精品解析：安徽蒙城县部分学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试卷

安徽蒙城县部分学校联考2025-2026学年上学期八年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限，熟练掌握二元一次方程组的解法及点坐标所在的象限特征是解题的关键；通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 【详解】解：解方程组，得：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点在第四象限； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，将点向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可． 【详解】解：将点向下平移1个单位长度，所得到的点的坐标是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示．有下列说法： ①A、B之间的距离为1200m； ②乙行走的速度是甲的1.5倍； ③b＝960； ④a＝34． 以上结论正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：①当x=0时，y=1200， ∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确； ②乙的速度为1200÷（24﹣4）=60（m/min）， 甲的速度为1200÷12﹣60=40（m/min）， 60÷40=1.5， ∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确； ③b=（60+40）×（24﹣4﹣12）=800，结论③错误； ④a=1200÷40+4=34，结论④正确． 故选D． 4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】由AD平分∠BAC，得∠BAC＝60°．由三角形内角和定理，可得∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝50°． 【详解】∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30° ∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°． 又∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 5. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 7. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，“若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变”，据此解答即可． 【详解】解：图中点的坐标为， 则其关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 故选：B 9. 如图，以点为圆心以任意长为半径画弧，分别交的两边、于点、，分别以、为圆心以的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，过点作交于点．若射线上存在点，使，则当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点F作，使的点有两种情况，由题意知，为的角平分线，得到，证明出，得到，进而得到；然后由得到． 【详解】解：如图，过点F作，，使的点有两种情况， 由题意知，为的角平分线， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ∵， ∴ 综上所述，的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是分情况讨论． 10. 如图，在中， ，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，由已知得△ACD为等边三角形且BD是AC的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式即可求解． 【详解】连接BD交AC于O， 由作图过程知，AD=AC=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠DAC=60º， ∵AB=BC,AD=CD， ∴BD垂直平分AC即：BD⊥AC，AO=OC， 在Rt△AOB中， ∴BO=AB·sin30º=， AO=AB·cos30º=，AC=2AO=3， 在Rt△AOD中，AD=AC=3,∠DAC=60º， ∴DO=AD·sin60º=， ∴=， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知点在第二象限，且点P到x轴的距离为1，则x的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先由点P在第二象限求出x的取值范围，再由点P到x轴的距离求出x的值，最后求出即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∵点到轴的距离1， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查各象限内的点的坐标特征及点到坐标轴的距离，一元一次不等式组的解法，熟悉知识点是解题关键． 12. 对于一次函数 y＝kx+b，当 1≤x≤4 时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为_____． 【答案】y=x+2或y=-x+7 【解析】 【分析】由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解． 【详解】解：∵对于一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6， ∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上． 当点（1，3）、（4，6）在一次函数y=kx+b的图象上时， ，解得：， ∴此时一次函数的解析式为y=x+2； 当（1，6）、（4，3）在一次函数y=kx+b的图象上时， ，解得：， ∴此时一次函数的解析式为y=-x+7． 故答案为：y=x+2或y=-x+7． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 13. 如图，在中，点D是边上的一点．若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边等对角以及三角形的内角和性质、外角性质，先得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且 ∴ 即 故答案为：． 14. 如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm． 【答案】28 【解析】 【分析】作CD⊥OB于点D，依据AAS证明,GMF，再根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过点C作CD⊥OB于点D，如图， ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴AB=CB， ∴ 又 ∴ 在和中， ∴ ∴ 故答案为：28． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 16. 在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． （1）直接写出点，的坐标． （2）若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，确定平移规则是解题的关键： （1）根据点的位置，写出点的坐标即可； （2）根据对应点的坐标确定平移规则，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：，； 【小问2详解】 ∵平移后的对应点为， ∴先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到， ∵点是内部一点，平移后对应点的坐标为， ∴， 解得． 17. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； （3）某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了运用函数概念解决实际问题,理解题意是解题的关键． （1）结合题意运用函数的定义进行求解即可； （2）根据表中信息，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大，得到答案； （3）根据路程速度时间进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； 【小问2详解】 解：由题意得，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大， 声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： （） 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 18. 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元； 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用（元）关于（个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 【答案】（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：，蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：；（2）两种方案都可以，两种方案所需的费用相同 【解析】 【分析】（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式y1=4x，y2=2.4x+16000．（2）使y2=y1得，16000-1.6x=0，解得x=10000，再根据x的取值范围来选择方案即可． 【详解】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1=4x， 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2=2.4x+16000． （2）由y1=y2得，2.4x+16000=4x， 解得x=10000， ∴当x＜10000时，y1＜y2， 选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低． 当x＞10000时，y1＞y2， 选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低． 当x=10000时，y1=y2，选择两个方案的费用相同． 【点睛】考点：一次函数的应用． 19. 如图，在中，，点为边的中点，点在线段上，于点，连接，．已知，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：，点为边的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进而可得，，结合以及三角形外角的定义和性质证明，即可证明结论； （2）首先确定，再根据“直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半”可得 ，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 20. 如图，在中，，，点D在边上，，，过点E作交、边于点G、F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）连接，若，，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：过点A作，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）过点A作，交于点H，由题意易得，则有，然后可证，进而根据线段和差关系及全等三角形的性质可进行求证； （3）由（1）可知：，则有，然后可得，进而可得，，最后问题可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 21. 如图，是等边三角形内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，则，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形. （2） ，理由如下： 由（1）知，是等边三角形， ， ∵，， ， ， ， ； （3）当为或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据，推出，根据旋转，可得，从而得证； （2）根据，推出，然后求得，根据内错角相等，两直线平行，推出； （3）分别表示出，，，然后分或或三种情况进行讨论即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∵，， ， ， 是等腰三角形， 或或， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 那么当为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质，周角，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．以下是某智能洗车店推出的两种收费方案： 方案一：按次收费，没有额外费用； 方案二：办理会员卡，每次洗车打折收费． 设洗车次数为次时，所需费用为元，两种不同收费方案所需费用（元）与洗车次数（次）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： （1）分别求出两种收费方案所需费用与洗车次数之间的函数表达式； （2）请你分析如何选择收费方案更合算？ 【答案】（1）收费方案一所需费用与洗车次数之间的函数表达式为（x为非负整数），收费方案二所需费用与洗车次数之间的函数表达式为（x为非负整数）； （2），当洗车次数小于10次时，选择收费方案一更合算，当洗车次数等于10次时，选择两种收费方案一样合算，当洗车次数大于10时，选择收费方案二更合算 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确求出对应的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两个函数图象的交点横坐标，再结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：设收费方案一所需费用与洗车次数之间的函数表达式为， 把代入得，解得， ∴收费方案一所需费用与洗车次数之间的函数表达式为（x为非负整数）， 设收费方案二所需费用与洗车次数之间的函数表达式为， 把，代入得，解得， ∴收费方案二所需费用与洗车次数之间的函数表达式为（x为非负整数）； 【小问2详解】 解：当时，解得， ∴当时，两种收费方案的费用一样，即此时选择两种收费方案一样合算， 由函数图象可知，当时，收费方案一的函数图象在收费方案二的函数图象下方，即此时选择收费方案一更合算， 当时，收费方案一的函数图象在收费方案二的函数图象上方，即此时选择收费方案二更合算； 综上所述，当洗车次数小于10次时，选择收费方案一更合算，当洗车次数等于10次时，选择两种收费方案一样合算，当洗车次数大于10时，选择收费方案二更合算． 23. 在中，，，于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点． （1）如图，当点在线段上时，求证：． （2）如图，当点在线段上时，其它条件不变，猜想与之间的数量关系并证明． （3）如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） ∵，，， ∴，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， 证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，再根据证明即可得出结论； （）同理（）证明，即可得出结论； （）同理（）证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 即， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽蒙城县部分学校联考2025-2026学年上学期八年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，将点向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示．有下列说法： ①A、B之间的距离为1200m； ②乙行走的速度是甲的1.5倍； ③b＝960； ④a＝34． 以上结论正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 5. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( ) A. B. C. D. 7. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 9. 如图，以点为圆心以任意长为半径画弧，分别交的两边、于点、，分别以、为圆心以的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，过点作交于点．若射线上存在点，使，则当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 10. 如图，在中， ，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知点在第二象限，且点P到x轴的距离为1，则x的值是__________． 12. 对于一次函数 y＝kx+b，当 1≤x≤4 时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为_____． 13. 如图，在中，点D是边上的一点．若，，则的度数为________． 14. 如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 16. 在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． （1）直接写出点，的坐标． （2）若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 17. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； （3）某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 18. 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元； 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用（元）关于（个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 19. 如图，在中，，点为边的中点，点在线段上，于点，连接，．已知，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 20. 如图，在中，，，点D在边上，，，过点E作交、边于点G、F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）连接，若，，则的长为 ． 21. 如图，是等边三角形内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，则，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 22. 随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．以下是某智能洗车店推出的两种收费方案： 方案一：按次收费，没有额外费用； 方案二：办理会员卡，每次洗车打折收费． 设洗车次数为次时，所需费用为元，两种不同收费方案所需费用（元）与洗车次数（次）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： （1）分别求出两种收费方案所需费用与洗车次数之间的函数表达式； （2）请你分析如何选择收费方案更合算？ 23. 在中，，，于点，点是射线上一点，连接，过点作于点，且交直线于点． （1）如图，当点在线段上时，求证：． （2）如图，当点在线段上时，其它条件不变，猜想与之间的数量关系并证明． （3）如图，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $