福建省泉州市2026届高三质量检测（二）数学试题

泉州市2026届高中毕业班质量检测 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． ★祝马到成功★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的奇函数，当 时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 6. 在复平面内， 是原点，复数对应的向量分别为．若绕点 按逆时针方向旋转所得的向量与绕点 按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D. 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 8. 双曲线的对称中心为 ，焦点为，过的直线 与的一条渐近线平行．若 与以 为圆心，为半径的圆相交于 两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 某市环保部门连续10天监测甲、乙两个区域的空气质量指数（简称AQI），记日期编号为，甲、乙两个区域的AQI分别为，将数据整理如下： 日期编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲区域AQI 27 44 43 45 34 35 33 34 40 35 乙区域AQI 34 34 30 31 36 33 32 34 33 33 根据数据进行分析，以下说法正确的是（ ） A. 甲区域AQI的极差为18 B. 乙区域AQI的第65百分位数为33.5 C. 甲区域AQI的方差大于乙区域AQI的方差 D. 根据最小二乘法求得关于的经验回归方程对应的直线必过点 10. 已知数列满足，记为的前项和，则（ ） A. 当 时， B. ，使得 C. 为等比数列的充要条件是 D. 且，使得 11. 已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 函数取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则实数的值为___________． 13. 已知点，若为抛物线上的动点，则的最小值为___________． 14. 现有一个半径为6的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8个半径相同的实心小球，若这8个小球的球心恰为某个正方体的8个顶点，则小球半径的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角三角形中，角的对边分别为 ，且． （1）求； （2）若，求的值． 16. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）证明：当时，； （3）证明： ． 17. 如图，已知在四棱锥 中，， ，，． （1）证明： 平面 ； （2）证明： ； （3）若直线与平面所成角为，点在平面 内的正投影是点，求四棱锥 的体积． 18. 如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置．若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量．例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即 ． （1）求，； （2）证明：； （3）现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当 时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮．记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明 ． 19. 在直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且． （1）求的方程； （2）点是上两个动点，点 在直线上，设直线的斜率分别为，且． （i）设关于 的对称点为，试判断是否共线？并说明理由； （ii）在①的面积为定值，②的面积为定值，③的面积为定值，这三个结论中选择一个结论补充在下面命题中，使该命题为真命题，并证明． 命题：若直线与直线相交于点，则_______. 泉州市2026届高中毕业班质量检测 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页．考试用时120分钟． ★祝马到成功★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）当 时， 取得极小值 ，无极大值. （2）令 ， 由（1）知，取时，， 由（1）可得在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 ，所以 时， ； 又因为 ，所以 时， ， 综上当 时， ，即 ，当且仅当时等号成立. （3）令 ，则 , 则由（2）中结论可得 即 ， 因此 ， 所以 . 【17题答案】 【答案】（1）因为， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2） 取中点，连接 ，设 ， 因为 ， 所以四边形是正方形，所以 . 连接 ，因为 为的中点，所以 ， 因为 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）因为， ， 所以 . （3）先分析连续移动6次后的取值情况：6次均为顺时针，则 ； 5次顺时针1次逆时针，则 ； 次顺时针2次逆时针，则 ； 3次顺时针3次逆时针，则 ； 次顺时针4次逆时针，则 ； 1次顺时针5次逆时针，则 ； 次逆时针，则 . 故. 所以的可能取值为 ，其中 ， ； 所以随机变量的分布列如下： 1 2 3 9 10 由. 令 ， 则 ． 两式相减，得 ， 即， 故，又因为，所以 . 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）是，三点共线. 法1：证明：设直线与的交点为，要证明三点共线， 只需要证明与 重合即证明直线的斜率与的斜率相等． 由题意得， 因为关于原点对称，关于原点对称， 故直线相互平行，所以的斜率， 所以，， 由①②，得即， 即，即， 又由题意知，所以，得证. 法2：证明：设，可得， 解得，即， 故可得直线的斜率， 又求得直线的斜率， 根据题意，又， 所， 从而得，故. 因为关于原点对称，关于原点对称， 故直线相互平行，所以的斜率， 因此可得，所以三点共线. （ii）只能选③. 如图，作出符合题意的图形， 法1：根据题意直线的斜率存在且不为零，设直线， 与椭圆联立，得， 其判别式，即， 且， 由（2）知，其中， 可得， 化简得，所以直线， 将直线 与直线联立， 设，可得，即， 注意到当 时，直线， 此时 关于原点对称，这与矛盾， 故，从而可得，即点在直线上. 法2：证明：设， 将椭圆方程整理为，即 将直线与椭圆联立得：， 整理可得，， 注意到，故上式等价于， 设，注意到， 故可得是关于的二次方程的两根， 其中， 根据韦达定理，可得，即， 又因为，故得，即， 设，因为点为两直线的公共点， 故联立两直线， 得，即， 注意到当时，直线， 此时 关于原点对称，这与矛盾， 故，从而可得，即点在直线上. 若选①，因为， 而到的距离不是定值，故不为定值，故不选①； 若选②，的面积为，而不是定值，故不选②； 若选③，根据在直线上可得的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $