黑龙江哈尔滨市2025-2026学年上学期期末考试高二数学试卷

学校 高二数学试卷 考号 姓名 满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡 规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应 的区域内，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知直线y=kx一1的倾斜角为30°，则实数k的值为 A.-√3 B.一3 3 C.3 D.√3 之“圃线+ =1表示椭圆”是“0<t<2”的 2-t A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.若直线2x一4y十1=0与mx十2y十4=0互相垂直，则m= A.4 B.1 C.-1 D.-4 直线1：y=kx与双曲线C:号-》1交于不同的两点，则斜率为的取值范周是 A.(0,1) B.(-√2，√2) C.(-1,1) D.[-1,1] 5.设S,是等差数列{a,}的前n项和，若S,=4,a4十a十a6=6,则- A 9 C.3 4 D. 6 6.已知空间向量a=(1,2,一1)，b=(2,一1,2)，则向量a在向量b上的投影向量为 B.(2,-1,2) c(-8-)u(-- 高二数学试卷第1页（共4页） 。双曲线E无，1a>0,6>0)的左右焦点分别为E,P,点P是以PP,为直径的圆与及 曲线E的一个交点，若PF,+PF:=F,F,,则双曲线E的渐近线为 A.y=士4x B.y=±3t y D.y=±3 7x 8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的A 鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD,∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=4,E是 H、 BC的中点，H是△ABD内的动点（含边界），且EH∥平面ACD,则CA· B-- EH的取值范围是 A.[0,12] B.[2,12] C.[2,11] D.[12,22] 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的有 A.设a,b,c是三个空间向量，则a·(b十c)=a·b十a·c B方程文十2，十户1表示曲线C,m为实数，曲线C不可能表示圆 C.直线的斜截式方程y=kx十b可以表示平面内的所有直线 D.点(1,0)关于直线y=2x的对称点为(0,1) 10.已知数列{am}不是常数列，其前n项和为Sn,则下列选项正确的是 A.若数列{an}为等差数列，Sn<0恒成立，则{an}为递减数列 B.若数列{an}为等差数列，a1>0,S3=Sg,则Sm的最大值在n=5或n=6时取得 C.若数列{an}为等比数列，则S2o27·a2o27>0恒成立 D.若数列{an}为等比数列，则{2}也为等比数列 11.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(2,yo)到其焦点的距离为3，过焦点F 的直线交C于A,B两点，则下列选项正确的是 A.过点M(0,一3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条 B.当S△AoB=2√2时，|AF|·|BF|=4 C.△AOB为钝角三角形 D.|AF|十2|BF|的最小值为2+2√2 高二数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{am}的各项均为正数，若a1十a3=16,a2+a4=4,则该等比数列{am}的公比 为 13.已知M,N两点分别在圆C1:x2+(y-12)2=9和圆C2:x2+y2 10x十21=0上，则|MN|的最小值为 14.如图所示，在边长为(5√2+2)的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个 圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为 图1 图2 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，在空间四边形OABC中，3BD=DC,点E为AD的中点，设OA=a,OB=b,OC=c. (1)试用向量a,b,c表示向量OE; (2)若0A=0B=0C=4,∠A0C=∠B0C=∠A0B=开，求O应.BC 的值. 16.(本小题满分15分) 已知圆C:(x-1)2+（y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,m∈R. (1)证明：直线1恒过定点，并判断直线l与圆的位置关系； (2)当直线1被圆C截得的弦长最短时，求直线1的方程及最短弦的长度. 17.(本小题满分15分) 已知数列a,的前n项和为S,且满足a:=6,当≥2时，5.=n十2)a,(a∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=（一1)”am,求数列{bn}的前n项和Tm. 高二数学试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 知椭圆C:父+21(a>b>0)长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆右焦点F作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N,P,Q,求四边形MPNQ面积 的最小值. 19.(本小题满分17分) 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且∠A1AD= ∠A,AB=∠DAB=于，点E,F分别在B,B和DD上. (1)若BE=BB,DF-DD,求证：A,E,C1,F四点共面； D (2)求三棱锥A1-AEF的体积； (3)若BE=3BB1,点F为线段DD,上（包括端点）的动点，求直线EF与 平面ABB1A1所成角的正弦值的取值范围. 高二数学试卷第4页（共4页）高二数学试题答案 一、 二选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B AB ABC AC 一、单选题 1.C 【详解】由题意可知，直线y=x-1的斜率为k=tan30°= 3 故选：C. 【知识点】直线的倾斜角与斜率的关系. 【核心素养】数学运算（直线倾斜角与斜率关系运算） 2.B [t>0 【详解】若曲线上+ =1表示椭圆，有2-t>0,可得0<t<1或1<t<2, 12-1 t≠2-t “曲线 12-1 1表示肠质可以时0<1<2、0<1<2不可以推#前线子十， 12-1 =1表示椭圆”， 可得曲线亡十广=1表示椭圆是~0<1<2的充分不必要条件 12-1 故选B 【知识点】考查椭圆的标准方程的计算、充分条件、必要条件. 【核心素养】逻辑推理（分析椭圆标准方程系数满足的条件），数学抽象（理解充分必要条件关系） 3.A 【详解】由题意知2m-4x2=0,所以=4. 故选：A 【知识点】考查两直线垂直的充要条件 【核心素养】数学抽象、数学运算（计算两直线垂直的条件）. 4.C 【详解】由双曲线C:x2-y2=2与直线1：y=c联立可(1-k2)x2-2=0,因为直线1：y=c与双曲线C:x2-y2=2 [1-k2≠0 交于不同的两点，所以 81-k)>0可得-1<k<1,，斜率k的取值范围是←1)， 故选C. 【知识点】考查直线与双曲线的位置关系、联立方程组、一元二次方程根的判别式： 【核心素养】数学运算（直线与双曲线联立方程解的个数判断），逻辑推理（判断直线与双曲线交点个数） 5.A 【详解】由Sn是等差数列{a}的前n项和，则S,S-S,S,-S成等差数列， 因为S=4,4,+4+a=6,所以S3+S。-S6=2(S。-S3),S6=6+4=10, 所以4+8-10=2×6，所以3=18，所以令=189 S。105 故选：A 【知识点】考察等差数列的性质 【核心素养】数学运算、数学抽象（从等差数列的具体项和前项和中，抽象出首项、公差等核心量，通过符号运 算解决问题，体现了对数学概念的抽象把握). 6.C 【详解】a在五上的投影向量为 a边.b (1,2,-1)(2,-1,2)(2-1,2） 424 b V4+1+4 V4+1+4 9’99 故选：C 【知识点】考查空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式： 【核心素养】数学运算（向量数量积运算），直观想象（投影向量概念的理解） 7.D 【详解】如图，不妨设在第一象限，则P-PK=a①.又Ps+PgR风-c②， 由0@将到P=a+cP-c-a,又由思知∠KPR-受 所以a-子八+行-a八=4c,丝理得到r己e 所以6=c-G=9d,则5=，即b_37,所以双曲线E的渐近线为y= 3v7 a271 a 7 7 故选：D. 【知识点】双曲线的概念、勾股定理的应用、双曲线渐近线方程 【核心素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象 8.B 【详解】设F,G分别为AB,BD的中点，连接FG,EF,EG,如图， 易得FGIIAD,EFI∥AC,EG/ICD, H 因为FGC平面EFG,ADT平面EFG,所以AD/I平面EFG, 同理AC/1平面EFG, G 又因为AC,ADC平面ACD,AC∩AD=A,所以平面EFG/I平面ACD 因为EH/I平面ACD,所以H为线段FG上的点. 由AB⊥平面BCD,CDC平面BCD,得AB⊥CD, 又∠BDC=90°，则BD⊥CD,由AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD,得CD⊥平面ABD, 因为BG/ICD,所以EG⊥平面ABD,BG⊥PG,coS∠BFG=PC EF 因为BD=2AB=2CD=4,所以FG=AD=5, 所以CA.Ei=(CD+DA)·(EG+Gf)=CD.EG+CD.Gf+DA.EG+DA.GH=2+25H 因为Ga∈0，v5,所以CA·F∈[2,12] 故选：B 【知识点】线面平行的判定与性质、面面平行的传递性、空间直角坐标系、线段长度的取值范围、鳖臑的几何特征 【核心素养】直观想象、逻辑推理（通过推理，将向量数量积问题转化为计算EH长度问题）、数学运算 二、多选题 9.AB 【详解】对于A,设a,B,c是三个空间向量，则a(b+c)=b+a,故A正确： 对于B,曲线C:亡+=1若表示圆，则m=2m+4>0,解得的m=4<0不符合，故该曲线不可能表示一个 m2m+4 圆，故B正确； 对于C,斜截式方程y=+b可以表示平面内斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故C不正确： 34、 对于D,点(1,0)关于直线y=2x的对称点为(- 53,故D不正确 故选：AB. 【知识点】考查空间向量数量积的运算律、二元二次方程表示圆的条件、直线斜截式的适用范围、点关于直线的对 称点问题. 【核心素养】逻辑推理、数学运算、直观想象：对向量数量积运算律的判断需逻辑推理，点关于直线对称点的求解 需计算与几何分析结合；判断直线斜截式适用范围时，需结合直线的几何特征，运算与推理均依托几何直观. 10.ABC 【详解】对于A,若数列{a}为等差数列，Sn<0恒成立，则公差d<0,故{a}为递减数列，故A正确： 对于B,若数列{a}为等差数列，a>0,设公差为d,由S,=Sg,得a4+a4+a。+4,+a=5a。=0 所以，当n<5时，an>0,a。=0,故Sn的最大值在n=5或n=6时取得，故B正确： 对于C,若数列{0}为等比数列，当9=-1时，S027=4+4,十…+a2027=a2027，S027427=427>0 皆-1时，441-g442g上g0成立，改c正痛 1-9 1-9 对于D,若数列{a}为等比数列，则2=2， 所以2=24=2-刊不是常数，故{2}不是等比数列，故D错误 2 故选：ABC. 【知识点】等差数列的单调性、等差数列前项和的最值、等比数列前项和的性质、等比数列的判定 【核心素养】逻辑推理、数学运算、数学抽象：抽象出等差与等比数列的区别，通过前项和的不等式关系推理等 差数列公差符号，运用等比数列前项和性质判断结论. 11.AC 【详解】因为抛物线C:y=2px上一点P(2,)到其准线的距离为3，所以号+2=3，解得p=2,所以抛物线C的 标准方程为y2=4x. 对于A,显然过点M(0,-3)与抛物线C相切的直线有2条， 当过点M(0,-3)的直线与x轴平行时，与抛物线C也仅有一个公共点， 所以过点M(0,-3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故A正确； 对于B,由抛物线C的方程可知，焦点F(1,O), 当直线1的斜率不存在时，H=4,又O=1,所以3Xx4=2,不符合题意。 所以直线1的斜率存在且不为0，设1aBy=k(x-1),k≠0，A(x,y),B(x2,y2), 联立 =-消去x整理符年y-yk=0, y2=4x, 4 所以△=1+k>0,⅓+=y=4,又O例=1， 所以a0y小p6+广w是126， 解得1，测+5=尝尝21-6，子等-=1 k2 44 16 则AFBF列=(x+1)(x+1)=xx+x+x,+1=8,故B错误； 对于C,由选项B可知xx2=1,2=-4, 所以OA·OB=xX,+yy2=1-4=-3<0,所以△AOB是钝角三角形，故C正确： 对于D,由选项B可知xx2=1, 所以4+2r=1+x+20+)=3+x+2≥3+22x-3+2万. 当且仅当号，即写-反，-时，等号发立，故D错误 2 2 故选：AC. 【知识点】直线与抛物线的位置关系、焦点弦的性质与长度计算、三角形形状判定、焦点弦的最值问题： 【核心素养】数学运算（计算抛物线焦点弦长考查运算能力，）、逻辑推理（通过联立直线与抛物线方程：结合抛物 线的几何图形分析焦点弦的最值情况，)、直观想象（将代数运算与抛物线特征结合）， 三、填空题 2 【详解】设等比数列{a}的公比为9，因为{an}各项均为正数，若4+4=16,4，+4，=4， 则县设9》音子故该等比藏列a的公比为对 1 4+a34+4 故答案为： 【知识点】等比数列的概念、等比数列性质。 【核心素养】数学运算（等比数列性质的应用） 13.8 C 【详解】因为C(0,12),R=3,C2(5,0),R=2,所以|CC2=V52+122=13>5=R+R, 所以圆C与圆C,外离， 所以P9mn=|CC2-(R+R)=8, 答案为：8 【知识点】两圆的位置关系、两点间距离公式 【核心素养】直观想象、数学运算：先想象两圆的位置关系（外离、相交等），再运用两点间距离公式计算圆心距， 通过“圆心距与半径关系”推导最值，几何直观引导代数运算 14.20π 【详解】如图1，过⊙F圆心F作EF⊥AD于E,FG⊥CD于G, 则四边形EFGD为正方形，设小圆半径为r,扇形半径为R,则FD=√r, 小圆周长为2加，扇形或长为号R, :剪下一个扇形和圆恰好国成一个圆锥，R=2加，解得R=女， E D B 即BH=4,.BD=BH+HF+FD=4+r+√⑦=（5+V2, H :正方形铁皮边长为(5√2+2)，.BD=V2×(5V2+2)=10+2V2, F-- ∴(5+V2)r=10+2V2,r=2; 图1 图2 在图2中，圆锥的表面积S=)2πr,4r+π72=5πr2=20元 故答案为：20π. 【知识点】圆锥的侧面展开图、扇形弧长公式、圆锥表面积公式、几何图形的拼接关系 【核心素养】直观想象、数学运算：想象圆锥侧面展开为扇形的几何转化过程，明确扇形弧长与圆锥 底面周长的等量关系，运用扇形弧长公式和圆锥表面积公式计算. 四、解答题 15.1)因为3BD=DC,所以BD=}8c=4Oc-O丽)， 所以0而=0丽+丽-0丽+}oc-0丽)-0丽+}00， 因为点上为40的中点，所以0丽-+场-+片丽- 2 2 a++00-a+6. 1 ……………………………5分 8 8 288 (2)已知OA=OB=OC=4,∠AOC=∠BOC=∠AOB=45°， 因为80=0元-0B,0呢=0A+05+0元，…7分 8 所以oEac-(o1+g8+goc)6ec-oi】 -号0c.a丽+0c0丽+0c-05ai-0丽-0c.o丽…9分 8 g44w2k4w4wAb进42GE2a8圈 24 28 28 【知识点】空间向量的线性运算（加减法、数乘）、空间四边形的向量表示. 【核心素养】直观想象、数学运算（运用向量线性运算法则（加减法、数乘）将目标向量用已知向量表示)、数学 抽象：抽象出空间向量数量积与模长、夹角的核心关系，将“向量模长和夹角”的已知条件转化为数量积的代数表达 式，通过代入数值计算结果 16.(1)直线l的方程：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,整理得：(2x+y-7)m+(x+y-4)=0, x+y-4=0,解得x=3,y=1,. 2x+y-7=0 因为m∈R,所以 0…………3分 即直线1恒过定点D3,),代入圆C的方程：(3-1)2+1-2)2<25， 所以点D(3,1)在圆内，故直线l与圆C相交.…6分 （2)因为直线1恒过定点D(3,1),故当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短，…7分 1 由C(1,2)D(3,1),所以kD= 2 ,……………………………9分 所以直线l被圆C截得的弦长最短时，直线1的斜率为2，…………………………11分 此时直线1的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0,………13分 由CD=√5得：最短弦长为2√25-5=45.……………15分 【知识点】直线过定点的证明（分离参数法）、直线与圆的位置关系判定（圆心到直线距离与半径比较）， 圆的弦长公式、弦长最短的条件（直线与定点和圆心连线垂直）、直线方程的求解. 【核心素养】逻辑推理、数学运算、直观想象：用分离参数法推理直线过定点的过程体现逻辑思维；计算圆心到直 线的距离并与半径比较，判断位置关系，需结合圆的几何特征，运算与推理均依托圆的直观形象，推理“直线与定点 和圆心连线垂直时弦长最短”的几何结论，运用弦长公式计算最短弦长，结合直线垂直的斜率关系求解直线方程， 实现几何推理到代数运算的转化. 17（1)由当m≥2时，S。=n+2a,得5，m=n+3)a1…1分 所以2a1=(0+3)an-(n+2)a,得(n+1)a1=(n+2)a,即=80m≥2)，…2分 n+2n+1 所以数列 从第二项开始为常数列，且=4=2，即a,=2n+2(0n≥2)：…3分 n+1 n+13 了6n=1 当n=1时，S2=2a2，得4=6，经检验不符合上式，所以4n= 2n+2n≥2…6分 a直wx-2g6=(Wa《+”2 -6 ,n=1 …………8分 T2=b+b2+b+b4+…+b。=(-2-4)+6-8+10+…+(-1)(2n+2),…10分 当n为偶数时，T=-2+2×=n-2,… ………12分 2 当2为奇数时，T=6+(2)×",=n5.巴 …………14分 「n-2n为偶数 综上，T= -n-5n为奇数 ………………………………………15分 【知识点】考查依据数列前项和求通项公式，错位相减法求和、等差等比数列求和； 【核心素养】逻辑推理、数学抽象（抽象出“a与Sn的递推关系”，抽象出“等差×等比型数列的求和规律，体现对 特殊数列求和方法的抽象应用)，数学运算（遵循错位相减法的运算步骤（乘公比、错位减、求和），通过代数运算 化简得到前n项和)， .c1 e== 18.(1)由题意可知， a2,所以a=2,c=1,所以b=√a-c2=√3，…2分 2a=4 所以椭圆C的方程为士+上 4+3 =1.………………5分 (2)当直线N的斜率不存在时，|MN=3,此时P9的长即为椭圆长轴长，P2=4,·6分 S0y三WP号x4x3=6.… 当直线N的斜率为零时，可得，Sew=Pg-4x3=6.…8分 设直线N的斜率为k,且k≠0，直线MN的方程为：y=k(x-), 直线吧的方程为y三--， …………9分 设M(x,),N(x2y2),P(x3,y),2(x4y4), y=k(x-1) 由 31消去y得(4k+3)x-8kx+4-12=0,A>0显然成立. 所以天·化.及百w西0号 82 4k2+3 y= (-1) 1 由 y21,消去y得(3k+4)x2-8x+4-12k=0,△>0显然成立，12 43 8 所以x3+x4 4+3,5=4-12 4+3,从而P@-+(克，x10+2 ,…13分 32+4 所以no=引mw州Pg×2+120+2_6+12+,…14分 2 242+33k2+44k2+33k2+4 因为产>0，则4+3>03÷+4>0，则(+303+4s (4k2+3)+(3k2+4) 7产(+ 2 4 所Sew-60+空x120720+2 42+33k2+4491+k2)249 <6 ………………………。16分 当且仅当4k2+3=3+4,即K=1时取得最小值，所以四边形PQN面积的最小值为2 .…17分 49 【知识点】考查轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系、弦长公式（直线与椭圆联立得 到弦长)、四边形面积的计算以及利用不等式求最值. 【核心素养】数学抽象（从“距离比为常数”的几何条件抽象为代数方程，确定曲线 类型)：逻辑推理（通过距离比的等式推导椭圆方程，再通过直线与椭圆的联立关系 推导弦长，进而推理面积的最值)；数学运算（包括轨迹方程的代数推导、直线与椭 圆的联立计算、韦达定理的应用、弦长与面积的数值运算)：直观想象（结合椭圆的 几何特征、直线与椭圆的交点位置，想象垂直弦构成的四边形结构，辅助面积分析)： 数学建模（将“动点轨迹”“直线交椭圆”等问题转化为代数模型（方程、函数）进行求解)· E0 13 2 D 19.(1)由题意知AC=AB+AD+AA,AE=AB+三AA,AF=AD+二A4, 3 B 3 即AE+AF=AC,所以A,E,C,F四点共面.·3分 (2)因为BB,∥平面AADD,所以BB,上的所有的点到平面A4DD的距离都相等， A H 1 同理DD上所有的点到A4BB的距离也相等，所以V-As='-A4='-4ABD= 6 489A-A8CD:1 …4分 因为4AD=∠4AB=∠DAB=,所以点A在平面ABCD的射影落在AC上 过点A作AG⊥AC,过点G作GH⊥AB,因为AG⊥平面ABCD,所以AG⊥AB, 又AG与GH是平面AGH内两条相交直线，所以AB⊥平面AGH,所以AB⊥AH, 在直角三角形AA中，∠AAH=60°，44=3，解得AH=3 …6分 又在直角三角形AHG中，∠HAG=30°，所以AG=√3， 在直角三角形AGA中，可得AG=√6，…。 0…………7分 所以e4g=名m名Sw4G=459分 6 (3)设AB与CD的交点为O,以点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由(2)可知AG=V5,AG=6,4(V3,0,V6),423,0,0）,D0,-2,0,80,2.0), 由A4=DD=BE,，可求得D(5,-2,6),B,(52,6), AB=（-2W5,2,0）,A4=（50,6),… ……10分 [-2W3x+2y=0 设元=（化，y,)为平面AAB的法向量，得 -V5x+V62=0 ………。11分 取==√2，得x=2,y=2W3,… …………12分 a-aE证-9：写 设D丽=DD0≤<1)，得F-5,-2,6元)， a-5469 设直线EF与平面ABB,A所成角的为日， EF.n 8V3 46 所以sin8 3V2×V922-62+17 3W922-62+17 因为0≤九≤1,16≤922-61+17≤20，… ……………16分 所以sin0 2W30√6 15’3 …………………………17分 法二：设点F到平面ABBA的距离为h,则由(2)得 yAa=y:4s=4e=45,即3X×3x4Kn60×h=4N5,行 D 32 HA- A=46又因为四边形ABCD为菱形，得BD14C, 3 D 6 由(2)知BD⊥AG,且ACOAG=G,所以BD⊥平面ACCA,得BD⊥AA,又因为DD‖AA,所以 BD⊥DD,所以四边形BDDB为矩形，当F为线段DD三等分点靠近D点时，EF=4,当F与D,重合时， EF=2W5.所以BF∈[4,25]，设直线BF与平面ABR,4所成角为日，得sim日= h2306 EF 15,3 【知识点】空间四点共面的判定（向量共面定理）、向量的线性表示，空间向量数量积的应用、菱形的性质，空间 直角坐标系的建立、平面法向量的求解、直线与平面所成角取值范围 【核心素养】直观想象（想象空间四点的位置关系，依据向量共面定理，推理出“其中一个向量可由另外两个向量 线性表示”的结论，想象平行六面体的结构及菱形面的边长特征，将体对角线转化为向量表达式，运用向量数量积 公式计算，结合菱形“邻边相等”的性质简化运算)，数学运算（通过向量线性运算写出表达式，完成共面判定数学 运算)、逻辑推理（建立空间直角坐标系，计算平面法向量和直线方向向量考查运算能力，推理线面角与向量夹角 的关系，结合动点范围推导线面角正弦值的取值区间)·