精品解析：河南省开封高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

开封高中27届高二年级上学期期末考试 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（ ） A. 25 B. 50 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可得，得， 所以到的左､右焦点的距离之和为. 故选：D 2. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】， 故选：A 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直求得的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以”是“直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值. 【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为， 又，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：A. 6. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率． 【详解】由已知，， 当时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为； 当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为． 故选：C． 7. 在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正三棱锥的特征，由勾股定理即可求解半径，进而由体积公式求解. 【详解】由已知可得是正三棱锥，设PH是正三棱锥的高， 易知外接球求心O在PH上，且H为底面正的中心． 如图，设外接球的半径为R，由题可知， 则．由得，解得， 所以外接球的体积为． 故选：C． 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解. 【详解】设球的半径为， 球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长， 因为，所以. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，是空间任意四点，则有 C. 已知，能判定空间中四点，，，共面 D. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线判断A，根据空间向量线性运算法则判断B，根据空间向量共面定理判断C、D. 【详解】对于A：因为，， 所以，则，则或与在同一条直线上，故A错误； 对于B：若，，，是空间任意四点，则有，故B正确； 对于C：，三个向量共面， 四点共面，故C正确； 对于D：，三个向量共面， 不能作为空间的一组基底，故D错误. 故选：BC 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定数列的所有正数项判断A；举例说明判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用等差数列前n项和公式及性质推理判断D. 【详解】对于A，由，令，解得，令，解得， 又，则，，数列单调递减，数列前项的和最大，A正确； 对于B，当，时，等比数列也是递减数列，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，若为等差数列，则，则， （为常数），因此数列是等差数列，D正确． 故选：ACD 11. 斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法正确的为（ ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过验证点关于直线，对称的点在曲线上，结合图象可判断A；将，与曲线方程联立可得顶点坐标，由此可得长轴长和短轴长，结合椭圆之间关系和离心率定义可判断B；当直线与曲线相切时，取得最大值，联立后利用可求得C；将转化为，根据可求得D． 【详解】对于A，点关于直线对称的点分别为， 又曲线， 可知点在曲线上， ∴曲线图象关于直线和对称； 由图象可知：曲线的长轴在上，则焦点在直线上，故A正确； 对于B，由，解得或， 椭圆长轴长，则； 由，解得或， 椭圆短轴长，则； ，离心率，故B错误； 对于C，当直线与曲线相切时，取得最大值； 由得：， ，解得（舍）或， 的最大值为，故C正确； 对于D，中点为椭圆的焦点， ， ，， ，故D错误． 故选：AC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 13. 已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断出两圆外离，根据求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以圆与圆外离， 所以. 故答案为： 14. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 16. 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【小问1详解】 因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． 【小问2详解】 [方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 17. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行； （1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 证明：. 因为，所以， 平面，所以平面. 【小问2详解】 易知为平面的一个法向量，且. . 易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 18. 某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，… （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； （3）求的值（精确到1）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用递推公式、待定系数法、等比数列及其求和公式运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意知，并且 ． ① 【小问2详解】 解：将化为 ． ② 比较①②的系数，可得， 解这个方程组，得， 所以，（1）中的递推公式可以化为． 【小问3详解】 解：由（2）可知，数列是以为首项， 为公比的等比数列，则 ． 所以． 19. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【答案】（1）2 （2）16 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可． （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可． （3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点． 【小问1详解】 抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，， 联立，得， ， 所以，， . 【小问3详解】 设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得． 由，解得， 所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中27届高二年级上学期期末考试 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（ ） A. 25 B. 50 C. 10 D. 20 2. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，是空间任意四点，则有 C. 已知，能判定空间中四点，，，共面 D. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 11. 斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，，为坐标原点，则下列说法正确的为（ ） A. 该椭圆的焦点在直线上 B. 该椭圆的离心率为 C. 的最大值为 D. 最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 13. 已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 14. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 16. 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 17. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 18. 某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，… （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； （3）求的值（精确到1）． 19. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． （1）求的值； （2）倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； （3）是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $