精品解析：江苏省南菁高级中学2025-2026学年第一学期高二期末检测数学试卷

江苏省南菁高级中学2025-2026学年度第一学期 高二期末检测数学试卷 考试时间 120分钟 满分 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求出的值. 【详解】因为，，且， 则，解得. 故选：B. 2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【详解】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程． 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 故选：C. 4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】， 故选：A 5. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值. 【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 6. 如图，在正方体中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量加法的几何意义及数量积的运算律整理化简，即可得答案. 详解】由题设，易知，且， . 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，已知圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，点，若圆上存在点满足，则圆半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求得点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆，进而问题转化为圆与圆有公共点，列式计算即可得解. 【详解】设，由，得， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆. 设圆的半径为，因为圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，所以圆心， 若圆上存在点满足，则圆与圆有公共点， 所以，即， 解得 故选：C. 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求出，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，适合上式，所以， ， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 所以， 综上，， 又因为不等式恒成立，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，进而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为， 所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确. 故选： 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D错误. 故选：AB 11. （多选题）已知三棱柱侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角、判断位置关系、求平面与平面所成角的余弦值、结合参数范围求点到平面距离的最值. 【详解】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误； 又，故，B选项正确； 由，，若为平面AMP的一个法向量， 则，令，则， 由平面的一个法向量为，，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， C选项正确； 易知，则点到平面的距离为， 又，上式分子分母同时除以，可得， 令，则， 易知当时，，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，边上的高即为点A到的距离， 所以边上的高为． 故答案为： 13. 设等差数列的前n项和为，且，，则的最小值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出数列的通项公式和前n项和，再结合题目条件使用基本不等式计算即可. 【详解】，移项化简得， 已知数列为等差数列，则， 数列的通项公式为， 当时，， 数列的前n项和为， ， 当且仅当“”即“”时等号成立， 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意求出参数m，进而得到，从而求出，再在中由勾股定理即可求解. 【详解】连接，则由题意可知， 设，则， 因为成等差数列，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以双曲线的离心率的值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式. （2）记数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推公式和等比数列的性质计算出的通项公式. （2）利用等比数列通项公式与裂项相消法计算后计算 【小问1详解】 由①，得当时，② ①－②得， 将代入，得到，， ，， ，， 是首项为，公比为的等比数列，. 【小问2详解】 ，， ，， ， 数列的前项和为 16. 在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与圆：交于两点. （1）当，且是的中点时，求的值以及圆的标准方程； （2）当时，若，求直线的方程. 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，可得，可得直线的斜率，再运用斜率公式即可解得，进而确定圆的标准方程； （2）运用垂径定理，可得圆心到直线的距离，再分直线的斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，设出直线，结合点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 可将圆方程整理为，可知圆的圆心为，半径. 由题可知，直线的斜率， 若是的中点时，则由垂径定理可知，， 则， 解得，故圆的标准方程为； 【小问2详解】 若，则圆，圆心，半径， 由垂径定理可知，圆心到弦所在直线的距离. ①若直线的斜率不存在，即，此时圆心到直线的距离，符合题意； ②若直线的斜率存在，可设直线，即， 圆心到直线的距离，得，解得， 则直线，化成一般式得：. 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，面面垂直的性质得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）空间内找到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标即可得向量坐标，利用向量的数量积求平面的一个法向量，由向量的数量积得线面角的正弦值，由题意建立方程，解得的值. 【小问1详解】 ∵平面，平面，， ，，为中点，， 又平面平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又平面，平面． 【小问2详解】 取中点E，连接，为的中位线， ，平面， 以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则 即， 取， ∵， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴，所以或，解得或（舍去）. 18. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，是否存在不相等的正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）由（1）可得，假设存在，使得成等差数列，根据等差中项的性质得到方程，求出，的值，即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，则， 整理得，且，所以． 又因，则， 解得，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 则， ． 两式相减得 ， 所以． 【小问3详解】 由（1）可得，则， 假设存在，使得成等差数列， 则，即，化简得， 则， 又，为不相等的正整数， 若，则（舍去）； 若，则，符合题意； 综上可得. 19. 已知椭圆过点，离心率为．若、是椭圆上的两个不同的动点，直线、的斜率分别为、，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （3）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，求的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，并将直线的方程与椭圆方程联立，根据得出参数的值或参数的关系，结合可得出相应参数的取值范围，进而可求得坐标原点到直线的距离的取值范围； （3）根据条件由、可得，，然后计算出的值，并确定的取值范围，即可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 由得， 所以，所以， 此时直线的方程为或，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则，得， 由韦达定理可得，， 所以 ， 化简得， 因为，所以且，， 所以（或）， 由且（或由且）， 所以或，所以， 综上所述，. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，，满足， 当直线的斜率存在时，由（2）知， 因为， 所以， 所以， 由（2）知， 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南菁高级中学2025-2026学年度第一学期 高二期末检测数学试卷 考试时间 120分钟 满分 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则值为（ ） A B. C. D. 2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 5. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，点，若圆上存在点满足，则圆半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则或 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C D. 11. （多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______． 13. 设等差数列的前n项和为，且，，则的最小值为 __________． 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式. （2）记数列的前项和为，求. 16. 在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与圆：交于两点. （1）当，且是的中点时，求的值以及圆的标准方程； （2）当时，若，求直线的方程. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 18. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，是否存在不相等正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆过点，离心率为．若、是椭圆上的两个不同的动点，直线、的斜率分别为、，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （3）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，求的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $