2026年山东省青岛市自主招生考试数学专题：锐角三角函数

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：锐角三角函数 一、单选题 1．在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA= ，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知在Rt 中， ，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，测得一商店自动扶梯的长为 ，自动扶梯与地面所成的角为 ，则该自动扶梯到达的高度 为（　　） A． B． C． D． 4．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为（　　） A． B． C． D． 5．2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 6．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（　　） A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx. D．acosx+bsinx 9．在解决代数问题时我们常会通过构建几何图形来分析.比如在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，可得tan22.5°的值为（　　） ​​ A． B．. C． D． 10．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（　　） A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2 二、填空题 11．在 中， ，则 的大小是　 　． 12．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度　 　米． 13．如图，某堤坝的坝高为16米．如果迎水坡的坡度为，那么该大坝迎水坡的长度为　 　米． 14．如图，无人机于空中 处测得某建筑顶部 处的仰角为45°，测得该建筑底部 处的俯角为35°.若无人机的飞行高度 为42m，则该建筑的高度 为　 　 .（参考数据： ， ， ）. 15．某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为 　 　m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数） 三、解答题 16．如图1，这是码头上的一种起重机，它是码头上用于装卸集装箱的重要工具，图2是它的简易示意图.为了计算该起重机悬索AC的长，某数学研究小组测量得到如下数据：，，.请你帮助他们求出悬索AC的长.（结果精确到1m，参考数据：，，，） 17．美丽的湘江河宛如一条玉带纵贯遵义市城中心，两岸风景优美，是市民散步的好地方．如图所示，周末吴老师由西往东在步道上散步，在处观察到河对岸处的广告牌在自己的南偏东60°方向上，又直线行走100米到达处，观察到处的广告牌在自己的东南方向上，请根据以上信息，求广告牌到河岸的距离．（精准到0.1米，） 18．如图，已知在海岛A的正东方向有一陆地观测点B，在点B 正北方向的20海里处有一海岛C，现计划在距C岛12海里的北偏西 方向处建一个临时观测点D，且从A岛观察临时观测点D处于北偏东 方向，求A岛到临时观测点D 的距离.(结果精确到0.1海里，参考数据： 19．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：） 20．如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73） 21． 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌的高度，从与大厦相距的A处观测广告牌顶部D的仰角，观测广告牌底部的仰角，如图所示． （参考数据：） （1）求大厦的高度；（结果精确到） （2）求广告牌的高度．（结果取整数） 22．如图，是一条东西方向的长为的人行道，A处放置一个灌溉草坪的喷头，以A点为圆心，为半径的圆形范围都能浇灌．小亮用仪器测得喷头在B处的东北方向，在D处的北偏西，请问在喷头工作时，行人走在人行道上是否会被淋到，请说明理由．（结果精确到，参考数据：） 23．在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE＝900米，点B在点C的正西方向，且BC米，点B在点A的南偏东60°方向且AB＝600米，点D在点A的东北方向．（参考数据：） （1）求道路AD的长度（结果保留根号）； （2）若甲从A点出发沿A﹣D﹣E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B﹣A﹣E的路径去点E，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位） 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， 故答案为：B . 【分析】根据进行计算即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， ∴∠A=30°， ∴∠B=90°-∠A=60°. 故答案为：C. 【分析】先根据特殊角的三角函数求出∠A的度数，然后根据直角三角形的性质求∠B，即可解答. 3．【答案】A 【解析】【解答】解： ， ；故答案为：A. 【分析】利用 的正弦可得，从而求出h的值. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点D作于E， 由题意得O米， 在中，，， ∴栏杆端点A上升的垂直距离米， 故答案为：A． 【分析】过点D作于E，在中，利用正弦解题即可． 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：， 在中，，， ∴． 故答案为：A ． 【分析】根据题意可知，在中，利用解直角三角形进行计算即可解答． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D， ∴AD=2，BD=4， ∴． ∴． 故答案为：B． 【分析】过A作AD⊥BC于D，先利用勾股定理求出AB的长，再利用余弦的定义求出即可。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：由tan∠B= ，得 AC=BC•tanB=5×tan26． 故选：D． 【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B= ，根据计算器的应用，可得答案． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图， ∵四边形ABCD为矩形，AD=b， ∴∠ABH=90°，AD=BC=b， ∵OB⊥OC， ∴∠O=90°， 又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x， ∴∠HCG=∠BAH=x， 在Rt△ABH中， ∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a， ∴AH= ， ∵tan∠BAH=tanx= ， ∴BH=a·tanx， ∴CH=BC-BH=b-a·tanx， 在Rt△CGH中， ∵sin∠HCG=sinx= ， ∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx， ∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx， = +bsinx- ， =bsinx+acosx. 故答案为：D. 【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图．在Rt△A'C'B'中，∠C'=90°，∠A'B'C'=45°，延长C'B'使B'D'=A'B'， 连接A'D'，得∠D'=22.5°， ∴tan22.5°===-1． 故答案为：B. 【分析】在Rt△A'C'B'中，∠C'=90°，∠A'B'C'=30°，延长C'B'使B'D'=A'B'，连接A'D'，得∠D'=15°，则tan22.5°=，由此能求出结果. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm， ∴ = ， ∴BC=8， 由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t， 设△PBQ的面积为S， 则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t）， S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4， ∴当t=3时，S有最大值为9， 即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2； 故答案为：C． 【分析】根据解直角三角形中正切的定义，求出BC的值，由三角形的面积公式得到二次函数，由顶点式得到最大面积. 11．【答案】 【解析】【解答】 ， ， ， ， 的大小是： ． 故答案为 ． 【分析】先求出∠C和∠B的度数，再根据三角形的内角和等于180°，进行计算求解即可。 12．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】本题主要对特殊的锐角三角函数的知识进行考查．根据题干信息找到各角与边的数据，在根据已知正切值完成求解。 13．【答案】20 【解析】【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，可知BC=16米， ∵BC：AC=1：0.75， ∴16：AC=1：0.75， ∴AC=12（米）， ∴AB= =20（米）， 答：该大坝迎水坡AB的长度为20米． 故答案为：20． 【分析】过点B作BC垂直于水平面于点C，可知BC=16米，再利用迎水坡的坡度为可得16：AC=1：0.75，再求出AC=12，最后利用勾股定理求出AB的长即可。 14．【答案】102 【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故答案为： 102. 【分析】先证四边形ADCE是矩形，可得AD=CE=42cm，由可求出AE的长，证得△AEB为等腰直角三角形，可得AE=BE=60m，由BC=BE+CE计算即得结论. 15．【答案】189 【解析】【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=62m， ∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°， ∴AD=CD， ∵AD=AB+BD， ∴BD=AD﹣AB=CD﹣2（m）， ∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=， ∴BD=， ∴AB=AD﹣BD=CD﹣=62， ∴CD≈189，（m）． 答：蒲宁之珠的高度CD约为189， 故答案为：189． 【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=56°，AB=62m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣62；在Rt△BCD中，可得BD=，即可得AB=AD﹣BD=CD﹣=62，继而求得答案． 16．【答案】解：如图，过点作于点， 在中，，， ，. 在中，， ， . 答：悬索AC的长约为138m. 【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据含30°的直角三角形的性质得BD的长度，根据三角函数求出AD、CD的长度，最后由AC=AD+CD得出答案. 17．【答案】解：过点作于点，如图所示： ∴△ACP和△BCP都是直角三角形，∠PCB=90°. 由题意可得：，，米， 在Rt△BCP中，∠，设米， ∴BC=PC=x米， ∴AC=AB+BC=100+x，(米) 在中，∠PAB=30°， ∵， ∴， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴（米）， 答：广告牌到河岸的距离约为米． 【解析】【分析】过点作于点，先根据题意可得，，设米，再在Rt△BCP和中分别解直角三角形，得到关于x的方程，求解即可. 18．【答案】解：如图，过D点作DE⊥AB，DF⊥BC， 据题意知：BC=20海里，CD=12海里，∠DCF=60°，∠ADE=32°， ∴cos∠DCF=cos60°=， ∴CF=CDcos60°=6海里， ∴DE=BF=BC+CF=26海里， 又cos∠ADE=cos32°= ∴AD=≈30.6海里. 答：A 岛到临时观测点 D 的距离约30.6海里. 【解析】【分析】构建直角三角形，利用适当的三角函数求AD的长即可. 19．【答案】解：如图，过点A作于点D， 根据题意，，，， ， ， . 【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数tan∠BAD=tan30°=可求得BD的值；在直角三角形ACD中，根据锐角三角函数tan∠DAC=tan60°=可求得CD的值；然后由线段的构成BC=BD+CD可求解. 20．【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB=30× =20，∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，∴∠DAB=30°，∴BD= AB=10，由勾股定理可知：AD=10 ∵BC∥AN，∴∠BCD=45°，∴CD=BD=10，∴AC=10 +10∵∠DAB=30°，∴CE= AC=5 +5≈13.7答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里 【解析】【分析】根据题意得到AB的值，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，求出AD的值，得到CE的值. 21．【答案】（1）解：在中，， ∴， ∴大厦的高度约为 （2）解：在中，， ∴， ∴ ∴广告牌的高度约为 【解析】【分析】（1）在中，解直角三角形即可求得 大厦的高度约为 ； （2） 在中， 通过解直角三角形首先求得BD的长度，再根据BD-BC即可得出答案。 22．【答案】解：不会，理由如下． 如图，过点A作AC⊥BD于点C， 由题意得，， 过点A作， 在中， 设， 在中， 在中，根据勾股定理得， 解得： 答：行人不会被淋到． 【解析】【分析】要判断行人走在人行道上是否会被淋到，关键在于对比以△ABD的BD为底作出的高，与浇灌半径的大小，若前者大于后者，则不会被淋到，反之就会被淋到. 23．【答案】（1）道路AD的长度约为米； （2）乙先到达点E． 【解析】【解答】解：（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，如图所示： 根据题意可得：AF=CG，AG=CF， 在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=600米， ∴AF=AB×cos60°=600×=300米，BF=AB×sin60°=600×=米， ∴CG=AF=300米， ∵BC=米， ∴CF=BF+BC=+=米， ∴AG=CF=米， 在Rt△ADG中，∠DAG=90°-45°=45°， ∴AD=米， ∴道路AD的长度约为米； 故答案为：； （2）∵CE=900米，CG=300米， ∴EG=CE-CG=600米， 在Rt△AGE中，AG=米， ∴AE=米， 在Rt△ADG中，∠DAG=45°， ∴DG=AG×tan45°=米， ∴甲的路程=AD+DE=AD+DG-EG=+-600≈1908.6米， 乙的路程=AB+AE=600+1200=1800米， ∵1908.6>1800，两人速度相同， ∴乙先到达点E， 故答案为：乙先到达点E． 【分析】（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，先利用解直角三角形的方法求出AF和BF的长，再利用线段的和差求出CF的长，最后利用解直角三角形的方法求出AD的长即可； （2）先利用巩固定理求出AE的长，再利用解直角三角形的方法求出DG的长，再分别求出甲、乙的路程，最后利用“时间=路程÷速度”分析求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $