第十三章 勾股定理 寒假复习巩固提升卷2025-2026学年华东师大版数学 八年级上册

第十三章 勾股定理 寒假复习巩固提升卷2025-2026学年华东师大版数学 八年级上册 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．若分别以下列各组数值为一个三角形的三条边长，则其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．5，12，15 D．8，15，17 2．下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，四边形中，，，，，．则（　　） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 4．如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．16m B．18m C．22m D．24m 6．下图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为(　　) A． B． C． D． 7． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=6， BC=8， 以点A为圆心， AC长为半径画弧， 交AB 于点D，再分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线MN分别交AB、BC于点E、F， 则线段BE的长为(　　) A．1 B． C．2 D． 8．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　) A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米 9．如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC的边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC=6，空白部分的面积为10.5，则阴影部分面积为(　　) A．10.5 B．12 C．15 D．17 10．将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合落在边上的同一点P处，折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为则之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．如果一个直角三角形的两条边分别为3,4，则第三边的长为　 　． 12．如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为　 　． 13．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB=1.3米，小狗的高CD=0.3米，小狗与小方的距离AC=2.4米.(绳子一直是直的)牵狗绳BD的长 　 　. 14．如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是　 　． 15． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，P，Q分别是AD，AC上的动点，则PC+PQ的最小值为　 　. 三、解答题(共55分) 16．如图，在中，，，在中，是边上的高，，的面积为35．求： （1）的长； （2）四边形的面积； 17．某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 18．在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 19．如图，在四边形中，，，，，连接． （1）求的长； （2）求证：． 20．如图，，，，，垂足为F． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 21．如图①，在，，，点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连接，设点的运动时间为秒． （1）当秒时，求的长度； （2）用含的代数式表示线段的长度； （3）当分的面积为两部分时，求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A：因为 22+32≠42，所以A不能构成直角三角形； B：因为，所以B不能构成直角三角形； C：因为 52+122≠15 ，所以C不能构成直角三角形； D： 82+152=172，所以D能构成直角三角形。 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判定即可得出答案。 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知，大树折断后，折断处到地面的部分（BC）、地面上树根到树顶端的距离（AC）与折断的树干部分（AB）构成直角三角形，其中，，。 根据勾股定理，即。 代入数值计算：， ∴。 树折断前的高度为折断部分（AB）与未折断部分（BC）的长度和，即。 故答案为：A。 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题需先将实际场景转化为几何图形：大树折断后，未折断的树干垂直于地面，形成直角三角形的一条直角边，树顶端到树根的距离是另一条直角边，折断的树干是斜边。先利用勾股定理求出斜边（折断部分）的长度，再将斜边长度与未折断部分的长度相加，即可得到树折断前的总高度。 6．【答案】C 7．【答案】C 【解析】【解答】解：由作图可知：，， 在中，， ∴， ， 故选：C． 【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解， 8．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，由题意可知，AE＝1.5米，BE＝2米，CE＝2.4米，AB＝CD， 由勾股定理得，AB＝， ， 即梯子的底端向左移了1.3米； 故选：C. 【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BE的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：据题意知：∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°， ∴∠FAC+∠BAC=∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠FAC=∠ABC， ∴易证△FAM≌△ABN(AAS)， ∴S△FAM=S△ABN， ∴S△ABC=S四边形FNCM， 根据勾股定理知：AC2+BC2=AB2， ∵ AC+BC=6， ∴（ AC+BC）2=AC2+BC2+2AC×BC=36， ∴AB2 +2AC×BC=36， ∴AC×BC=， ∵AB2-2S△ABC=10.5， ∴AB2 -AC×BC=10.5， ∴3AB2=57， ∴2AB2=38， ∴ 阴影部分面积为 38-2×10.5=17， 故答案为：D . 【分析】根据三角形全等得S△FAM=S△ABN，从而得S△ABC=S四边形FNCM，再根据题意得AB2-2S△ABC=10.5，从而得2AB2=38，最后利用面积差得 阴影部分面积 . 10．【答案】D 【解析】【解答】解：过P作于E， 由折叠可得B与P关于直线对称，C与P关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 同理=3， ∴PM×PN=MN×PE， ∴PE=， ∵， ∴， ∴， ， ， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意. 故答案为：D． 【分析】根据折叠的性质求出PH、PG、MN的值，再根据等面积求出PE的长度，接着求出 的面积，再逐一判断四个选项. 11．【答案】5或者 解答：题干中只说了3，4是直角三角形的两条边，并没有明确说是直角还是斜边，所以要分类讨论。当3，4都是直角边时，由勾股定理知第三边为5；当4是斜边时，第三边此时是. 12．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：由折叠得FG垂直平分AC， ∴AF=CF， 设CF=x，则AF=x，BF=BC-CF=10-x， ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=90°， ∴AF2=AB2+BF2 ∴x2=52+(10-x)2 解得，即 ∴ 故答案为：. 【分析】由折叠得FG垂直平分AC，得AF=CF，设CF=x，则AF=x，BF=BC-CF=10-x，由矩形ABCD得∠B=90°，利用勾股定理列方程求得CF长，由即可得解. 13．【答案】2.6米 【解析】【解答】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 【分析】过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：将组合体展开，如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可. 15．【答案】4.8 【解析】【解答】根据题意可知，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6， 由勾股定理得：， ∵AD平分∠CAB， ∴点Q的对称点Q'在AB上，PQ=PQ'， 则PC+PQ=PC+PQ'， 根据垂线段最短，当CQ'⊥AB时，与AD交于点P，此时PC+PQ最小， 根据S△ABC=， ∴CQ'=4.8， 即PC+PQ的最小值为4.8， 故答案为：4.8. 【分析】 根据题意，通过构造对称点将折线路径转化为直线段，利用角平分线的对称性简化问题，然后根据垂线段最短得到PC+PQ的最小值. 16．【答案】（1）解： 在中，是边上的高，，的面积为35， ∴， ； 即的长为10. （2）解：在三角形中， ，，AB=10， =AB2， ∴四边形的面积． 【解析】【分析】（1）利用三角形的面积，确定底为AB、高为BC，代入计算求解即可； （2）利用勾股定理逆定理，首先证明，然后利用割补法求解四边形的面积即可． （1）解：，的面积为35，是边上的高， ∴， ； （2）在三角形中 ，， ， ∴四边形的面积． 17．【答案】（1）解：由勾股定理得， （米）， （米）， （2）解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）， （米）， 他应该往回收线8米． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差解答即可； （2）在上截取米，连接，根据勾股定理求出的长解答即可． （1）解：由勾股定理得， （米）， （米）， （2）解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）， （米）， 他应该往回收线8米． 18．【答案】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴． 【解析】【分析】先由勾股定理求出的长，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据，结合三角形面积公式进行解答即可. 19．【答案】（1）解：在中，， ， 。 （2）解：在中，，，， 则． 是直角三角形． ． 【解析】【分析】（1）在中，利用勾股定理将代入计算即可求出； （2）在中，根据勾股定理逆定理证明得出是直角三角形，最后即可得出直角，从而得出答案。 （1）解：在中，， ， ； （2）解：在中，，，， 则． 是直角三角形． ． 20．【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）得， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长到，使得，连接， ， ∴垂直平分， ， ， ， ，， ， ∵，， ∴， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）利用“手拉手”全等模型即可得证结论； （2）根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，由（1）中全等三角形对应角相等得，然后得出，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数； （3）延长到，使得，连接，由线段垂直平分线的性质得，从而得，由（1）中全等三角形性质得，，进而得，，于是，然后证明，得出，最后根据线段和差关系，进行等量代换即可得证结论. （1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ． 21．【答案】（1）解：当秒时，， ， ， 在中，由勾股定理得； （2）解：由题意得：， ∵3÷2=， ∴点P从点B到点C的运动时间为秒， 当时，， 当时，， （3）解：， ，， 当分的面积为两部分时，或， 或， 解得：的值为或； 【分析】（1）根据路程、速度、时间三者的关系，当秒时，，由线段和差得，在中，根据勾股定理即可算出AP的长； （2）由题意得BP=2t，由路程、速度和时间三者的关系得出点P从点B到点C的运动时间为秒，从而分两种情况：当时，当时，利用线段的和差即可求解； （3）由三角形面积公式可得，，由同高三角形面积之间的关系就是对应底之间的关系，分S△ABP∶S△ACP=2∶3与S△ABP∶S△ACP=3∶2两种情况可得或，得到关于t的方程求解即可； （1）解：当秒时，， ， ， 在中，由勾股定理得； （2）解：由题意得：， 当时，， 当时，， 当时，；当时，； （3）解：， ，， 当分的面积为两部分时，或， 或， 解得：的值为或； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $