精品解析：河南洛阳市新安县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列说法错误的是（ ） A. 1的算术平方根是1 B. 两个无理数的和不一定是无理数 C. 的平方根是 D. 是的立方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根、立方根，熟练掌握相关的性质是解题关键． 直接利用算术平方根以及平方根、立方根的性质分别判断得出答案． 【详解】解：A、1的算术平方根是1，故此选项正确，不符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，比如，故此选项正确，不符合题意； C、的平方根是，故此选项错误，符合题意； D、是的立方根，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法法则、积的乘方与幂的乘方运算法则计算出各项即可判断出结果． 【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，故选项D计算正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择、样本容量和调查方式． 根据统计图的用途、样本容量的定义和普查的适用条件判断各选项． 【详解】解：∵ 扇形统计图适用于表示各部分占总体的比例，折线统计图适用于表示变化趋势， ∴ A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，从5万中抽取300，样本容量是300， ∴ B错误； ∵ 普查适用于个体数量较少的情况，某班学生数量少， ∴ C正确； ∵ 样本容量越大，对总体的估计越准确， ∴ D错误． 故选：C． 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 5. 中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则为直角三角形 C. 如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D. 如果，则为直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴设， ∵，， ∴， ∴，故不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故符合题意； C、∵a，b，c长分别为6，8，10， ∴，且a，b，c的长都是正整数， ∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意； D、∵①， ②， 将①代入②得：， ∴， ∴是直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先根据等腰三角形性质得，再根据三角形的外角的性质得，进而得出，接下来求出，最后根据平角定义得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 表示的数是； 故选：A． 9. 如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ） A. 12cm B. 17cm C. 20cm D. 25cm 【答案】B 【解析】 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm 由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6 ∴BD=DE+BE=8 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 10. 如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键． 根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的比较大小． 比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【详解】解：因为，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 13. 如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情形：①当≌时，可得：；②当≌时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：①当≌时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； ②当≌时， ，， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题． 15. 若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”． （1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”_____； （2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为_____． 【答案】 ①. 13 ②. 36． 【解析】 【分析】（1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将M配成完美数，可求k的值 【详解】（1）∵13=22+32， ∴13是完美数， 故答案为13； （2）∵M=x2+4xy+5y2-12y+k=（x+2y）2+（y-6）2+k-36， ∴k=36时，M是完美数， 故答案为36． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算相关运算法则是关键． （1）计算立方根、算术平方根、绝对值后计算加减法即可； （2）利用多项式除以单项式和单项式乘以多项式后，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根 【答案】2（m2+m﹣1），2． 【解析】 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定义得出m2+m=2，代入计算可得． 【详解】解：原式=4m2-1-（m2-2m+1）+8m3÷（-8m） =4m2-1-m2+2m-1-m2 =2m2+2m-2 =2（m2+m-1）， ∵m是方程x2+x-2=0的根， ∴m2+m-2=0，即m2+m=2， 则原式=2×（2-1）=2． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、整式的混合运算顺序和运算法则、方程的解的定义． 18. 为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动．学校随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在分之间的记为组，分之间的记为组，90分之间的记为组，分之间的记为组，每个组都含最大值不含最小值，例如组包括70分不包括60分），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生的成绩是一手数据还是二手数据呢？请你求出学校抽取的八年级学生的人数． （2）_________，请把频数分布直方图补充完整． （3）学校将此次竞答活动的组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 【答案】（1）一手数据，学校抽取的八年级学生的人数为40； （2）20， 补全的频数分布直方图如图所示： （3）80 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，掌握频数分布直方图和统计图表之间的关联是解题的关键． （1）根据数据来源判断即可，在频率分布直方图可得组有12人，扇形图中可知组占，据此可计算总人数； （2）根据（1）中总人数可得D组有8人，据此计算占比得到的值和2条形统计图即可； （3）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：一手数据， 根据题意，组有12人，占， （名）； 答：学校抽取的八年级学生的人数为40． 【小问2详解】 D组有（人）， 占总人数的， ； 故答案为：20． 【小问3详解】 由（2）知D组占总人数的， 估计达到优秀等级的人数为（人）， 答：估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为80． 19. 如图，某市的两条道路，经过旅游景点和景点．为了促进当地旅游发展，要在区的一块平地上修建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等． （1）运用直尺和圆规作图，作出修建的度假村的位置（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据以上信息，在所作的图形中连接，，求证：． 【答案】（1）如图所示，点为所作的点： （2）证明：过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交于点 则 度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等 【解析】 【分析】本题考查了作图：（1）点为的垂直平分线和的角平分线的交点；（2）过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交于点，先证明，得到即可证明． 【小问1详解】 以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，用尺子做辅助线连接弧的交点，可以得到的垂直平分线．再以为圆心，以为半径画圆弧，为圆心，以为半径画圆弧，连接弧的交点与点，所得到的就是的角平分线．点为的垂直平分线和的角平分线的交点． 【小问2详解】 略 20. 某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，．     （1）连接，求的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1） （2）57000元 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，掌握相关定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再计算面积，进而得到绿化费用即可． 【小问1详解】 解：， ； 答：的长为； 【小问2详解】 解：， ， 是直角三角形，且， ， ， ， （元）． 答：绿化这片空地共需花费57000元． 21. 把完全平方公式进行适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求xy的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据进行运算，即可求解； （3）设，则，再由进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 即， 又， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：设，则， ， 即． 22. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【答案】（1） 证明：根据题意，得， ， 则，即； （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． 23. 已知，在中，，点为的中点． （1）观察猜想：如图①，若点、分别为、上的点，且于点，则线段与的数量关系是_______；(不说明理由) （2）类比探究：若点、分别为、延长线上的点，且于点，请写出与的数量关系，在图②中画出符合题意的图形，并说明理由； （3）解决问题：如图③，点在的延长线上，点在上，且，若，求的长．(直接写出结果，不说明理由．) 【答案】（1）BE=AF； （2）BE=AF， 理由：如图②，连结AD， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=(180°-90°)=45° ∵BD=AD，AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°， ∴∠BAD=∠ABC， ∴AD=BD 又∠CAD=∠ABC=45°， ∴∠DAF=∠DBE=135° ∵DE⊥DF， ∴∠BDE+∠BDF=90° 又AD⊥BC， ∴∠ADF+∠BDF=90°， ∴∠BDE=∠ADF 在△BDE和△ADF中， ∴△BDE≌△ADF， ∴BE=AF （3）． 【解析】 【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD＝BD、∠EBD＝∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE＝AF； （2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD＝∠FAD、BD＝AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE＝AF； （3）过点M作MG∥BC，交AB的延长线于点G，同理证明△BMG≌△NMA，得到AN=GB=1,再根据等腰直角三角形求出AG的长，即可求解. 【详解】（1）证明：连接AD，如图①所示． ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°． ∵点D为BC的中点， ∴AD＝BC＝BD，∠FAD＝45°． ∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF． 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF． （2略 ） （3）如图③，过点M作MG∥BC，交AB的延长线于点G， ∵DA⊥BC， ∴AM⊥GM， 故△AMG为等腰直角三角形 ∴GM=AM=2,故AG=2 ∵ 同（1）理可得△BMG≌△NMA， ∴AN=GB=1, ∴=AG-BG=AG-AN=. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是熟知全等三角形的判定及等腰三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列说法错误的是（ ） A. 1的算术平方根是1 B. 两个无理数的和不一定是无理数 C. 的平方根是 D. 是的立方根 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则为直角三角形 C. 如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D. 如果，则为直角三角形 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ） A. 12cm B. 17cm C. 20cm D. 25cm 10. 如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_________． 12. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 13. 如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求_______． 14. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为______． 15. 若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”． （1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”_____； （2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根 18. 为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动．学校随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在分之间的记为组，分之间的记为组，90分之间的记为组，分之间的记为组，每个组都含最大值不含最小值，例如组包括70分不包括60分），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生的成绩是一手数据还是二手数据呢？请你求出学校抽取的八年级学生的人数． （2）_________，请把频数分布直方图补充完整． （3）学校将此次竞答活动的组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 19. 如图，某市的两条道路，经过旅游景点和景点．为了促进当地旅游发展，要在区的一块平地上修建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点和景点的距离相等，且到两条道路和的距离也相等． （1）运用直尺和圆规作图，作出修建的度假村的位置（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据以上信息，在所作的图形中连接，，求证：． 20. 某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，．     （1）连接，求的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 21. 把完全平方公式进行适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求xy的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 22. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 23. 已知，在中，，点为的中点． （1）观察猜想：如图①，若点、分别为、上的点，且于点，则线段与的数量关系是_______；(不说明理由) （2）类比探究：若点、分别为、延长线上的点，且于点，请写出与的数量关系，在图②中画出符合题意的图形，并说明理由； （3）解决问题：如图③，点在的延长线上，点在上，且，若，求的长．(直接写出结果，不说明理由．) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $