专题10余弦定理（4种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题10余弦定理（4种题型） 思维导图 核心考点聚焦 题型一：已知两边及夹角解三角形． 题型二：已知两边及一边对角解三角形 题型三：已知三边解三角形 题型四：判断三角形形状 正弦定理刻画了三角形中边与角的正弦之间的关系. 那么，三角形中边与角的余弦之间存在什么关系呢？ 如图，，，由两点间的距离公式，得 两边平方，得 即 . 同理可得， ， . 这样，我们就得到了余弦定理：在中，设角、及所对边的边长分别为、及，则有 ， ， . 余弦定理也可以表示成如下形式： ， ， . 将余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理. 因此，勾股定理可视为余弦定理的特例. 正弦定理和余弦定理都定量刻画了三角形的边角关系，是求解三角形的基本工具. 题型一：已知两边及夹角解三角形． 【例1】在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解此三角形。 【变式】在中，已知，，. 求、及. 题型二：已知两边及一边对角解三角形． 【例2】在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求A、C和a。 【变式】在中，已知，，. 求、及. 题型三：已知三边解三角形 【例3】在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 【变式1】已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC； 【变式2】在中，已知，，. 求角的余弦值和的面积. 题型四：判断三角形形状 【例4】（1）在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状； （2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判断△ABC的形状； （3）在△ABC中，若g sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，判断△ABC的形状； 【变式1】. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 若，A＝60°，求△ABC面积的最大值；并指出面积取最大时是什么三角形？ 【变式2】. 已知方程的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状. 【变式3】在中，已知，且. 求证：为等边三角形. 一、填空题 1、已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________. 2、已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________. 3、在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. 4、在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________. 5、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为 6、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝ 7、若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 8、△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若B＝60°，c＝2，b＝2，则a＝________. 9、已知是三边长，若满足，则 10、在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为 11、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于 12、锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是 二、选择题 13、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　) A．1 B．2 C.－1 D． 14、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于(　　) A．4 B． C．3 D． 15、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 16、在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 三、解答题 17、在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C； 18、在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状； 19、已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC各角的度数． 20.在中，已知，，且