精品解析：江苏省镇江市2026届高三第一学期零模数学试题

2025～2026学年第一学期高三“零模” 数学试卷 2026.02 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，，则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知直线与平面.命题：在平面外，命题：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 4. 已知曲线： ，曲线： 的离心率分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若能被7整除，则的一个值可能为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 7. 若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若 ，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 10. 已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若，，成等差数列，则 C. D. 11. 在直角梯形中，，，，将沿 翻折，形成一个二面角.则（ ） A. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得 B. 若二面角的大小为，则异面直线 与所成角的余弦值为 C. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得三棱锥外接球的体积为 D. 若二面角的大小为，点为线段 上的动点，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 13. 圆台的上底面半径为 ，下底面半径和母线长均为 ，则它的体积为________. 14. 已知函数，，则的解集为________；与图象的交点横坐标之和为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. （1）求第2次射箭的人是甲同学的概率； （2）甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 16. 已知等比数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 17. 在三棱锥 中， 底面，， ，.点满足. （1）求点到平面 的距离； （2）点 在线段 上，若 与平面 所成角为 ，求的最大值. 18. 已知抛物线：（ ）的焦点到其准线的距离为2. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线 与抛物线的另一个交点为 ，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）若存在正数，使得，求实数的取值范围； （2）设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期高三“零模” 数学试卷 2026.02 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求得 的值，再用复数的绝对值公式求解即可. 【详解】由题，则=. 故选：D. 2. 已知直线与平面.命题：在平面外，命题：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断命题能否推出命题，以及命题能否推出命题，进而确定是的什么条件. 【详解】判断充分性:在平面外，直线在平面外包含两种情况: 直线与平面平行或直线与平面相交,当直线与平面相交时，不满足， 即由不能必然推出，所以充分性不成立; 判断必要性:直线与平面平行属于直线在平面外的一种情况， 所以当时，一定有在平面外，即由可以推出，所以必要性成立; 所以是的必要不充分条件. 故选:B 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量得正态曲线关于直线对称，所以且，进一步可得结果. 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 所以，且， 所以， 故选：C. 4. 已知曲线： ，曲线： 的离心率分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】曲线的长半轴长为，短半轴长为，所以焦距为. 曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以焦距为. 由. 故选：A 5. 在中，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算求解即可. 【详解】设交于， 因为，， 所以，， 则, 故选：A 6. 若能被7整除，则的一个值可能为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】运用二项式定理、结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 7. 若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径再结合直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系可知，然后解不等式可得的取值范围. 【详解】由题意可得：圆心为，半径，且直线过定点， 因为圆上有且仅有2个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离满足， ，结合，解得， 故选： D. 8. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若 ，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【详解】由 , 即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当 时取等号. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的解析式，再逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数 在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，令，得， 当 时，，故C正确； 对于D，因为 关于中心对称， 所以关于 中心对称，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若，，成等差数列，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将题设等价转化成直线与函数图像有三个不同的交点，作出函数图像，数形结合即可分析求解判断AB；利用求出得到，接着由方程的根与系数关系分析得到即可判断C；由C得到，通分即可求解判断D. 【详解】由题可得方程（）有三个不同的根、、，其中， 则直线与函数图像有三个不同的交点， ，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 且时 ，时 ， 作出函数图像如下图所示， 由图可知的取值范围为，故A错误； 因为导函数关于直线对称， 所以如图所示函数图像关于点对称， 所以由图可知若、、成等差数列，则，故B正确； 由图可知， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又由题方程即的根为、、， 且方程的根为、、， 所以即，由图可知，所以， 所以，故C正确； 由C可知，所以.故D正确. 故选：BCD 11. 在直角梯形中，，，，将沿翻折，形成一个二面角.则（ ） A. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得 B. 若二面角的大小为，则异面直线 与所成角的余弦值为 C. 在翻折的过程中，存在某个位置，使得三棱锥外接球的体积为 D. 若二面角的大小为，点为线段 上的动点，则最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，应用空间向量研究即可判断；对于B项，结合二面角大小，应用空间向量求，进而可求出异面直线 与所成角的余弦值；对于C项，研究外接球半径的取值范围，进而可判断C项的正误；对于D项，可建立空间直角坐标系，应用坐标运算求的最小值即可. 【详解】对于A项，因为在直角梯形中，，，，所以可得，. 设的中点为，连接（如图1）， 因为且， 所以且， 又因为, 所以， 其中，所以， 所以在翻折的过程中，不会垂直，故A错误； 对于B项，因为，，所以. 因为， 所以， 所以， 又因为异面直线 与所成角在，所以异面直线 与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C项，取的中点，连接（如图1）， 设直线过点且垂直于平面， 因为点是直角三角形的斜边的中点，再结合球的截面性质， 所以外接球的球心在直线上. 设直线过点且垂直于平面，同理可知外接球的球心也在直线上. 同时可证直线，直线均在平面内. 作截面（如图2），其中为二面角的平面角， 设，外接球的球心为, 则外接球的半径为， 且 （当，即二面角为直角时取最小值）， 所以三棱锥外接球的体积最小为， 所以在翻折的过程中，三棱锥外接球的体积可以为，故C正确； 对于D项，可建立空间直角坐标系（如图3所示）， 则, 设点且， 所以， 所以， 所以 所以当时，取最小值，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将已知角与目标角关联，利用诱导公式把转化为，再用二倍角公式代入已知值计算. 【详解】令，则，且； 代入目标表达式：； 利用诱导公式，得：； 用二倍角公式，代入，则. 故答案为： 13. 圆台的上底面半径为 ，下底面半径和母线长均为 ，则它的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图， ，过作的垂线，垂足为，则， 由勾股定理知，即圆台的高为3， 所以圆台的体积为， 故答案为：. 14. 已知函数，，则的解集为________；与图象的交点横坐标之和为________. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】先将代入不等式，再根据对数函数的性质求解不等式；先分析函数和的对称性，再根据对称性求出交点横坐标之和. 【详解】由题意得，，即，又在单调递增， ，解得，故的解集为. ，则， ， 故函数的图象关于点对称， ，则， ， 故函数的图象关于点对称， 两个函数的图象都关于点对称， 两个函数的图象交点也关于点对称， 因为，可知单调减区间为，图象关于点对称，时，时， 函数，可知函数单调增区间为，值域为且图象关于点对称， 可画出两个函数的大致图象，两个函数的图象有两个交点且关于点对称， 所以交点横坐标之和为. 故答案为：；2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. （1）求第2次射箭的人是甲同学的概率； （2）甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下： . 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 第2次射箭的人是甲同学有以下两种情形： 情形一：第1次是甲同学，且射中； 情形二：第1次是乙同学，没射中， 所以第2次射箭的人是甲同学的概率为 ； 【小问2详解】 由题意可知 ， ， ， ， 所以的分布列如下： 所以 . 16. 已知等比数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1）或 （2）55或 【解析】 【分析】(1)设公比为，求出公比即可得解. (2)由(1)得到的通项公式，先写出，然后乘以公比得到，利用错位相减法，通过化简得到，最后将代入求出. 【小问1详解】 设公比为，则由和可得， 即，解得 或， 或 【小问2详解】 ①当 时，，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ②当时，， ①， 所以②， 由①-②得 ， 17. 在三棱锥 中， 底面，，，.点满足. （1）求点到平面 的距离； （2）点 在线段 上，若 与平面 所成角为 ，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用棱锥体积的等积性进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为 底面，底面， 所以，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为 平面， 所以， 设点到平面 的距离为， 则 【小问2详解】 根据（1）的结论，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设， 由， 因为点 在线段 上， 所以设，设， 所以由， ，， 设平面 的法向量为， 所以，取 ， 所以是平面 的一个法向量， 所以 ， 因为，所以对于来说都是增函数， 所以最大，同样 最大， 设， 所以当时，该二次函数有最小值，所以函数 有最大值， 最大值为，即， 所以， 因此， 所以的最大值为 18. 已知抛物线：（ ）的焦点到其准线的距离为2. （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线 与抛物线的另一个交点为 ，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可求解； （2）①设直线的方程为，然后与抛物线联立可得，同理设出直线 的方程为可得，即得，再结合，即可求解； ②假设存在这样的，设，且，化简整理可得对任意恒成立，即可求解. 【小问1详解】 由题意点到其准线的距离为，则， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为，，，， 联立，得，所以， 设直线 的方程为， 联立，得，所以， 所以可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，所以，解得， 所以直线的方程为. ②假设存在这样的，设，， 所以，即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立即存在. 19. 已知函数，. （1）若存在正数，使得，求实数的取值范围； （2）设在处的切线方程为. ①求的解析式； ②当时，恒成立，求的取值集合. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出的定义域为，求出，分别按照和利用导数法求单调性讨论求解； （2）①利用导数的几何意义求出，利用点斜式求出在处的切线方程；②设，求出，求出，当时，恒成立，则，解得，在这个范围内分别按照，，， 这四种情况讨论求解. 【小问1详解】 ，，解得， 故的定义域为， ， 当时，即 时且时， 恒成立，则在上为增函数. 对一切正数，恒成立，舍去. 当时，即时且时， ，则在上为减函数. 对一切正数，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 ①，， ， ， 则在处的切线的斜率为， 切点为， 则在处的切线方程为； ②设，， ， ， 由题意，当时，恒成立 则，解得， 当时，即时，当时， ， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. 当时，即时，当时， ， 在上是单调递增函数，则， 此时，，矛盾. 当时，即时，， 在上是单调递减函数， 则当时， ，恒成立， 当时，，恒成立，故满足题意； 当时，又，即时， 当时， ， 在上是单调递增函数，则 ， 此时，，矛盾. 综上可得，的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $