精品解析：河南省南阳市2025-2026学年七年级上学期期末数学试题

2025年秋期期末质量评估检测 七年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 南阳大鼓又称鼓儿哼、鼓儿词、南阳鼓词、轱辘词，是南阳市戏曲剧种之一，源于唐代的道调、道曲，如图是迎新年击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（       ） A. B. C. D. 3. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 5. 如图，下列说法不正确的是（ ） A. 与是直线，被所截得的内错角 B. 与是对顶角 C. 和互为补角 D. 与是直线，被直线所截得的同旁内角 6. 下列各选项中，去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 南阳医圣祠文化节盛况空前，来自各地的游客循着中医药文化足迹汇聚古城，热情的阳阳同学化身“小导游”，为游客介绍南阳名片景点，作为数学爱好者，他决定用方位角精准指引方向：如图，点A表示武侯祠所在位置，点O表示医圣祠所在位置，点B表示世界月季大观园所在位置，以医圣祠为观测点，武侯祠位于医圣祠北偏西方向上，直线距离约8公里，世界月季大观园位于医圣祠南偏东方向上，直线距离约6公里，根据以上信息，得出的度数是（       ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 两个三次多项式的和仍是三次多项式 B. 两个三项式和可能是四项式 C. 两个三次三项式的差不可能是三次四项式 D. 两个单项式的和一定是单项式 9. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则．如图②，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（ ） A B. C. D. 10. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（ ） A 6070 B. 6073 C. 6076 D. 6067 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 请写出的一个同类项∶__________． 12. 如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小宛认为是两点确定一条直线，小豫认为是两点之间线段最短，你认为__________的说法是正确的． 13. 已知，则值为__________． 14. 代数式的值为7，则代数式的值为___________． 15. 如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 17. 如图所示，是一个正方体的平面展开图，每个面内都标注了字母，相对两个面所表示的整式都相等． （1）的相对面是_________； （2）已知．求的值，其中．甲同学把错抄成，但他计算的结果也是正确的，这是怎么回事呢？ 18. 如图，公园有一块长为米，宽为米长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含的式子表示） （3）若，篱笆的单价为元/米，请计算篱笆的总价． 19. 如图，已知平面上有射线，线段和，已知． （1）用尺规完成下列作图：以为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于，交于：（不写作法，保留作图痕迹） （2）根据所作图形，若，求的度数 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（已知） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴（ ） ∴（ ） 又∵ ∴ 20. 小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． （1）求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． （2）如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 21. （1）用数学的眼光观察： 对于任意一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． （2）用数学的思维思考： 设是一个三位数，且可以被3整除， 则， 由于和都可以被3整除，因此，就能被3整除． 上面的验证过程中，多项式_________，多项式_________． （3）用数学的语言表达： 设是一个四位数，若可以被9整除，则这个数可以被9整除．请加以说明． 22. 我们知道，一副三角尺包含，，，的角，在数学活动课上，七（1）班数学学习小组利用三角尺的拼接与旋转，对角的平分线夹角问题进行了如下探究． （1）【操作】如图①，南南同学把和的角拼在一起，如图②，阳阳同学把和的角拼在一起，两人所拼的两个角均在公共边的异侧，并分别在各自所拼的图形中作出的平分线和的平分线．则图①中的_______________，图②中的_____________． （2）【拓展】南南同学把图①中的三角尺绕点顺时针旋转，得到图③，使得，，三点在同一条直线上，并得出．阳阳同学把图②中的三角尺绕点顺时针旋转，得到图④，同样使，，三点在同一条直线上，请你仿照南南的做法，求出图④中的度数． （3）【归纳】根据上述探究，可以归纳出：当一副三角板中具有公共顶点的两个角和 （其中有一条边重合时，这两个角的平分线的夹角的度数是___________（用含，的代数式表示）． 23. 综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线、那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】小宛同学在探究过直线外一点作已知直线的平行线的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． 第一步：如图，在纸上画出一条直线，在外取一点，过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平． 第二步：再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），得折痕，再将纸片展开铺平（如图）．此时小宛说，折痕就是的平行线． （）在上述过程中，通过图的翻折，我们能得到图中的，则__________； （2）小宛的说法正确吗？请说明理由． 【拓展延伸】在图折痕上任取一点，连接，若记为，为．为，小宛发现，点在折痕上的位置不同，，，之间的数量关系也会发生变化，因此可按点在线段上三种情形分别探究： （3）请直接写出三种情形下，，的数量关系： ①当点在线段上时，___________________________； ②当点在线段上时，___________________________； ③当点在线段上时，___________________________． （4）从上述①②③中任选一种情形，在图中画出对应图形，并证明你写出的数量关系、 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期末质量评估检测 七年级数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2. 南阳大鼓又称鼓儿哼、鼓儿词、南阳鼓词、轱辘词，是南阳市戏曲剧种之一，源于唐代的道调、道曲，如图是迎新年击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，画出这个几何体的左视图即可，理解左视图的定义，掌握几何体三视图的画法是解答本题的关键． 根据简单几何体的三视图进行作答，即可求解； 【详解】解：这个立体图形的左视图为：， 故选：D； 3. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示关键要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的表示方法求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 故选：C 4. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 5. 如图，下列说法不正确的是（ ） A. 与是直线，被所截得的内错角 B. 与是对顶角 C. 和互为补角 D. 与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义，熟练掌握各类角的定义并准确识别图形中的角是解题的关键． 先明确内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义，再逐一分析每个选项是否符合这些定义，从而找出不正确的说法． 【详解】解：选项，∵与是直线，被所截，且在截线两侧、被截线之间， ∴与是内错角， 故项正确，不符合题意； 选项，∵与是两条直线相交形成的对顶角， ∴与是对顶角， 故项正确，不符合题意； 选项，∵和并非由一条直线与另一条直线相交形成的邻补角，也不满足和为， ∴和不互为补角， 故项不正确，符合题意； 选项，∵与是直线，被直线所截，且在截线同侧、被截线之间， ∴与是同旁内角， 故项正确，不符合题意； 故选：． 6. 下列各选项中，去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查去括号的法则，若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后，括号里的各项符号发生改变．根据去括号法则逐项判定即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 南阳医圣祠文化节盛况空前，来自各地的游客循着中医药文化足迹汇聚古城，热情的阳阳同学化身“小导游”，为游客介绍南阳名片景点，作为数学爱好者，他决定用方位角精准指引方向：如图，点A表示武侯祠所在位置，点O表示医圣祠所在位置，点B表示世界月季大观园所在位置，以医圣祠为观测点，武侯祠位于医圣祠北偏西方向上，直线距离约8公里，世界月季大观园位于医圣祠南偏东方向上，直线距离约6公里，根据以上信息，得出的度数是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角的概念与角度的和差运算，熟练掌握方位角的定义及角度的加减运算是解题的关键．先明确点A和点B的方位角，再利用平角和直角的性质，通过角度的和差计算出∠AOB的度数． 【详解】解： 故选：D． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 两个三次多项式的和仍是三次多项式 B. 两个三项式的和可能是四项式 C. 两个三次三项式的差不可能是三次四项式 D. 两个单项式的和一定是单项式 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式与单项式的加减运算及次数、项数的变化规律，熟练掌握同类项的合并规则以及通过举反例验证命题真假的方法是解题的关键． 通过举反例或分析同类项合并的情况，判断多项式、单项式加减运算后次数与项数的变化是否符合选项描述． 【详解】解：选项A，∵取三次多项式与，它们的和为，是零次多项式， ∴两个三次多项式的和仍是三次多项式的说法不成立，故A项错误； 选项B，∵取三项式与，它们的和为，是四项式， ∴两个三项式的和可能是四项式的说法成立，故B项正确； 选项C，∵取三次三项式与，它们的差为，是三次四项式， ∴两个三次三项式的差不可能是三次四项式的说法不成立，故C项错误； 选项D，∵取单项式与，它们的和为，是多项式， ∴两个单项式和一定是单项式的说法不成立，故D项错误； 故选：B． 9. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则．如图②，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（ ） A. 6070 B. 6073 C. 6076 D. 6067 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式表示图形的规律，解题的关键是善于总结图形的变化规律． 根据图形的变化规律，总结出代数式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可知： 图①正方形个数为：1； 图②正方形个数为：； 图③正方形个数为：； 图④正方形个数为：； 第个图中，正方形个数为：； ∴第2025个图中共有正方形的个数为， 故选：B． 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 请写出的一个同类项∶__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项这一概念是解题的关键．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，系数可以不同． 【详解】解：单项式的字母部分为，，，对应指数分别为1，2，3． 因此，其同类项需满足字母相同且相同字母的指数相同，系数可任意取值，如． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小宛认为是两点确定一条直线，小豫认为是两点之间线段最短，你认为__________的说法是正确的． 【答案】小宛 【解析】 【分析】本题主要考查了直线的基本性质（两点确定一条直线），熟练掌握直线与线段的基本性质是解题的关键．先理解画射线的操作本质，再结合“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的几何含义，判断哪个公理符合该画图步骤的依据． 【详解】解：点与点是两个确定的点，画射线是通过这两点确定一条直线，画图依据为“两点确定一条直线”， 故小宛的说法是正确的． 故答案为：小宛． 13. 已知，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数乘法的符号法则以及有理数的减法运算，熟练掌握绝对值的性质和有理数乘法的符号法则是解题的关键． 先根据绝对值的性质确定的可能取值，再结合和的符号判断的符号，最后代入计算的值． 【详解】解：∵， ∴或， ∵，且， ∴与同号，即， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 代数式的值为7，则代数式的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值．由题意得出，再将变形为，代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：代数式的值为7， ， ， ， 故答案为：5． 15. 如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 【答案】4或24 【解析】 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘方的意义以及乘法分配律的逆用，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序和运算律是解题的关键． （1）先算乘方，再算括号内减法，接着算乘法，最后算减法． （2）先观察式子中各项的因数特点，逆用乘法分配律简化计算，先提取公因数，再计算括号内的和，最后算乘法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示，是一个正方体的平面展开图，每个面内都标注了字母，相对两个面所表示的整式都相等． （1）的相对面是_________； （2）已知．求的值，其中．甲同学把错抄成，但他计算的结果也是正确的，这是怎么回事呢？ 【答案】（1） （2）只要没有抄错，结果就是正确的 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体的展开图、整式的加减运算、合并同类项法则，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则，通过化简判断代数式的值与变量的关系是解题的关键． （1）根据正方体的展开图特征求解即可； （2）先将多项式代入，再通过去括号、合并同类项化简表达式，观察化简结果是否含字母，以此解释抄错的值但结果仍正确的原因． 【小问1详解】 解：由图可得的相对面是， 故答案：； 【小问2详解】 解： ， 当时 原式， 因为多项式化简后的结果为，不含字母，故原多项式的值与的取值无关． 因此，只要没有抄错，结果就是正确的． 18. 如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． （1）花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示） （2）求篱笆总长度；（用含的式子表示） （3）若，篱笆的单价为元/米，请计算篱笆的总价． 【答案】（1）； （2）所用篱笆的总长度为米； （3）全部篱笆的造价为元． 【解析】 【分析】（）利用图中尺寸计算即可； （）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式即可求出篱笆总长度； （）将和的值代入第（）问所求的式子中求出篱笆的总长度，再乘以篱笆的单价即可求出总价； 本题考查整式的加减的实际应用，列代数式，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，米，米， 故答案为：， 【小问2详解】 解：由图可得，花圃的长为米，宽为米， ∴篱笆的总长度为米； 【小问3详解】 解：当，时， 篱笆的造价为元， 答：全部篱笆的造价为元． 19. 如图，已知平面上有射线，线段和，已知． （1）用尺规完成下列作图：以为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于，交于：（不写作法，保留作图痕迹） （2）根据所作图形，若，求的度数 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（已知） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴（ ） ∴（ ） 又∵ ∴ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角、垂直的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规作图的基本方法，通过作一个角等于已知角的步骤，构造出． （2）先根据垂直的定义得到直角，再利用同位角相等判定两直线平行，最后结合平行线的性质和角度的和差关系，计算出的度数． 【小问1详解】 解：如图即为所求，如图即为所求． 【小问2详解】 解：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴． 20. 小敏在元旦期间到苍南玉苍山进行登山活动，携带一根登山杖，如图1，这款可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节类似看成三条线段，其中上节是固定不动的，长为 ，它比中节长，中节又比下节长．如图2，在无伸缩的初始状态下，点D，E重合，点B，C也是重合的． （1）求无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度． （2）如图3，登山过程中，需要根据不同地形调整登山杖长度，当总长度缩短为，且点C恰为中点时，求缩进部分，的长． 【答案】（1）总长的长度为 （2）缩进部分的长为，的长为 【解析】 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）分别求出，的长，根据即可解答； （2）先求出的长，再根据线段中点的定义求出，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ∴， 答：无伸缩的初始状态下登山杖总长的长度为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 答：缩进部分的长为，的长为． 21. （1）用数学的眼光观察： 对于任意一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． （2）用数学的思维思考： 设是一个三位数，且可以被3整除， 则， 由于和都可以被3整除，因此，就能被3整除． 上面的验证过程中，多项式_________，多项式_________． （3）用数学的语言表达： 设一个四位数，若可以被9整除，则这个数可以被9整除．请加以说明． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减法则，进行填空即可； （2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， 由于和都能被9整除， 所以能被9整除，即能被9整除． 22. 我们知道，一副三角尺包含，，，的角，在数学活动课上，七（1）班数学学习小组利用三角尺的拼接与旋转，对角的平分线夹角问题进行了如下探究． （1）【操作】如图①，南南同学把和的角拼在一起，如图②，阳阳同学把和的角拼在一起，两人所拼的两个角均在公共边的异侧，并分别在各自所拼的图形中作出的平分线和的平分线．则图①中的_______________，图②中的_____________． （2）【拓展】南南同学把图①中的三角尺绕点顺时针旋转，得到图③，使得，，三点在同一条直线上，并得出．阳阳同学把图②中的三角尺绕点顺时针旋转，得到图④，同样使，，三点在同一条直线上，请你仿照南南的做法，求出图④中的度数． （3）【归纳】根据上述探究，可以归纳出：当一副三角板中具有公共顶点的两个角和 （其中有一条边重合时，这两个角的平分线的夹角的度数是___________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了三角尺，特殊的直角三角形和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据角平分线的定义和角的位置关系，进行作答，即可求解； （2）根据角平分线的定义和角的位置关系，进行作答，即可求解； （3）设，，然后分①与重合，与分别在同侧，是的角平分线，是的角平分线和②与重合，与分别在两侧，是的角平分线，是的角平分线，然后再根据角平分线的定义和角的位置关系，进行作答，即可求解； 【小问1详解】 解：如图①： ∵，，是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴； 如图②： ∵，，是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图④： ∵，，是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：设，， ①与重合，与分别在同侧，是的角平分线，是的角平分线，可见图④， 由题意可得：； ②与重合，与分别在两侧，是的角平分线，是的角平分线，可见图②， 由题意可得：； 综上所述：这两个角的平分线的夹角的度数是或， 故答案为：或. 23. 综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线、那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】小宛同学在探究过直线外一点作已知直线的平行线的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． 第一步：如图，在纸上画出一条直线，在外取一点，过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平． 第二步：再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图），得折痕，再将纸片展开铺平（如图）．此时小宛说，折痕就是的平行线． （）在上述过程中，通过图的翻折，我们能得到图中的，则__________； （2）小宛的说法正确吗？请说明理由． 【拓展延伸】在图折痕上任取一点，连接，若记为，为．为，小宛发现，点在折痕上的位置不同，，，之间的数量关系也会发生变化，因此可按点在线段上三种情形分别探究： （3）请直接写出三种情形下，，的数量关系： ①当点在线段上时，___________________________； ②当点在线段上时，___________________________； ③当点在线段上时，___________________________． （4）从上述①②③中任选一种情形，在图中画出对应图形，并证明你写出的数量关系、 【答案】（1）；（2）小宛的说法正确，理由见解析；（3）①；②；③；（）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、折叠的性质、平角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质、折叠的性质，并通过作平行线辅助线进行角的转化是解题的关键． （1）根据折叠的性质，点的对应点落在直线上，折痕为的角平分线，且与组成平角，由此可推出的度数． （2）利用折叠性质得出、，再根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可证明． （3）根据点在折痕上的不同位置（、、段），结合平行线的性质，过点作辅助线，通过角的转化归纳出、、的数量关系． （4）选择一种情形，通过作平行线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，对进行角的拆分与代换，从而证明（）中得出的数量关系． 【详解】（1）解：∵图的翻折使点的对应点落在上，折痕为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵图的翻折， ∴， ∵图的翻折， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故小宛的说法正确； （3）解：①当点在线段上时，； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； 故答案为：①，②，③； （4）证明①（点在线段上时），如图，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 证明②（点在线段上时）如图，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 证明③（点在线段上时）如图，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $