专题 1.3 乘法公式（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.3 乘法公式（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平方差公式 1 ★【题型 1】利用平方差公式进行运算 2 ★★【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 2 ★【题型 3】平方差公式与几何面积 2 【知识点二】完全平方公式 4 ★【题型 4】利用完全平方公式进行运算 4 ★【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 4 ★【题型 6】完全平方公式与几何面积 5 二.综合培优题型精析 6 ★★【题型7】完全平方公式与平方差公式综合运算 6 ★★【题型 8】利用完全平方公式变形进行综合运算 7 ★★【题型 9】完全平方公式与平方差公式综合化简求值 7 ★★【题型 10】完全平方公式与平方差公式的规律探究 8 三.中考真题专练 9 （一）选择题（6题） 9 （二）填空题（6题） 10 （三）解答题（4题） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】平方差公式 运算法则 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 ★【题型 1】利用平方差公式进行运算 【例题1】（北师大版七下第23页练习第1题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，则 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． ★★【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 【例题2】（北师大版七下第23页练习第6题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）计算：，则 ． 【变式2】（24-25七年级上·上海崇明·期中） ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． ★【题型 3】平方差公式与几何面积 【例题3】（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）小明用边长为a和b的两个正方形，通过“等面积法”构造了如图所示的一种变化，这种从左到右的变化可以用来验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）如图，从边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形．剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，可以拼成一个长方形（如图所示），则该长方形的面积可表示为 ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【知识点二】完全平方公式 运算法则 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的两倍的和（差）. ★【题型 4】利用完全平方公式进行运算 【例题4】（北师大版七下第16页练习第3题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（四川宜宾市2025年秋期学校义务教育阶段教学质量监测八年级数学）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ★【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 【例题5】（北师大版七下第23页练习第8题改编）（25-26七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． (1) (2)； 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·假期作业）利用乘法公式简便计算： (1)； (2) ★【题型 6】完全平方公式与几何面积 【例题6】（25-26八年级上·北京·期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 二.综合培优题型精析 ★★【题型7】完全平方公式与平方差公式综合运算 【例题7】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) ★★【题型 8】利用完全平方公式变形进行综合运算 【例题8】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，计算下列各式的值： （1） ； （2） ． 【变式3】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) ★★【题型 9】完全平方公式与平方差公式综合化简求值 【例题9】（22-23七年级下·四川·期末）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【变式2】（2024·广东深圳·二模）已知，则多项式的值为 ． 【变式3】（23-24七年级下·江苏苏州·月考） （1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中，． ★★【题型 10】完全平方公式与平方差公式的规律探究 【例题10】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____； (2)请证明（1）中得到的规律； (3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……． 请你用发现的规律计算．（写出计算过程） 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·月考）根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容． 小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ； (1)小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：______； (2)小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是m（，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为（用含m，n的式子表示）______； (3)请对这个规律进行证明． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·宁夏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2024·上海·中考真题）计算 ． 8．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 9．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 10．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 11．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    12．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 15．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 16．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 乘法公式（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平方差公式 1 ★【题型 1】利用平方差公式运算 1 ★★【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 3 ★【题型 3】平方差公式与几何面积 5 【知识点二】完全平方公式 8 ★【题型 4】利用完全平方公式进行运算 9 ★【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 10 ★【题型 6】完全平方公式与几何面积 12 二.综合培优题型精析 15 ★★【题型7】完全平方公式与平方差公式综合运算 15 ★★【题型 8】利用完全平方公式变形进行综合运算 17 ★★【题型 9】完全平方公式与平方差公式综合化简求值 20 ★★【题型 10】完全平方公式与平方差公式的规律探究 23 三.中考真题专练 26 （一）选择题（6题） 26 （二）填空题（6题） 29 （三）解答题（4题） 33 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】平方差公式 运算法则 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 ★【题型 1】利用平方差公式运算 【例题1】（北师大版七下第23页练习第1题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式可进行求解． （1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确地计算是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用平方差公式进行计算即可． （1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方公式逆用，利用平方差公式将已知条件变形，再逆用积的乘方公式求解即可． 解：∵ ， ∴， ∴ ． 故答案为：25． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的运算，运用平方差公式展开进行计算，即可作答． （1）（2）（3）根据平方差公式计算即可. （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. ★★【题型 2】利用平方差公式进行简便运算 【例题2】（北师大版七下第23页练习第6题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2)1 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）（2）根据平方差公式进行求解即可． （1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）计算：，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解决问题的关键．利用平方差公式可知，进而即可求解． 解：， 又 ， ∴ ，解得 ． 故答案为1． 【变式2】（24-25七年级上·上海崇明·期中） ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过将变形为，利用平方差公式简化计算． 解： ， 故答案为：1． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 160000 25 【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．解决问题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）把化为，把化为，然后利用平方差公式计算； （2）把化为，把化为，然后利用平方差公式计算． 解：（1）原式， ； （2）原式， ， ． 故答案为． ★【题型 3】平方差公式与几何面积 【例题3】（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）小明用边长为a和b的两个正方形，通过“等面积法”构造了如图所示的一种变化，这种从左到右的变化可以用来验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，用含a、b的式子分别表示出两幅图中的阴影部分面积即可得到答案． 解：左边那幅图中的阴影部分面积为， 右边那幅图中的阴影部分面积为， ∵两幅图中的阴影部分面积相等， ∴从左到右的变化可用来验证， 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）如图，从边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形．剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，可以拼成一个长方形（如图所示），则该长方形的面积可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形变换，掌握变换前后阴影部分面积不变是关键． 根据图形变换（拼图法），阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求出答案． 解：左边阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，即，右边变换后的图形面积不变，即为， 故答案为：. 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 【知识点二】完全平方公式 运算法则 两数和（差）的平方等于这两数的平方和与这两数积的两倍的和（差）. ★【题型 4】利用完全平方公式进行运算 【例题4】（北师大版七下第16页练习第3题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题关键． （1）（2）（3）（4）根据完全平方公式计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（四川宜宾市2025年秋期学校义务教育阶段教学质量监测八年级数学）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式化简即可得出答案． 解：． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 【答案】 16 4 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 先将等号右边的完全平方公式展开，再通过比较等式两边多项式的系数，确定参数的值即可． 解：右边展开得 ， ∴， ∴，， 解得 ， ． 故答案为：，． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可； （1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键． ★【题型 5】利用完全平方公式进行简便运算 【例题5】（北师大版七下第23页练习第8题改编）（25-26七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）（2）运用完全平方公式计算即可． （1）解： ； （2）解： 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握将对称数表示为中间数±差值，利用完全平方公式简化平方和计算是解题的关键． 将和分别表示为和，利用完全平方公式计算平方和． 解：设，则， ∵， ∴代入得， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： ． 【答案】40000 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 解： ， 故答案为：40000． 【变式3】（25-26七年级上·全国·假期作业）利用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）（2）运用完全平方公式计算即可． （1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ， ★【题型 6】完全平方公式与几何面积 【例题6】（25-26八年级上·北京·期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，数形结合，熟记完全平方公式是解决问题的关键． （1）数形结合，表示出，利用完全平方公式展开后，合并同类项即可得到答案； （2）由（1）中所求的，将代入计算即可得到答案． （1）解：放置冰块部分的面积 ； （2）解：当时，． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用几何图形验证完全平方公式，解决本题的关键是用不同的方式表示正方形的面积． 解：大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形是由两个边长分别为、的正方形和个长为宽为的矩形组成， 大正方形的面积还可以表示为， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式与几何综合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由题意得，，，则根据即可求解． 解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． （1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 二.综合培优题型精析 ★★【题型7】完全平方公式与平方差公式综合运算 【例题7】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式，灵活的应用平方差公式是解题的关键． （1）（2）直接运用平方差公式进行计算即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）根据平方差公式计算即可； （2）（3）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3】（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （2）两次利用完全平方公式计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ★★【题型 8】利用完全平方公式变形进行综合运算 【例题8】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【答案】(1)5，1 (2)124 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． （1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，观察已知，等式左右两边同除以，并移项可转化为，再对等式两边平方化简即可求出的值． 解：∵，且， ∴两边除以得，即， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，计算下列各式的值： （1） ； （2） ． 【答案】 1 12 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． （1）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出的值； （2）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相加即可求出的值，然后展开，最后将、整体代入即可． 解：（1）， 得，， ，， ， 解得：， 故答案为：； （2）， 得，， ，， ， 解得：， ，， ∴原式， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． （1）解：，， ； （2）解：，， ； （3）解：，， ． ★★【题型 9】完全平方公式与平方差公式综合化简求值 【例题9】（22-23七年级下·四川·期末）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），1；（2），5 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则，进行化简，再代值计算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项进行化简，再代值计算即可． （1）解：原式 ； 当，时，原式 （2）解：原式 ； 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握整式的混合运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ∵， ∴原式． 故选：A． 【变式2】（2024·广东深圳·二模）已知，则多项式的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了代数式求值，整式的运算，利用换元法代入求值并掌握整式的运算规则是解题的关键．由可知，将其代入多项式，化简即可计算出答案． 故答案为：2024． 【变式3】（23-24七年级下·江苏苏州·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；；（2）； 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式化简，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式与平方差公式，单项式乘以多项式化简，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 解：（1） 当时，原式； （2） 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键． ★★【题型 10】完全平方公式与平方差公式的规律探究 【例题10】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____； (2)请证明（1）中得到的规律； (3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……． 请你用发现的规律计算．（写出计算过程） 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明 ，再利用该结论计算求解即可． （1）解：； ； ； ……， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）证明： ； （3）解： ， ∴，． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、数字的变化类，根据所列式子所反映的规律得出答案即可，发现规律是解此题的关键． 解： ……… ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·月考）根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容． 小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ； (1)小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：______； (2)小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是m（，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为（用含m，n的式子表示）______； (3)请对这个规律进行证明． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 【分析】该题重点考查了代数式表示以及整式乘法运算，解答的关键是读懂题意． （1）根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”解答即可； （2）根据题干规律另一个两位数十位相同，个位等于10减去上一个两位数的个位解答即可； （3）将化简即可； （1）解：由题知， 符合这个特征的算式可以是：． 故答案为：（答案不唯一）． （2）由题知，另一个两位数的十位数为m，个位数为， 所以另一个两位数可表示为：， 则上述规律可表示为：． 故答案为：，． （3）由（2）知， 左边 ． 右边， 所以左边＝右边， 故原等式成立． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·宁夏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式计算即可． 解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确； 故选：D． 2．（2025·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，逐一分析各选项的运算是否正确，利用幂的运算、完全平方公式、合并同类项及平方差公式进行判断． 解：A．，错误． B．，错误． C．与不是同类项，无法合并，结果应为，错误． D．根据平方差公式，，正确． 故选：D． 3．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键； 可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析： A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意； C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意； D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可． 解：A、，故选项A计算错误，此选项不符合题意； B、，故选项B计算错误，此选项不符合题意； C、，此选项计算正确，符合题意； D、 ，故选项D计算错误，此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 6．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断． A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． （二）填空题（6题） 7．（2024·上海·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解：根据题意，得， 故答案为：． 8．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 解：由题意知，， 故答案为：． 9．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 10．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 11．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 12．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为， ，时，智慧数为， ，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 解：原式 ； 当时， 原式． 14．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到，由所给条件得到，整体代入，即可得到结果． 解： ， ， ， ∴原式． 15．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答． 解：， ， ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键． 16．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可． 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $