精品解析：江西九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟数学试卷

九江市2026年第一次高考模拟统一考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而得 ，再求即可. 【详解】由得 ， 所以 故选：C 2. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知集合与 没有公共元素，进而根据集合关系求解即可. 【详解】因为集合，， 所以集合与 没有公共元素，故， 所以的取值范围是. 故选：B 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整体法逐一判断各选项中的函数在上的单调性即可. 【详解】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知 在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知 在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 4. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点， 为上一点.若是正三角形，则的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由题目条件得到，根据抛物线定义知，结合对称性得到的坐标，再利用抛物线定义即可得到的长，进而得三角形的边长. 【详解】抛物线的焦点为，准线为的方程， 如图： ∵ 是正三角形，∴ ，由抛物线定义知 ， 则B点横坐标， 又 ∵ ，则点在的垂直平分线上， 由对称性可知： ， 则的边长为4. 故选：D 5. 已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质得是以为周期的周期函数，再根据周期性依次讨论各选项即可求得答案. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为任意，都有，即， 所以， 所以，即是以为周期的周期函数， 因为 所以，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误. 故选：B 6. 圆台的母线长为分别为上､下底面的直径，且.设四面体 外接球的表面积为，圆台的表面积为，则 （ ） （附：圆台的侧面积公式 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题给出的公式，圆台的表面积可以由侧面积加上下两个圆的面积求出，再由四面体 的外接球即为圆台的外接球，计算出外接球半径即可求出. 【详解】 设圆台的上､下底面的半径分别为，母线， ， 由题意可知圆台的表面积为， 如图四面体 的外接球即为圆台的外接球， 设外接球的球心为 ，半径为 ， 圆台的高， 设 到上底面的距离为，到下底面的距离为 由外接球性质，， 则， ， 联立解得， 故， 即， 所以， 所以. 故选：C. 7. 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的内积公式计算即可． 【详解】，，， ， 计算权重，所以， 可得权重向量， 所以，， ，注意力输出向量为． 故选：A． 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数（ ），分别求导得出，，进而得出， 即可. 【详解】将整理为， 构造函数（ ），. ， 令，则 ，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由，可知， 令 ，则 ，令，则 ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 由题意可得， 所以， 当且仅当时，不等式成立. 此时， ， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体中，点 分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以 为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又 平面，故 平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 10. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由变形可得 的值，再由结合二倍角公式和平方关系变形可得，进而得到 ，再结合余弦定理可得 两边的关系，由B可得，结合正弦定理可求得的值，进而比较大小，对利用完全平方公式进行放缩可得到的大小. 【详解】对于A选项 ，由，所以， 得，A选项正确； 对于B选项 ，由 ， 则， 得，由正弦定理，即 ， 代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误； 对于C， ， 由,， ，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确. 故选:AD 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，且，过的直线与双曲线的右支交于 两点（在第一象限），与轴交于点为的中点，分别为内切圆的半径，则（ ） A. 的离心率为2 B. 与上点的距离的最小值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题知为中点，进而得，代入双曲线方程得，结合，求得，，，，再求解离心率判断A；设为上的点，结合距离公式，二次函数性质求解判断B；结合点差法判断C；根据等面积法求解内切圆的半径判断D. 【详解】由题意知，，，， 因为，所以为中点， 所以，代入双曲线方程得， 所以 因为，故，所以， 因为，所以， 整理得，解得或， 因为，所以，所以，， 所以，，双曲线的方程为 对于A，双曲线的离心率为 ，A选项正确； 对于B，设为上点，则， 则， 所以当时，有最小值，故B错误； 对于C，设，由 为的中点得， 因为，，所以， 即， 所以，即，故C选项正确； 对于D选项，由，得， 所以直线的方程为，联立方程得 所以，又，所以，所以，即 所以，在中，， ，， 所以， 根据等面积法得，即 所以，内切圆的半径， 在中，，，， 所以， 根据等面积法得，即 所以，内切圆的半径， 所以，故D选项正确； 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，进而根据题意有，即可求得切点，再代入直线方程即可得答案. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，直线的斜率为 所以，解得 ， 所以，即切点为 所以 故答案为： 13. 已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在曲线上.若的平均值与方差均为5，则的平均值为__________.（其中） 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出与的值，再结合求出即可得解. 【详解】因为的平均值为5，即，所以， 因为的方差为5，即，解得. 因为所有样本点都在曲线上， 所以， 所以， 所以的平均值为， 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，动点的轨迹满足：到两定点距离之积等于，若 是与轴的交点，则 面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设 ，根据题意，求得轨迹的方程为，令，求得 的坐标，得到，令，化简得到方程，设，转化为的图像与的非负半轴存在公共点，结合二次函数的性质，求得，进而求得 的面积的最大值. 【详解】设 为轨迹上的任意一点， 因为到两定点距离之积等于， 可得，所以， 整理得， 令，可得，即，可得或（舍去）， 解得，所以，则, 所以 的面积为， 因为，令，可得，其中 整理得， 设， 要使得方程有非负实数根，即函数的图像与的非负半轴存在公共点， 因为的图像开口向上，对称轴为， 当，即，则满足，解得，矛盾（舍去）； 当，即，则满足， 可得，解得，即，所以， 所以 的面积的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为 ，且. （1）证明：是等差数列； （2）若 ，求的最大值. 【答案】（1）已知， 所以 ， 所以 ， 两边同除以 ，得 ， 因为 ，所以 ， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意化简得到 ，即可证明是等差数列； （1）由（1）算出，进而求出，代入不等式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 ，所以， 当时， ， 时，也满足， 因为 ，所以 ，解得 ， 又，所以的最大值为. 16. 如图，四棱锥 中，底面是正方形，侧面 是正三角形，且平面 平面，. （1）证明： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，所以为 中点， 因为侧面 是正三角形，所以 ， 因为底面是正方形，所以， 因为平面 平面，平面 平面 ，平面， 所以平面 ，又平面 ， 所以 ，又 ， ， 平面 ， 所以平面 ，又平面 ， 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面 ，进而 ，再根据 即可证明平面 ，最后结合线面垂直证明结论； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，如图建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，则 ， 因为， 所以， ，， 设平面 的一个法向量为， 则，即， 故可取， 设直线与平面 所成角为， 则 所以直线与平面 所成角的正弦值为 【点睛】 17. 已知椭圆的中心在坐标原点，在上，是的焦点，垂直于轴，斜率为的直线经过点且与交于 两点． （1）求的标准方程； （2）记直线与的交点为，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题干列出方程组解出，即可； （2）设直线的方程为，以此求出的坐标，设，，联立椭圆方程，求出关于k的表达式，再根据，列出关于的等式，再结合韦达定理所得等式联立求解即可． 【小问1详解】 由题意可知，椭圆的焦点在轴上，标准方程为（）， 由轴，得点坐标为，故 ，且， 又点在椭圆上，所以， 解得 ，，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如图所示， FT的方程为，设直线的方程为，联立， 解得，所以，联立， 消去y并化简可得， 且，，解得 ， 设，，则， 由，可得， 整理得，联立， 解得， 代入，化简得， 解得，（舍去）， 综上所述，． 18. 如图，矩形网格线中，每一条线段表示一条道路，每一个交点表示一个路口，路口无信号灯，其它每个路口都只有一个圆饼形信号灯.交通法规定：当圆饼形信号灯为绿灯时，汽车左转､右转､直行都可以；当圆饼形信号灯为红灯时，汽车只能右转.某出租车司机需要把乘客从位置沿着网格线送到位置，行驶的是最短路线（即不绕路）.在所有最短路线中，把理论上等红灯时间总和最少的路线称为“最优路线”.若该出租车行驶到每个路口（司机视角）遇到红灯和绿灯的概率都为（黄灯忽略不计），遇到红灯平均等待的时间为.已知，出租车速度为. （1）已知路线一：； 路线二：. 请问路线一和路线二哪一条路线是“最优路线”？并说明理由. （2）若该出租车司机选择每一条最短路线的可能性相等，问该司机在所有最短路线中任选一条，能选中“最优路线”的概率是多少？ （3）若该出租车司机选择了一条“最优路线”，表示该出租车从位置到位置所用的时间（单位：分钟），求的期望. 【答案】（1）路线一是“最优路线”. （2） （3）10.5 【解析】 【分析】（1）由题意分析路线一、路线二可能需要等待的路口数量，然后由二项分布求得等待时间的期望，然后得到总时间期望，即可作出判断； （2）由题意可知从到最短路线可分解步数，然后由组合数求得总路线数，分析“最优路线”需要满足的条件，即可列出“最优路线”，由古典概型求得概率； （3）由（2）中结论，由二项分布求得遇到红灯次数的期望，即可求得到总时间期望. 【小问1详解】 路线一可能需要等待的路口数量为3个， 等待时间的期望为：min，则总时间期望为：min， 路线二可能需要等待的路口数量为4个， 等待时间的期望为：min，则总时间期望为：min， ∵， ∴线路一是“最优路线”. 【小问2详解】 从到最短路线：需要向右走4段，向上走3段，共7步， 所以总路线数为条， 由题意可知，“最优路线”即“右转路口”数量最多， 第一步走任意方向均无需等待红绿灯，所以需讨论的路口数为6， 由示意图可知，由上行变为向右行即为“右转路口”，故“右转路口”数量最多为3， 若第一步为向右，则只有1种走法：， 若第一步为向上，则有3种走法： ， ， ， ∴“最优路线”一共有4条， ∴能选中“最优路线”的概率是. 【小问3详解】 由（2）可知“最优路线”，即“右转路口”数量最多3， 则可能需要等待的路口数量为3个，遇到红灯平均等待的时间为， 设遇到红灯次数为，则，则， 行驶时间恒为9min，故总时间， ∴. 19. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当 时，，求的取值范围； （3）若在上有两个不同的极值点，证明：. 【答案】（1） （2） （3）令 ，则 ， 则 ， 整理得： ， 由于 ，显然， 由韦达定理：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，等号成立， ， ，则 ， 即 . 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据函数单调递增的性质，得到关于的不等式，再结合辅助角公式和函数的有界性，进而求解的取值范围. （2）构造函数，对其求导，根据导数的性质和端点效应分析函数的单调性，从而确定的取值范围。 （3）先求出的导数，根据极值点的性质得到，再利用韦达定理、基本不等式以及正切函数的性质证明结论. 【小问1详解】 对进行求导，则 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 因为恒成立，所以恒成立，化简得， 令 ，得 ，由辅助角公式：， 即，即，则 ，两边平方， 因为恒成立，所以，即， 解得 ，∴ ，即的取值范围是 ． 【小问2详解】 由，代入， 则， 因为，所以，所以不等式两边同时除， 得 ．设， 则问题等价于当 时， ， ①先求必要条件： ，由端点效应， ，即 ②再证充分性，即证明：当 时， ． 当时，因为 ，所以，即， 那么 设 ，则 ， ∴在 上单调递增，∴ ，得证． 故 的取值范围是 ， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2026年第一次高考模拟统一考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，为上一点.若是正三角形，则的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 5. 已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的母线长为分别为上､下底面的直径，且.设四面体 外接球的表面积为，圆台的表面积为，则 （ ） （附：圆台的侧面积公式 A. B. C. D. 7. 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，且，过的直线与双曲线的右支交于 两点（在第一象限），与轴交于点为的中点，分别为内切圆的半径，则（ ） A. 的离心率为2 B. 与上点的距离的最小值为 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则__________. 13. 已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在曲线上.若的平均值与方差均为5，则的平均值为__________.（其中） 14. 在平面直角坐标系中，动点的轨迹满足：到两定点距离之积等于，若 是与轴的交点，则 面积的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为 ，且. （1）证明：是等差数列； （2）若 ，求的最大值. 16. 如图，四棱锥 中，底面是正方形，侧面 是正三角形，且平面 平面，. （1）证明： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的中心在坐标原点，在上，是的焦点，垂直于轴，斜率为的直线经过点且与交于 两点． （1）求的标准方程； （2）记直线与的交点为，若，求． 18. 如图，矩形网格线中，每一条线段表示一条道路，每一个交点表示一个路口，路口无信号灯，其它每个路口都只有一个圆饼形信号灯.交通法规定：当圆饼形信号灯为绿灯时，汽车左转､右转､直行都可以；当圆饼形信号灯为红灯时，汽车只能右转.某出租车司机需要把乘客从位置沿着网格线送到位置，行驶的是最短路线（即不绕路）.在所有最短路线中，把理论上等红灯时间总和最少的路线称为“最优路线”.若该出租车行驶到每个路口（司机视角）遇到红灯和绿灯的概率都为（黄灯忽略不计），遇到红灯平均等待的时间为.已知，出租车速度为. （1）已知路线一：； 路线二：. 请问路线一和路线二哪一条路线是“最优路线”？并说明理由. （2）若该出租车司机选择每一条最短路线的可能性相等，问该司机在所有最短路线中任选一条，能选中“最优路线”的概率是多少？ （3）若该出租车司机选择了一条“最优路线”，表示该出租车从位置到位置所用的时间（单位：分钟），求的期望. 19. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当 时，，求的取值范围； （3）若在上有两个不同的极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $