第二十二章 一元二次方程 寒假复习巩固提升卷2025-2026学年华东师大版数学 九年级上册

第二十二章 一元二次方程 寒假复习巩固提升卷2025-2026学年华东师大版数学 九年级上册 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）． A．3x+5y=0 B．5x+2=0 C． D． 2．若关于x的一元二次方程 5=0的一个根为1，则实数p的值是 (　　) A．4 B．0 或2 C．1 D．-1 3．一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 5．若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0无实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 6．若一元二次方程 两根之和为​，则（　　） A．​ B．​ C．​ D．​ 7．据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了此流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）. A．14 B．11 C．10 D．9 9．对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 10．对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法： ①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根； ②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1； ③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)； 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于　 　． 12．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是　 　． 13．已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为　 　． 14．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 15．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少　 　人？” 16．如图，将矩形沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则　 　． 17．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是　 　．（填序号） 三、计算题 18．解下列方程： （1）； （2）． 19．计算：，其中满足方程． 四、解答题 20． （1） 解方程： （2）小明用配方法解关于 x 的方程： 过程如下： 解： ……第①步 第……②步 第③步 x-3 =±4 第④步 x-3=4， 或x-3=-4 第⑤步 第⑥步 小明第②步的理论依据是　 　。 小明的结果是否正确　 　（填“是”或“否”) （3）请你用不同于小明的方法解这个方程： 21． 已知关于的一元二次方程。 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2） 若，是此方程的两个实数根，且，求的值。 22．“激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A.是二元一次方程，不是一元一次方程； B.是一元一次方程，不是一元二次方程； C.是一元二次方程； D.是分式方程，不是一元二次方程； 故答案为：C. 【分析】根据一元二次方程的定义“ 一元二次方程的定义是只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程 ”逐项判断解题即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2-2p+1=0，解此方程得到p=1. 故答案为：C. 【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解. 3．【答案】B 【解析】【分析】把a=1，b=-2，c=-1代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况。 【解答】∵a=1，b=-2，c=-1， ∴△=b2-4ac=（-2)2-4×1×（-1)=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根。 故选B． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根。 4．【答案】B 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m， ∴由题意得：Δ＝22−4m＝4−4m<0， 解得：m>1． 故答案为：A． 【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设一元二次方程 的两根分别为 ， ， 一元二次方程 的两根之和为， ， ， 当时，，不合题意舍去． 故答案为： C． 【分析】设一元二次方程 的两根分别为 ， ，利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=；x1x2=），，再求解即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：设增长率为， 依题意，得：． 故答案为：D． 【分析】基本关系：初量×（1+增长率）n=末量，其中n为期数，据此列一元二次方程。 8．【答案】B 9．【答案】C 【解析】【解答】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【分析】根据二次方程根与系数的关系，根的判别式，解二次方程逐项进行判断即可求出答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：①当ac<0时，则-4ac>0， ∴b2-4ac>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故说法①正确； ②当x=-1时， 方程的左边=a+bx+c=a·（-1）2+b·(-1)+c=a-b+c=0=方程的右边， ∴x=-1是方程的根， 故说法②正确； ③∵方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根， ∴b2-4ac<0， 即0≤b2<4ac， ∴b2+4ac>0， 而方程根的判别式是b2+4ac ∴该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④若方程有两个实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x-1）（x+2）， 故说法④错误. 综上，说法①②③正确， 故选：A. 【分析】根据ac<0和根的判别式，判断根的判别式与0的大小关系，依此判断说法①；将x=-1代入方程左边，结合条件a﹣b+c=0，检验x=-1是否是方程的根，依此判断说法②；依据第一个方程根的判别式<0，判断第二个方程根的判别式与0的大小关系，即可判断说法③；方程的右边是0，若方程有两个不同实数根x1，x2，则方程的左边可因式分解为a(x-x1)(x-x2)，依此判断说法④. 11．【答案】3 【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：3． 【分析】先求出，再计算求解即可。 12．【答案】1 【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：1． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的个数的关系。对于一元二次方程（），当判别式时，方程有两个相等的实数根。在方程中，，，，将其代入判别式公式，得到；令，构建方程，求解即可得出的值。 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系表示出：，，化简得，在整体代入得，解方程得到，，验证，解答即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【分析】利用公式法求出方程的解，即得三角形的两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长即可. 15．【答案】19 【解析】【解答】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 【分析】通过每个人摘石榴后的总石榴数及平均分配可求得的石榴总数来建立等量关系，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 16．【答案】 【解析】【解答】解：如图，四块图形拼成一个正方形，边长为x 根据剪拼前后图形的面积相等，则y(x+y)=x2 ∵x=1 ∴1-y-y2=0，解得：（舍去） 故答案为： 【分析】根据题意拼出正方形，根据剪拼前后图形的面积相等，则y(x+y)=x2，将x=1代入等式可得关于y的二次方程，再解方程即可求出答案. 17．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：若，则是方程的解，即方程有实数根， ，故①正确； 若方程的两根符号相同，设两根为、， ，， 符号相同， 对于方程，则， 方程有实数根，设两根为、， ， 、符号相同，故②正确； 若是方程的一个根，则有， ， 或， 当时，不一定有成立，故③错误； 若的一个实数根为4，则有， 对于方程，则， ， ， ，， 方程定有一个实数根为，故④正确； 综上所述，其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【分析】由，可知是方程的解，利用判别式可判断①； 由方程的两根符号相同，由根与系数的关系可得，，对于方程，则有和，可判断②； 由是方程的一个根，则有，可判断③； 由题意得，利用公式法解方程，可判断④． 18．【答案】（1） （2） 19．【答案】解： 解方程 ． ． 当时，原式． 【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程、分式的化简求值和分式有意义的条件．先求一元二次方程的根，再化简分式，结合分式有意义的条件得到x的值，再代入化简计算即可． 20．【答案】（1）解： （2）等式的基本性质 1；是 （3）解：(x+1)(x-7)=0 x-1=0或x-7=0 21．【答案】（1）证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，然后联立方程组，求出，进一步得出关于m的方程求解即可． 22．【答案】（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为m， 依题意，得： 解得： (不合题意，舍去)． 答：每次上涨的百分率为20%． （2）解：由题意，设每套摆件降价x元， 每天的利润为(42-x)(100+5x)=4800， 解得： 当降价12元时， 销售量为 100+5×12=160套， 当降价10元时， 销售量为 100+5×10=150套， 为了使销量最大化，应选择销售量更大的方案，即降价12元． 答：为达到 4800元利润并使销量最大化，每套摆件应降价 12元． 【解析】【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题和利润问题中的实际应用，需根据题意建立合适的方程模型。 （1）设每次上涨的百分率为 ，初始销售单价为50元，经过两次上涨后单价为72元，根据增长率公式“最终价格=初始价格×(1+增长率)2”，可列出方程 ，求解方程后舍去不符合实际意义的负根，得到上涨的百分率； （2）设每套摆件降价 元，此时销售单价为 元，每套的利润为 元，销售量为 套（每降价1元多卖5套）；根据“总利润=每套利润×销售量”，列出方程 ，求解方程得到两个可能的降价金额；再分别计算两种降价方案对应的销售量，选择销售量更大的方案，即为使销量最大化的降价金额。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $