空间向量法求空间角度、空间距离问题、动点存在性问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间向量法求空间角度问题、空间向量法求空间距离问题、动点存在性问题专项训练 空间向量法求空间角度问题、空间向量法求空间距离问题、动点存在性问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 动点存在性问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1．（25-26高二上·湖南常德·期末）如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，，. (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 例2．（2026·江苏镇江·模拟预测）在三棱锥中，底面，，，.点满足.    (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，若与平面所成角为，求的最大值. 例3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·山西吕梁·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面． (1)若，求证：平面； (2)若是等边三角形，求平面与平面夹角的正弦值． 变式2．（25-26高三上·山西临汾·期末）如图.在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，侧面ABC是正三角形，且，点满足. (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 考点二 空间向量法求空间距离问题 例1．（25-26高二上·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 例2．（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，已知直四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 例3．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，E为中点．    (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点D到平面的距离 变式1．（25-26高二上·广东江门·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，中点.    (1)求直线与平面所成的角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 变式2．（25-26高二上·安徽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若，求点到平面的距离． 变式3．（25-26高二上·山东淄博·期末）如图所示，四边形为平行四边形，四边形为直角梯形，，，平面平面ABEF. (1)若为DF的中点，证明：平面ACP； (2)若，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为，求点到EF的距离. 考点三 动点存在性问题 例1．（25-26高二上·山东滨州·期末）如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，．为的中点，，点到平面的距离为． (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二上·四川南充·月考）如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·北京·月考）如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题： (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的最大正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 变式3．（24-25高二上·广东梅州·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量法求空间角度问题、空间向量法求空间距离问题、动点存在性问题专项训练 空间向量法求空间角度问题、空间向量法求空间距离问题、动点存在性问题专项训练 考点目录 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 动点存在性问题 考点一 空间向量法求空间角度问题 例1．（25-26高二上·湖南常德·期末）如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，，. (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为几何体是平面截正四棱柱所得，所以平面，平面平面，平面平面，所以， 同理，所以四边形为平行四边形； （2）分别以为轴建立空间直角坐标系， 则. 设，因为，因为， 所以，解得，即， 设平面的法向量，由， 得，令，则，所以 由题意知，平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 例2．（2026·江苏镇江·模拟预测）在三棱锥中，底面，，，.点满足.    (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，若与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为底面，底面， 所以，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 设点到平面的距离为， 则 （2）根据（1）的结论，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设， 由， 因为点在线段上， 所以设，设， 所以由， ，， 设平面的法向量为， 所以，取， 所以是平面的一个法向量， 所以 ， 因为，所以对于来说都是增函数， 所以最大，同样最大， 设， 所以当时，该二次函数有最小值，所以函数有最大值， 最大值为，即， 所以， 因此， 所以的最大值为    例3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为，所以四边形为平行四边形. 因为，，所以，，又， 由余弦定理得， 则，因此； 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面. （2）由（1）平面， 又因为，所以直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由是平行四边形，得，则. 设平面的法向量， 则取，得， 假设线段上存在一点， 使得平面与平面的夹角的余弦值为， ，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 而，解得， 所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 此时. 变式1．（25-26高三上·山西吕梁·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面． (1)若，求证：平面； (2)若是等边三角形，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，所以， 又平面平面，且面面，面， 所以直线面，又平面，所以， 又， 所以，， 所以，从而， 又平面， 所以平面. （2）以AB的中点为原点所在直线为轴，所在直线为轴， 如图所示： ， 则， 由题知平面，故取向量为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， ， 令，解得，故， 设平面与平面的夹角为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为： ， 由图可知平面与平面所成的角为锐角， 所以平面与平面的夹角的正弦值为： . 变式2．（25-26高三上·山西临汾·期末）如图.在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证法一：取的中点，连接，， 因为，分别为棱，的中点， 所以且， 又因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 证法二： 取的中点，连接，， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为，分别为，的中点，所以. 又因为平面，平面， 所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）解法一： 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以， 取，则， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 解法二： 连接，过点作直线的垂线，垂足为， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，即平面， 因为，为棱的中点，所以，， 在中，， 即，故， 设直线与平面所成的角为， 在直角三角形，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，侧面ABC是正三角形，且，点满足. (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：是正三角形，为BC中点，， 为BC中点， 平面平面， 平面， 平面 （2）由（1）知平面平面平面平面， 以为原点，方向为轴，ED方向为轴，过作垂直于平面的线为轴建立如图所示直角坐标系， 由（1）知平面二面角的平面角为， 取平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， ∴直线与平面所成角的正弦值为 考点二 空间向量法求空间距离问题 例1．（25-26高二上·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为， 所以以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 可得，，，，由为棱的中点，得， 则，，. 设为平面的法向量，则，即， 令，则，，得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则，             所以， 所以直线与平面所成角的余弦值 . （2）向量，设平面的法向量，，即， 令，则，，得为平面的一个法向量， 则点到平面的距离为. 例2．（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，已知直四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 平面． （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 已知平面，，其中，是的中点，是的中点， 、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， ，， 分别取，则有、、，， ， ， 平面与平面的夹角余弦值为． （3）由，平面的法向量为， 则有， 点到平面的距离为． 例3．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，E为中点．    (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点D到平面的距离 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点F，连接，． ∵E为中点，F为中点，∴且． 又且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）取中点O，连接，过O作． ∵，∴． 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面． 以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，， 则，， 设，则， 设平面的法向量， ，则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为平面的法向量， 平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得， 又， 所以点D到平面的距离为 . 变式1．（25-26高二上·广东江门·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，中点.    (1)求直线与平面所成的角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：，，两两垂直且相交， 故以点B为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系，    由题意可得：，，，，，， 故，，， 设平面的一个法向量， 得， 不妨令，得， 故平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为（）， 则， ， 故直线与平面所成的角的余弦值为. （2）方法1：由（1）可得平面的一个法向量且， 设点到平面的距离为，则. 故点到平面的距离为. 方法2：设点到平面的距离为，由题可知， 直三棱柱中，，， 又，，平面， 平面，即是三棱锥的高， 又是的中点，. ， ， 又，，， ， ， 故点到平面的距离为. 变式2．（25-26高二上·安徽·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，连接，则， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，连接，因为平面，所以， 又，所以，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，即，取，则， 同理可得平面的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为； （2）若，则， 又由（1）平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 变式3．（25-26高二上·山东淄博·期末）如图所示，四边形为平行四边形，四边形为直角梯形，，，平面平面ABEF. (1)若为DF的中点，证明：平面ACP； (2)若，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为，求点到EF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以是的中点，又为DF的中点， 则， 又因为面，面，所以面； （2）取中点，连接，因为，所以， 又因为面面，面 面面 ， 所以面，过点作交于，因为四边形为直角梯形，，， 所以，根据题意，建立如图所示空间直角坐标系. 则有， 设，则，， 所以，，， 设平面的法向量为. 则，令，则，即. 根据题意，解得或（负值已舍去）. 又因为. 所以，， 所以，所以，，， 所以， 所以点到的距离为. 考点三 动点存在性问题 例1．（25-26高二上·山东滨州·期末）如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，．为的中点，，点到平面的距离为． (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【详解】（1）底面是边长为2的菱形，， 是等边三角形， 为的中点， ，， ，， ，为的中点， ，，， ，平面， 平面， 平面，． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 如下图所示，点到平面的距离为，， ， ， 因为在线段上，令， ，， 轴为平面的法向量，则， 平面中，向量，， 设为平面的法向量，则 ，则 ， 二面角的余弦值为， 化简整理得，解得或， ，， 当时，， 当时，， 存在点，且的值为或． 例2．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【详解】（1）由题知， 由余弦定理得， ∴，∴，∴， 又，平面，， ∴平面； （2）如图，过作的垂线，垂足为，则， ∵四边形为等腰梯形，∴. 由（1）知，平面， ∴，又，平面，， ∴平面，∴，∴两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 故与平面夹角的正弦值为； （3）存在. 假设存在，设， 则， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 由题知，解得. 综上，存在点符合，且． 例3．（25-26高二上·四川南充·月考）如图1，正三角形的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)平面，理由见解析 (2) (3)存在，． 【详解】（1）在中， ∵分别是中点， ∴．又平面， 平面， ∴平面． （2）因为二面角为直二面角，即平面平面, 且，平面平面，平面， 所以平面. 如图，以点为坐标原点，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 易知平面的法向量． 设平面的法向量， 则即, 取，得， 则， 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在．设，有，则， ∴ 又，，， ∴， ∴． 把代入上式得， ∴，在线段上存在点，使，此时，． 变式1．（25-26高三上·北京·月考）如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在； 【详解】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面 （2）因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内. 变式2．（25-26高二上·河南南阳·月考）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题： (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的最大正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为平面平面，所以点到平面的距离等于， 所以， 所以. （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，其中， ， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 当且仅当时，直线与平面所成角的正弦值最大，且其最大值为. （3）由（2）知、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，令，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 若平面平面，则，即，解得， 因此不存在这样的点使得平面平面. 变式3．（24-25高二上·广东梅州·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在满足题意的点，此时 【详解】（1）由平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，有，故， 建立如图空间直角坐标系，   ，得， 易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， ，令，得，， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知，则，假设存在满足题意的点. 设，则， 得，即，所以， 故点到平面的距离为， 即，解得或（舍去）， 所以存在满足题意的点. 此时，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $