江苏新海高级中学2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高一数学难题集训

新海高级中学2025～2026学年度第一学期期末学业水平质量监测 高一数学 难题集训 注意事项： 1．本卷共13页，满分500分。 2．答卷前，学生务必将自己的班级、姓名、用时、日期和考试号等相关信息填写在答题卡上规定的地方。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、单选题：本题共26小题，每小题5分，共130分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，摩天轮的半径为60m，点O距地面的距离为70m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中    A. 转动后点P距离地面8m B. 第和第点P距离地面的高度相同. C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D. 转动一圈内，点P距离地面的高度不低于100m的时长为 2.已知幂函数，在区间上是单调减函数．若，，则    A. B. C. D. 3.如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点第一段圆弧，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为     A. B. C. D. 4.已知函数和依次交于三点A，B，C，且满足，则a的值为     ( 【高一数学试题 第1页（共13页）】 )A. 2 B. C. 4 D. 5.函数的零点的个数是     A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.已知函数的定义域为，，对于任意的，，当时，有，若，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若命题“，”是真命题，则实数a的取值集合为    A. B. C. D. 8.已知，，，则    A. B. C. D. 9.已知函数，，若，则的最小值为(    ) A. 9 B. C. 3 D. 10.若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是    A. 函数无最值 B. 只有最大值为 C. 只有最小值为 D. 最小值，最大值为 11.设，则的大小关系为   A. B. C. D. 12.已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 13.在平面直角坐标系xOy中，单位圆上的动点P、Q同时从点出发，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第   次相遇. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 14.若函数的值域为，则实数a的取值范围是    ( 【高一数学试题 第2页（共13页）】 ) A. B. C. D. 15.已知函数在上满足，则的取值范围是    A. B. C. D. 16.函数与图象的交点个数为(    ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 ( 【高一数学试题 第3页（共13页）】 ) 17.有一块半径为单位：的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．该等腰梯形ABCD的周长单位：的最大值为    A. 4 B. C. 8 D. 10 18.函数的大致图象为     A. B. C. D. 19.已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是     A. B. C. D. 20.已知，都是锐角，，，     A. B. C. D. 21.函数在上的图象可能是(    ) A. B. C. D. 22.函数，的最大值为(    ) A. B. e C. D. 23.若，则a，b，c的大小关系为    A. B. C. D. 24.若直线与函数的图象从左至右交于点A，B，直线与的图象从左至右交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，则当m变化时，的最小值为(    ) A. B. C. D. 25.形如的数称为费马数，记为，是一个m位数，则m的值为参考数据：(    ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 26.已知函数设，若存在，使得，则实数b的取值范围是     ( 【高一数学试题 第4页（共13页）】 ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共14小题，共42分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 27.通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是即的函数，记为y，则，，，也就是我们熟悉的幂函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.若令，是自然对数的底数，将a视为自变量，则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有(    ) A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 28.对于函数，下列说法正确的是    A. 当时，函数在上有且只有一个零点 B. 若函数在单调递增，则的取值范围为 C. 若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则 D. 将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2 29.已知函数的两个零点为，，则(    ) A. 当时，的取值范围为 B. C. 当且仅当时，恒成立 D. 30.已知函数的部分图象如图所示，则     A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，则函数为偶函数 ( 【高一数学试题 第5页（共13页）】 ) 31.若实数a、b满足，则下列不等式恒成立的是   A. B. C. D. 32.若函数是R上的奇函数，且，则下列说法正确的有    A. B. C. 函数的最大值为1 D. 若实数a，，且满足，则的最小值为6 33.已知且，下列说法正确的是    A. B. C. D. 34.已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(    ) A. ， B. 的最小正周期是 C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有6个根，则 35.已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是     A. B. C. D. 36.已知函数，下列说法正确的有(    ) A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为 C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 37.已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有(    ) A. B. C. 若，则 D. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围为 38.已知定义域为的函数满足，为奇函数，则下列说法正确的有   A. 关于对称 B. 的周期为2 C. 为奇函数 D. 若则 39.函数满足：，，已知当时，，则    A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 40.已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则   ( 【高一数学试题 第6页（共13页）】 ) A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若，则不等式的解集为 三、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。 41.已知幂函数是偶函数，则                                     ，设，若对于任意，，则实数k的最大值为                                     . 42.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为                                  .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有2025个交点，记为，则                                 . 43.已知函数的所有零点为，则                                     ，所有零点的正切值的乘积为                                     . 44.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是                                                                . 45.如图所示，已知角，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，点M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有                  . ①； ②； ③点C的坐标为； ④点M的坐标为 46.已知是偶函数，则           ，若存在，使得，则k的最大值为                                     . 47.已知函数若存在实数t，使得方程有4个不同的 ( 【高一数学试题 第7页（共13页）】 )实数根，，，，且则t的取值范围为                                     ，的取值范围为                                      . 48.已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则                                     . 49.对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，如，，，则                                     ;若函数，则的值域为                                                                . 50.已知函数若对任意，，不等式成立，则实数a的取值范围是                                                                                           . 四、解答题：本题共20小题，共278分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 51.本小题10分 如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交MP的延长线于点Q，使得，记，，且 若，求的值； 已知函数，，记的最小值为若，求m的值及此时的最大值. 52.本小题10分 对于定义在R上的函数和，如果满足：对任意，有，则称为的“伴随函数”. ( 【高一数学试题 第8页（共13页）】 ) 若，，判断是否为的伴随函数，并说明你的理由； 若函数为的伴随函数，且 ⅰ若，求的值； ⅱ若是值域为的偶函数，求函数的值域. 53.本小题10分 如图所示，在等腰直角中，，，M为线段AB的中点，点P，Q分别在线段AM，BM上运动，且，设 设，求的取值范围及 求面积的最小值. 55.本小题13分 已知函数 判断的奇偶性，并证明； 判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 任意，求实数m的所有整数解. 56.本小题13分 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数. 求函数，的解析式； 求函数的值域； 若在上有三个零点，求实数a的取值范围. 57.本小题13分 对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质 判断函数是否具有性质，并说明理由； 若函数具有性质，求证：为定值； 若函数具有性质，求ab的最小值. ( 【高一数学试题 第9页（共13页）】 ) 58.本小题13分 已知函数，其中e为自然对数的底数. 判断并证明函数在上的单调性； 记函数的零点为a，，A，B为函数的图象上横坐标分别为a，b的两点，点，求证： ，； 59.本小题13分 已知函数的部分图象如图所示. 求函数的解析式； 直接写出函数的增区间及取得最大值时x的集合； 若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围. 60.本小题13分 设函数的定义域为A，若对任意的，，，恒有，则称为函数. 证明：函数是函数； 判断函数，是否为函数，并说明理由； 设函数的定义域为R，且不是常函数，若存在非零常数s，使得对于任意的，都有，证明：不是函数. ( 【高一数学试题 第10页（共13页）】 ) 61.本小题15分 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中…是自然对数的底数. 下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中的一个真命题： ①；②； 证明：函数在上有且仅有一个零点，且 62.本小题15分 已知函数， 若方程有4解，求a的取值范围； 对，恒成立，求a的取值范围； 对，，，恒成立，求的取值范围. 63.本小题15分 已知函数 Ⅰ若为偶函数，求实数m的值； Ⅱ当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； Ⅲ当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． ( 【高一数学试题 第11页（共13页）】 ) 64.本小题15分 设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称x为的一个“准不动点”．已知函数 若，求的准不动点； 若为的一个“准不动点”，且，求实数a的取值范围； 设函数，若，，使得成立，求实数a的取值范围． 65.本小题15分 已知函数，A、B是的图象与直线的两个相邻交点，且 求的值及函数在上的最小值； 若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 66.本小题17分 设函数在非空数集M上的取值集合为若，则称为M上的“T函数”. 判断是否为上的“T函数”，并说明理由； 若为上的“T函数”，证明： 若存在实数b，使得为上的“T函数”，求实数a的取值范围. 67.本小题17分 现有足够长的“L”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和，若经过点A拉一张网EF，开辟如图的直角用于养鱼，设 求渔网长度EF，用含有的式子表示，并写出定义域； 求养殖面积的最小值，及此时的值； 若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值． ( 【高一数学试题 第12页（共13页）】 ) 68.本小题17分 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为 求函数的解析式; 设在上的两个零点为，，求的值;将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少有10个零点，求最小正整数 69.本小题17分 已知两个函数，，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. ( 【高一数学试题 第13页（共13页）】 ) 判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由; 若函数，是，的“友好函数”，求的最小值; 已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数t的值及的最大值. 70.本小题17分 定义：对于函数，，，若存在实数使得，则称为的生成函数． 设，，，判断并证明生成函数在的单调性； 设，，，函数的图象恒在x轴的上方， m的取值范围； 设，，能否生成一个函数，同时满足下列条件： 为偶函数；②的最大值为；若能求出，否则说明理由． ( — 2 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $