精品解析：河南周口市西华县第一高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

西华一高高二下期期末考试 数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据的第三四分位数是（ ） A. 21 B. 26 C. 39 D. 64 4. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将英文单词“”中的个字母重新组合排列，还可组成（ ）个英文单词（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）． A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则． B. 设，，则． C. 若，则的最小值为． D. 若，则的最大值为2． 10. 已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若，则4是的一个周期 11. 已知函数，其中，则（    ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________． 13. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为____________. 14. 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 0 0.4 0.9 1.5 （3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果． 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，． 17. 已知函数. （1）若关于的方程有且只有一个根，求的值； （2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； （2）在锐角三角形中，求最大值； （3）已知正实数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西华一高高二下期期末考试 数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，解得，故， ，解得或，故或， 故， 故． 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 3. 样本数据的第三四分位数是（ ） A. 21 B. 26 C. 39 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】先将样本数据从小到大排序，再依据75%分位数（第三四分位数）的计算规则即可求得结果. 【详解】先对样本数据从小到大排序21，26，39，45，55，64，68，样本容量； ； 因此该组数据的第三四分位数为第6项64. 4. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 5. 将英文单词“”中的个字母重新组合排列，还可组成（ ）个英文单词（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算个字母（其中有个字母相同）的总的排列数，再减去单词“”本身这种排列可得. 【详解】因为单词 “”共个字母，其中字母重复次，其余字母均不重复， 所以总排列数为， 又因为题目要求“还可组成”，需要减去原来的单词“”本身这种排列， 因此，所以最终还可组成个不同单词. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数、三角函数定义，求出对应a、b、c相应的范围，再据此相互比较即可． 【详解】根据对数定义，， 因为，所以， 又，在第二象限，所以，即， ， 而，所以，，所以， 因此． 故选：C． 7. 若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数，结合可得，求出C，进而求出的解析式，结合导数与极值的关系，即可求得答案. 【详解】函数 满足 ，故令， 则，故， 由得，故， 则可得，故， 故，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故的极大值为， 故选：B 8. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据奇偶性定义判断为奇函数，再应用导数研究的单调性，进而将目标式转化为在R上恒成立，求参数范围. 【详解】因为， 所以， 令，则，得为奇函数， 又， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，得在R上为增函数， 因为， 所以在R上恒成立，显然时满足； 当，需满足，解得， 综上，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：注意构造，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为在R上恒成立为关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则． B. 设，，则． C. 若，则的最小值为． D. 若，则的最大值为2． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 10. 已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若，则4是的一个周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性一一判定即可. 【详解】令，则， 因为，所以，故A正确； 令，则恒成立， 所以函数为偶函数，故B正确； ，令，则，故C错误； ，令，则， 所以， 则为周期函数且为其一个周期，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，其中，则（    ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，由分离参数法构造函数，利用导数确定函数性质判断AD；求出导数并分离参数构造函数，再利用导数确定函数性质判断BC. 【详解】对于A，由，得，令，求导得， 由，得或，由，得， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减， 在上单调递增，函数值集合为，函数的图象如下： 直线与函数的图象当且仅当有一个公共点，则，A正确； 对于B，，函数有且仅有2个极值点，则有两个变号零点， 由，得，令，求导得， 由，得，由，得或， 函数在上单调递增，在上单调递减，函数的图象如下： 直线与函数的图象有两个交点，则， 因此函数有且仅有2个极值点，a的取值范围是，B错误； 对于C，由选项B知，当时，直线与函数的图象仅有一个交点， 此时函数有且仅有一个变号零点，即函数有唯一的极值点，C正确； 对于D，， 由选项A，得当时，，因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 13. 某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为____________. 【答案】 ##0.3 【解析】 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的排列数，二者作商得到所求条件概率. 【详解】设事件为“教师不站在两端”，事件为“甲、乙相邻”，则题中所求为条件概率， 其中为事件的基本事件数，为事件同时发生的基本事件数. 先求：总共有6个站位，教师不能站两端，故从中间4个位置中选1个安排教师，剩余5名学生全排列， 即得. 再求：先将甲、乙捆绑为1个整体，内部排列有种，此时待排列元素共5个（甲乙整体、丙、丁、戊、教师）； 要求教师不站整排两端，即教师不能在5个元素的首尾位置，故从中间3个元素位置选1个安排教师，剩余4个元素全排列， 即得 . 则在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为. 14. 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，计算出等差数列的基本量，即可求得通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法，求得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则得，解得， ； 【小问2详解】 ， 的前n项和 ． 16. 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 0 0.4 0.9 1.5 （3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果． 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，． 【答案】（1） （2） （3）（2）中经验回归方程的拟合效果好． 【解析】 【分析】（1）根据公式计算出得线性回归方程； （2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程； （3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得． 【小问1详解】 由题意得，， ，， 关于的线性经验回归方程为． 【小问2详解】 由题意得，， ，， 关于的线性经验回归方程为， 关于的非线性经验回归方程为． 【小问3详解】 由题意得（1）中的线性经验回归方程为，其残差平方和为 ， （2）中的非线性经验回归方程为，其残差平方和为 因为，所以（2）中经验回归方程的拟合效果好． 17. 已知函数. （1）若关于的方程有且只有一个根，求的值； （2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用将方程转化为的形式，从而把根的个数问题转化为函数的值域问题，通过对求导分析单调性与极值，结合与的极限，确定参数满足唯一根的条件； （2）根据及不等式，构造函数并分析其导数，利用以及导数的符号变化，分类讨论的不同取值对单调性的影响，从而确定不等式恒成立的参数范围. 【小问1详解】 关于x的方程有且只有一个根，即有且只有一个根， 所以有且只有一个根． 令，则，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以． 【小问2详解】 恒成立，即恒成立， 令（）， 则，令，则． ①若，则，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． ②若，令，得． （ⅰ）当，即时，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． （ⅱ）当，即时，在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，故不满足条件． 综上所述，a的取值范围为． 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 【答案】（1） （2）①设事件为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，， 由全概率公式，得 整理得， 故， ， 是以为首项，为公比的等比数列,通项公式为； ②当n为大于1的奇数时，； 当n为大于1的偶数时，； 综上所述，当时，． 【解析】 【分析】（1）先拆分互斥情况，并求出相关概率，利用条件概率公式求出相关概率，再利用全概率公式求解； （2）①利用全概率公式建立递推关系式，通过变形构造等比关系，求出首项及通项公式； ②根据通项公式分奇偶性讨论，从而证明结论． 【小问1详解】 设事件为“第1天选择米饭套餐”，事件为“第2天选择米饭套餐”， 事件为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得． 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． （1）若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； （2）在锐角三角形中，求最大值； （3）已知正实数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得在 上恒成立，利用函数的单调性，求出函数在 上的最小值，即可得答案； （2）令，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； 【小问3详解】 解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是从两个角度理解下凸函数的定义及第（3）问中构造函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $