精品解析：广东省中山市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

广东省中山市2025-2026学年高二上学期期末数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．练习用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．练习结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置． 1. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知：，解得：. 故选：D. 2. 已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 3. 过点分别作两条直线与圆分别相切于A、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系结合二倍角公式计算即可. 【详解】因为，可得圆心，半径， 因为，则， 可得，， 故. 故选:C. 4. 某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图： 下列说法不正确的是（ ） A. 产品升级后，产品的营收是升级前的4倍 B. 产品升级后，产品的营收是升级前的2倍 C. 产品升级后，产品的营收减少 D. 产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变 【答案】C 【解析】 【分析】设产品升级前的营收为，升级后的营收为．然后对升级前后的各类产品进行逐项分析即可. 【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为． 对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为， 故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确． 对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为， 故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确． 对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为， 故升级后的产品的营收增加了，C不正确． 产品升级后，由两个图形可知产品营收的总和占总营收的比例不变，故D正确． 故选：C. 5. 焦点在轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，由，可得，可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，又离心率为2， 所以，所以，所以，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 6. 在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】线段的中点，再结合重心得出，再根据得出，最后再用向量的加减运算将所有向量化为的线性关系即可. 【详解】取线段的中点，因点是的重心， 则， 因，则 则. 故选：A. 7. 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得. 故选：B． 8. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 【答案】B 【解析】 【分析】作，为垂足，作为垂足，则可得，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，利用已知条件可求出的关系式，从而可得答案 【详解】作，为垂足，则平面，作为垂足， 因为∥，所以， 因为，所以平面, 因为平面， 所以， 因为∥， 所以. 以分别为轴，建立空间直角坐标系，设， 依题意可得. 由可得， 即化简可得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由椭圆定义可知，则点在以为圆心为半径的圆内，即可判断各选项. 【详解】由已知可得， 即点在以为圆心为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确； 故选：AC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，则，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有， 即，则 满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 11. 甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与互斥 D. 与对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线斜率和倾斜角的关系得到直线的倾斜角，再由二倍角正切公式得到直线的斜率. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 则，因为，所以． 所以的斜率为. 故答案为：. 13. 已知抛物线C：与：交于A，B两点，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据A，B关于x轴对称、求出点坐标，代入抛物线方程可得答案. 【详解】易知A，B关于x轴对称， 故可设，则， 因为，所以，即， 因为A，B在圆O上，， 所以， 将代入C的方程，得，解得． 故答案为：2. 14. 如图，图中共有10个交汇点：.已知质点甲在地，质点乙在地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由独立事件的乘法公式先求两质点都移动到交汇点的概率，再求两质点都移动到交汇点的概率，最后再将概率相同的点相加即可； 【详解】由题意可得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为， 易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等. 同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为， 易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等. 故同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数. （1）写出此试验的样本空间； （2）求组成的两位数是偶数的概率； （3）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不互相独立 【解析】 【分析】（1）利用列举法即可得到此试验的样本空间； （2）利用公式去求组成的两位数是偶数的概率； （3）利用公式去判断两事件是否独立. 【小问1详解】 从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数 则此试验的样本空间为 【小问2详解】 组成的两位数是偶数的共有8种情况，样本空间共有20种情况， 则组成的两位数是偶数的概率为 【小问3详解】 组成的两位数是3的倍数的共有8种情况，样本空间共有20种情况， 则组成的两位数是3的倍数的概率为 组成的两位数是偶数且为3的倍数共有4种情况，样本空间共有20种情况， 则组成的两位数是偶数且为3的倍数的概率为 记“组成的两位数是偶数” 为事件A； 记“组成的两位数是3的倍数”为事件B 则“组成的两位数是偶数且为3的倍数” 为事件AB 则 由，可得 则事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不互相独立. 16. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求出m的值； （2）求样本质量指标值的平均数和第75百分位数； （3）若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60，80]内的平均数和方差. 【答案】（1） （2），85 （3）74，51 【解析】 【分析】（1）由各直方图面积之和为可得； （2）用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数；比较频率大小确定第75百分位数所在区间，再利用面积关系求解即可； （3）根据两组样本数的比例，先利用各组样本平均数求两组的总样本平均数，再用各组样本方差与平均数、两组总样本平均数求总样本方差. 【小问1详解】 由题意知，解得， 【小问2详解】 样本质量指标值的平均数为， 前3组的频率之和为，前4组的频率之和为， 故第75百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第75百分位数为85. 【小问3详解】 已知在区间内的平均数和方差为67和51， 在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21， 则在[60，80]在内的平均数， 在[60，80]在内的方差. 估计在[60，80]内的平均数为，方差为. 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，， ∵平面，平面， ∴平面． （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 18. 在平面直角坐标系中，两点，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； （3）过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得； （2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解； （3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得. 【小问1详解】 设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即． 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为． 【小问3详解】 如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得． 设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 19. 椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过 作直线与切于 ，则直线与的夹角大小相等. （1）求证：的方程为：； （2）如图2：在（1）的基础上，双曲线的虚轴长为2且与有相同焦点， 不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于 .求证：（ⅰ） （ⅱ） 【答案】（1）证明：当切线斜率存在时，设直线与相切于点， 联立直线和椭圆方程可得， 所以，整理可得； 易知，即，所以可得； 整理可得； 又因为切点在椭圆上，即，整理可得 联立①②可得，即，得； 所以切线方程为，化简可得； 经检验，切线斜率不存在时也符合上式， 即椭圆上在点处的切线方程为. （2）（ⅰ）证明：由，得， 所以的方程为：，由， 消去 ，得， 设，则， 所以 ， 同（1）写出的方程，得 则其斜率之积为，所以. （ⅱ）证明：联立联立， 得到：，即：， 于是，即， 又，，， 得，又由于椭圆的光学性质：， 又，所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用联立方程组应用判别式计算得出椭圆上在点处的切线方程得证； （2）（ⅰ）先联立方程组得出得出韦达定理再结合即可证明；（ⅱ）先联立方程求出，进而得出，最后结合光学性质得出，再根据相似证明结论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：解题第二问的关键点是对（1）的结论即椭圆上在点处的切线方程为的应用求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市2025-2026学年高二上学期期末数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．练习用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．练习结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置． 1. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 过点分别作两条直线与圆分别相切于A、两点，则（ ） A. B. C. D. 4. 某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图： 下列说法不正确的是（ ） A. 产品升级后，产品的营收是升级前的4倍 B. 产品升级后，产品的营收是升级前的2倍 C. 产品升级后，产品的营收减少 D. 产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变 5. 焦点在轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥O-ABC中，G是的重心，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，，则 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 11. 甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法错误的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与互斥 D. 与对立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为______． 13. 已知抛物线C：与：交于A，B两点，若，则______． 14. 如图，图中共有10个交汇点：.已知质点甲在地，质点乙在地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数. （1）写出此试验的样本空间； （2）求组成的两位数是偶数的概率； （3）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由. 16. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求出m的值； （2）求样本质量指标值的平均数和第75百分位数； （3）若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60，80]内的平均数和方差. 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 在平面直角坐标系中，两点，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； （3）过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 19. 椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过 作直线与切于 ，则直线与的夹角大小相等. （1）求证：的方程为：； （2）如图2：在（1）的基础上，双曲线的虚轴长为2且与有相同焦点， 不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于 .求证：（ⅰ） （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $