方形的边长为2，求出平面的法向量和，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案. 【详解】（1）略； （2）因为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，，，， ∴，， 设为平面的法向量，则 所以取，则，而， 故直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查利用空间向量的方法求线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题 19. 已知椭圆E：，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B， (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程； (2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：(1)先利用直线方程求出椭圆的右顶点，再由离心率进行求解；(2)将问题转化为判定直线和椭圆有公共点，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式进行求解. 试题解析：(1)由椭圆的离心率为， 得a＝c，∵直线l与x轴交于A点， ∴A(2,0)，∴a＝2，c＝，b＝， ∴椭圆方程为＋＝1. (2)由e＝，可设椭圆E的方程为＋＝1， 联立 得6y2－8y＋4－a2＝0， 若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解． 设f(y)＝6y2－8y＋4－a2， ∴即 ∴≤a2≤4， 故a的取值范围是≤a≤2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $