寒假作业 04 一元二次方程 专项练习 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册（甘肃专用）

___________月___________日 天气________ 用时________ 寒假作业 作业04 一元二次方程 分层式学习 一、核心概念 1. 定义：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，标准形式为 （、、 是常数，且 ）。 1. 各部分名称： ：二次项， 为二次项系数（不可为0）； ：一次项， 为一次项系数（可为0，此时方程为 ，是缺一次项的一元二次方程）； ：常数项（可为0，此时方程为 ，是缺常数项的一元二次方程）。 1. 本质特征：整式方程 + 一个未知数 + 未知数最高次数为2 + 二次项系数不为0。 二、常见辨析（判断是否为一元二次方程） 1. 符合条件的情形 · （标准形式，）； · （可化为 ，缺一次项，）； · （整理后为 ，整式方程，次数符合）。 2. 不符合条件的情形及原因 · （不是整式方程，含分式 ）； · （未知数最高次数为1，是一元一次方程）； · （含两个未知数 、，是二元方程）； · （二次项系数为0，实际是一元一次方程）。 三、概念运用 1. 确定参数取值 · 例1：若方程 是一元二次方程，求m的值。 · 解：由题意得 ，解得 。 · 例2：若一元二次方程 缺一次项，则 ；缺常数项，则 。 2. 根据实际场景列方程 · 例1：一个正方形的边长增加2cm后，面积变为36cm²，设原边长为 cm，列方程为 （整理为 ）。 · 例2：某商品原价为每件50元，连续两次降价后售价为每件32元，设平均每次降价的百分率为 ，列方程为 （整理为 ）。 3. 识别方程类型 · 例：判断下列方程是否为一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明理由： · ① （√，符合定义）； · ② （×，未知数最高次数为3）； · ③ （×，含两个未知数）； · ④ （×，不是整式方程）。 一、选择题 1. 一元二次方程化为一般形式后，，，的值为（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. （2024·白银期中改编）关于的一元二次方程的一个根为，则为（     ） A. B. 或 C. D. 3. 若关于的方程是一元一次方程，则为（     ） A. B. C. D. 不等于 4. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的为（     ） A. B. C. D. 5. 不是下列哪个方程的解（     ） A. B. C. D. 6. 若和互为相反数，则为（     ） A. B. C. D. 7. （2024·西安校级期末）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（     ） A. B. C. D. 8. 根据以下表格中所给出的对应值，判断方程一个解的范围是（     ） -1 -2 -1 2 7 A. B. C. D. 二、填空题 9. 方程的一般形式为______________. 10. 关于的方程是一元二次方程，则______. 11. 的二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______. 12. 关于x的方程有一根为0，则 ______. 13.（金塔期中改编）已知如图所示的图形的面积为24.根据图中的条件，可列出方程： ______. 14.两个相邻偶数的积为168，求这两个偶数是多少时，如果设较小的偶数是，则较大的偶数是 ______，根据题意可列方程为： _______________. 15. （宜昌期中）如图,EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为________米．     三、解答题 16.先把下列方程化为一般形式，再求出，，的值. (1) （2） 17.已知一元二次方程有一根为1，且，求的值. 18. 判断下列方程后面给出的数是否为方程的根. （1），； （2），. 19. 如果方程是关于的一元二次方程，试确定的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. 20. 先化简，再求值：，其中，a是方程 的根。 21. 【新中考·新定义型阅读理解题】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“理想方程”. （1）判断一元二次方程是否为“理想方程”，说明理由； （2）已知是关于的“理想方程”，若2是此“理想方程”的一个根，求，的值. 建议用时：60分钟 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $H出 B ooO 日天气用时 寒假作业 作业04一元二次方程 分层式学习 积累运用 一、核心概念 1.定义：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，标准形式为 ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)。 2.各部分名称： 2:二次项，a为二次项系数（不可为0）； ·bx:一次项，b为一次项系数（可为0，此时方程为x2+c=0,是缺一次项的一元二次方程）； c:常数项（可为0，此时方程为x2+bx=0,是缺常数项的一元二次方程）。 3.本质特征：整式方程+一个未知数+未知数最高次数为2+二次项系数不为0。 二、常见辨析（判断是否为一元二次方程） 1.符合条件的情形 ·3x2-5x+2=0(标准形式，a=3≠0)： ·x2=4(可化为x2-4=0,缺一次项，a=1≠0)： ·2x(x-3)=5(整理后为2x2-6x-5=0,整式方程，次数符合)。 2.不符合条件的情形及原因 。x2+=3(不是整式方程，含分式： ·2x+5=0(未知数最高次数为1，是一元一次方程)； ·x2+y-6=0(含两个未知数x、y,是二元方程)； ·0x2+3x-1=0（二次项系数为0，实际是一元一次方程)。 三、概念运用 1.确定参数取值 ·例1：若方程(m-2)xm+3x-1=0是一元二次方程，求m的值。 解：由题盗得(2子。解得m=2。 ·例2：若一元二次方程ax2+bx+c=0缺一次项，则b=0;缺常数项，则c=0。 2.根据实际场景列方程 ·例1：一个正方形的边长增加2cm后，面积变为36cm2,设原边长为xcm,列方程为&+2)2= 36(整理为x2+4x-32=0)。 >1☒ H出 B ooO 月■ 日天气用时 寒假作业 ·例2：某商品原价为每件50元，连续两次降价后售价为每件32元，设平均每次降价的百分率为 x,列方程为50(1-x)2=32(整理为50x2-100x+18=0)。 3.识别方程类型 。例：判断下列方程是否为一元二次方程，是的打”，不是的打“×”并说明理由： ①x2-2x=0(√，符合定义)： ②x3-x2+1=0(×,未知数最高次数为3)： ③2x2-y=0(×,含两个未知数)； ④是+x=5(×,不是整式方程)。 培优训练 一、选择题 1.一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2+1化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后，a,b,c的值为 () A.6,4,3 B.6,-4,-3 C.5,4,-3 D.5,-4,3 2.(2024·白银期中改编)关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则p为 () A.4 B.0或2 C.1 D.-1 3.若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元一次方程，则a为() A.2 B.-2 C.0 D.不等于2 4.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的为() A.ax2+bx+c=0 B.ax2+1=x2-x C.(a2+1)x2-(a2-1)x=0 D.x2++3=0 5.x=2不是下列哪个方程的解() A.3(x-2)=0 B.2x2-3x=2 C.(x-2)(x+2)=0 D.x2-x+2=0 6.若2x2+3和2x2-4互为相反数，则x为() H出 B ooO 月 日天气 用时 寒假作业 A月 B.2 C.±2 D.± 7.(2024·西安校级期末)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2015-a- b的值是() A.2020 B.2015 C.2016 D.2012 8.根据以下表格中所给出的对应值，判断方程x2-2x一1=0一个解的范围是() 0 1 2 3 4 x2-2x-1 -1 2 -1 7 A.0<x<1 B.1<X<2 C.2<x<3 D.3<x<4 二、填空题 9.方程-8x=3x2-2的一般形式为 10.关于x的方程nx+2+(2n+1)x=3是一元二次方程，则n= 11.3x2-2x-1=0的二次项系数为，一次项系数为，常数项为 12.关于x的方程(a+1)x2+x+a2-1=0有一根为0，则a= 13.(金塔期中改编)己知如图所示的图形的面积为24.根据图中的条件，可列出方程： 14两个相邻偶数的积为168，求这两个偶数是多少时，如果设较小的偶数是x,则较大的偶数是 根据题意可列方程为： >,☒ H出 B ooO 月 日天气用时寒假作业 15.★（宜昌期中）如图，EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地 ABCD,中间用栅栏隔成同样三块.若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为米。 三、解答题 16.先把下列方程化为一般形式，再求出a,b,c的值. (1)5x(x+2)=3(x-1); (2)(2x+1)2=(x+1)x-1)-3. 17.已知一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为1，且a=V√b-2+√2-b-1,求abc2023的值. 18.判断下列方程后面给出的数是否为方程的根. (1)2x(x+1)=4(x+1),（±1，±2)： (2)x2+2x-8=0,(±2，±4)， 19.如果方程(m-2)xm-2+(m-1)x+3m-1=0是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次 项系数、一次项系数及常数项. >T4☒ H出 B oo a 月 日天气用时 寒假作业 20.★先化简，再求值： (-)-品其中，a是方程2-3x+1=0的根。 素养提升 21.★★【新中考·新定义型阅读理解题】定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+ c=0,那么我们称这个方程为“理想方程”. (1)判断一元二次方程2x2+9x+7=0是否为“理想方程”，说明理由； (2)已知4x2-mx+n=0是关于x的“理想方程”，若2是此“理想方程”的一个根，求m,n的值. 建议用时：60分钟 >T☒ 作业04 一元二次方程 答案解析 分层式学习 一、选择题 1. 答案：C 解析：先展开左边，将右边移到左边，合并同类项得，对应一般形式，故，，。 1. 答案：C 解析：将根代入方程，得，化简为，即，解得。 1. 答案：A 解析：展开方程得，整理为。因方程是一元一次方程，需满足二次项系数为0且一次项系数不为0，即，解得。 1. 答案：C 解析：A选项中，当时，方程变为，不是一元二次方程；B选项化简为，当时，方程为，是一元一次方程；C选项中恒大于0，满足一元二次方程定义；D选项含分式，不是整式方程，故不是一元二次方程。 1. 答案：D 解析：将代入各选项验证：A选项，是解；B选项，是解；C选项，是解；D选项，不是解。 1. 答案：D 解析：互为相反数的两数和为0，故，化简得，即，解得。 1. 答案：A 解析：将代入方程，得，即。则。 1. 答案：C 解析：对于方程，当时，代数式值为；当时，值为。因代数式值从负变正，故方程的一个解在之间。 二、填空题 1. 答案： 解析：将方程移项，把所有项移到等号左边，整理得一般形式。 1. 答案：2 解析：一元二次方程需满足“未知数最高次数为2且二次项系数不为0”，故且，解得。 1. 答案：3；-2；-1 解析：根据一元二次方程一般形式，直接对应方程，可得二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-1。 1. 答案：1 解析：将代入方程，得，解得。因方程是一元二次方程，需满足，故。 1. 答案：（或展开前的形式：） 解析： 图形拆分与面积计算： · 该图形可看作“边长为的正方形”减去右上角“边长为1的小正方形”（或直接拼接为长、宽的矩形加一个长、宽1的矩形）。 · 用正方形面积公式计算：边长为的正方形面积为，减去右上角小正方形面积1，即总面积为。 列方程： · 已知总面积为24，因此列方程： · 展开化简： 1. 答案：； 解析：相邻偶数相差2，故较大偶数为；根据“两数积为168”，列方程为。 1. 答案：10或6 解析：设米，因栅栏总长32米且隔成三块，故。根据矩形面积公式，得，化简为²，解得或，均符合墙长18米的限制。 三、解答题 1. 答案： （1）一般形式：，，，； （2）一般形式：，，，。 解析： （1）展开左边，移项得，合并同类项化为一般形式； （2）展开左边，右边，移项合并得。 1. 答案：2 解析：由二次根式有意义的条件，且，得，则。因方程有一根为1，代入得，解得。故。 1. 答案： （1）、是根，、不是根； （2）、是根，、不是根。 解析： （1）将各数代入方程验证：时，左边，右边，是根；时，左边，右边，是根；其余数代入左右两边不相等，不是根； （2）同理，时，时，是根；其余数代入不为0，不是根。 1. 答案：，二次项系数2，一次项系数3，常数项11 解析：由一元二次方程定义，且，解得。代入方程得²，据此确定各项系数。 1. 答案： 解析：先化简代数式：，除以得。因是的根，故，代入得。 素养提升 1. 答案： （1）是“理想方程”； （2），。 解析： （1）“理想方程”满足，方程²中，，，，符合定义； （2）因是“理想方程”，故，即。又是根，代入得，联立方程组，解得，。 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $