第二章 有理数及其运算 期末复习提高训练（2）2025-2026学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》期末复习提高训练（2） 一．选择题 1．如图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（　　） A． B． C． D． 2．有下列说法：①最小的自然数为1；②最大的负整数是﹣1；③没有最小的负数；④最小的整数是0；⑤最小非负整数为0，其中，正确的说法有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若|x﹣2|＝2﹣x，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2 4．下列说法中正确的个数是（　　） （1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个非正数的绝对值是它的相反数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；（4）一个非正数的绝对值是它本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 5．某食品包装袋上标有“净含量385±5”（单位：克），这包食品的合格净含量范围是 　 　 ． 6．比较大小：|3.14|　 　 π，　 　 ，　 　 ． 7．（1）的倒数的绝对值是 　 　 ； （2）绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是 　 　 ． 8．以下说法： ①﹣a一定是一个负数； ②正整数、负整数统称为整数； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； ④绝对值等于本身的是正数； ⑤若m满足|m|+m＝0，则m≤0； ⑥若两个非零有理数a，b满足，则，其中正确的有　 　 ．（填序号） 三．解答题 9．把下列各数填在相应的括号内： ﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，，0，，0.563 正数集合{ 　 　 …}； 负数集合{ 　 　 …}； 负分数集合{ 　 　 …}； 非正整数集合{ 　 　 …}． 10．设a是绝对值大于1而小于5的所有整数的和，b是不大于2的非负整数的和，求a、b，以及b﹣a的相反数． 11．写出符合下列条件的数： （1）最小的正整数； （2）大于﹣3且小于2的所有整数； （3）最大的负整数； （4）绝对值最小的有理数； （5）倒数是其本身的数； （6）绝对值大于2且小于5的所有负整数． 12．计算下列各题： （1）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）+（+17）； （2）37.5+（+28）+[（﹣46）+（﹣25）]． 13．如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： （1）将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是 　 　 ； （2）怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？请写出两种移动的方法． 14．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为1km，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶4km到达A村，继续向西行驶1km到达B村，最后向东行驶9km到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为0.1升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求便民超市与学校之间的距离．[提示：﹣1到0之间的距离可以表示为0﹣（﹣1）＝1] 15．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则数轴上数﹣2对应的点与数2对应的点重合． 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上﹣4对应的点与数0对应的点重合． （1）数轴上数3对应的点与数　 　 对应的点重合； （2）若点A到原点的距离为5，且点A，B经折叠后重合，则点B表示的数为　 　 ； （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2026，且点M，N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，求点M，N表示的数． 16．如图，在数轴上有点A、B、C、D，请回答下列问题： （1）将点B向右移动5个单位长度到点E，移动后，4个点所表示的数哪一个最大？哪一个最小？请将移动后的4个点所表示的数按从大到小的顺序排列； （2）将点C向左移动7个单位长度到点F，这时点A所表示的数比点F所表示的数大多少？ （3）怎样移动A、B、C、D中的三个点，使4个点表示的数相同？ 17．当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离 不是瞬间便无处寻觅 而是尚未相遇 便注定无法相聚 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，例如|x﹣2|表示x到2的距离，而|a+1|＝|a﹣（﹣1）|则表示a到﹣1的距离； ②我们知道：|x|＝，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简|x+1|+|x﹣2|时，可先令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1和2分别为|x+1|+|x﹣2|的零点值），在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）x＜﹣1；（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2． 从而化简|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： （1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； （2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； （3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题： （1）若|x﹣1|＝2，则x＝　 　 ． （2）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是 　 　 ． （3）代数式|x+1|﹣2|x﹣1|有最大值，这个值是 　 　 ． 18．阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB| 当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b| 当A、B两点都不在原点时， （1）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b| （2）如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b| （3）如图④，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b| 综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b| 请用上面的知识解答下面的问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　 　 ，如果|AB|＝2，那么x为　 　 ． （3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　 ． 北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》期末复习提高训练（2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 题号 1 2 3 4 答案 C B B C 1．如图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a、b、c在数轴上的位置取特殊值判断其倒数的大小即可． 【解答】解：＜c＜a＜0＜1＜b， ∴可以取a＝﹣、b＝2、c＝﹣， ∴＝﹣3，＝，＝ ∴＞＞． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键． 2．有下列说法：①最小的自然数为1；②最大的负整数是﹣1；③没有最小的负数；④最小的整数是0；⑤最小非负整数为0，其中，正确的说法有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据有理数的概念，逐一判断即可解答． 【解答】解：①最小的自然数为0，故①不正确； ②最大的负整数是﹣1，故②正确； ③没有最小的负数，故③正确； ④绝对值最小的整数是0，故④不正确； ⑤最小非负整数为0，故⑤正确； 其中，正确的说法有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的概念是解题的关键． 3．若|x﹣2|＝2﹣x，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2 【分析】根据|x﹣2|＝2﹣x，可得x﹣2≤0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵|x﹣2|＝2﹣x， ∴x﹣2≤0， 解得：x≤2． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和绝对值的知识，解答本题的关键是根据绝对值的性质得出x﹣2≤0． 4．下列说法中正确的个数是（　　） （1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个非正数的绝对值是它的相反数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；（4）一个非正数的绝对值是它本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．两个负数比较，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大．所以前三种说法都正确．第四种说法是错误的． 【解答】解：（1）一个正数的绝对值是它本身，正确； （2）一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，而0的相反数也是0，所以一个非正数的绝对值是它的相反数，正确； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小，正确； （4）一个负数的绝对值是它的相反数，不是它本身，所以一个非正数的绝对值是它本身，错误． 说法正确的共3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查绝对值的意义及两个负数大小比较的方法．注意非正数指负数或0． 二．填空题（共4小题） 5．某食品包装袋上标有“净含量385±5”（单位：克），这包食品的合格净含量范围是 　380～390克　 ． 【分析】根据题意求出最小值和最大值即可． 【解答】解：由题意得净含量不低于（385﹣5）克，不高于（385+5）克， 故答案为：380～390克． 【点评】本题主要考查正负数的应用，有理数的加减法，能够熟练算出最小值及最大值是解题关键． 6．比较大小：|3.14|　＜　 π，　＜　 ，　＞　 ． 【分析】分别利用估计无理数的方法以及实数比较大小的方法分别求出即可． 【解答】解：|3.14|＜π， ∵1＜＜2， ∴＜， ∵|﹣|＝，|﹣|＝， ∴＜， ∴＞． 故答案为：＜，＜，＞． 【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数比较大小的法则是解题关键． 7．（1）的倒数的绝对值是 　2021，　 ； （2）绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是 　﹣7　 ． 【分析】（1）根据倒数和绝对值的定义解答即可； （2）根据绝对值，整数的定义以及有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：（1）的倒数为﹣2021，其绝对值为2021； 故答案为：2021； （2）绝对值大于2且小于5的所有负整数有：﹣3、﹣4，其和为﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了倒数，绝对值，有理数大小比较以及有理数的加法，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 8．以下说法： ①﹣a一定是一个负数； ②正整数、负整数统称为整数； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； ④绝对值等于本身的是正数； ⑤若m满足|m|+m＝0，则m≤0； ⑥若两个非零有理数a，b满足，则，其中正确的有　③⑤　 ．（填序号） 【分析】根据绝对值、有理数的定义和性质逐项判断即可得到答案． 【解答】解：①a不一定是一个负数，当a为负数时，﹣a为正数；当a＝0时，a＝0，则﹣a不是负数，故①错误，不符合题意； ②整数包括正整数、负整数和零，故②错误，不符合题意； ③绝对值表示数轴上点到原点的距离，绝对值越大，距离越远，故③正确，符合题意； ④绝对值等于本身的数包括正数和零，故④错误，不符合题意； ⑤由|m|+m＝0得|m|＝﹣m，根据绝对值定义得m≤0，故⑤正确，符合题意； ⑥由知a和b符号相反，则ab＜0，故，故⑥错误． 故答案为：③⑤． 【点评】本题主要考查绝对值、有理数、数轴等概念，熟记相关定义是解决问题的关键． 三．解答题（共10小题） 9．把下列各数填在相应的括号内： ﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，，0，，0.563 正数集合{ 　2.3，，0.563　 …}； 负数集合{ 　﹣19，﹣12，﹣0.92，　 …}； 负分数集合{ 　﹣0.92，　 …}； 非正整数集合{ 　﹣19，﹣12，0　 …}． 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【解答】解：正数集合{2.3，，0.563，…}； 负数集合{﹣19，﹣12，﹣0.92，，…}； 负分数集合{﹣0.92，，…}； 非正整数集合：{﹣19，﹣12，0，…}． 故答案为：2.3，，0.563； ﹣19，﹣12，﹣0.92，； ﹣0.92，； ﹣19，﹣12，0． 【点评】本题考查了有理数以及正数和负数，掌握有理数的分类是解题的关键． 10．设a是绝对值大于1而小于5的所有整数的和，b是不大于2的非负整数的和，求a、b，以及b﹣a的相反数． 【分析】首先确定绝对值大于1而小于5的所有整数，不大于2的非负整数，然后可得a、b的值，最后计算出b﹣a，可得相反数． 【解答】解：∵绝对值大于1而小于5的所有整数是±2，±3，±4，和为0， ∴a＝0， ∵不大于2的非负整数是0，1，2 ∴b＝3， ∴b﹣a的相反数是﹣3． 【点评】此题主要考查了绝对值和相反数，关键是正确确定a、b的值． 11．写出符合下列条件的数： （1）最小的正整数； （2）大于﹣3且小于2的所有整数； （3）最大的负整数； （4）绝对值最小的有理数； （5）倒数是其本身的数； （6）绝对值大于2且小于5的所有负整数． 【分析】（1）根据正整数的意义，即可解答； （2）根据整数的意义，即可解答； （3）根据负整数的意义，即可解答； （4）根据倒数的意义，即可解答； （4）根据绝对值和负整数的意义，即可解答． 【解答】解：（1）最小的正整数：1； （2）大于﹣3且小于2的所有整数：﹣2，﹣1，0，1； （3）最大的负整数：﹣1； （4）绝对值最小的有理数：0； （5）倒数是其本身的数：±1； （6）绝对值大于2且小于5的所有负整数：﹣3，﹣4． 【点评】本题考查了有理数大小比较，绝对值，倒数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．计算下列各题： （1）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）+（+17）； （2）37.5+（+28）+[（﹣46）+（﹣25）]． 【分析】（1）减法转化为加法，再进一步计算可得； （2）利用加法的交换律和结合律计算可得． 【解答】解：（1）原式＝﹣51+12﹣7﹣11+36+17 ＝﹣69+65 ＝﹣4； （2）原式＝37.5+28﹣46.5﹣25 ＝﹣9+3 ＝﹣5． 【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则及运算律． 13．如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： （1）将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是 　﹣1　 ； （2）怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？请写出两种移动的方法． 【分析】（1）根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，进行计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出两种移动方法即可． 【解答】解：（1）将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是4﹣5＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动4个单位长度，点C向右移动4﹣（﹣2）＝6个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点B向左移动2个单位长度，点A向左移动6个单位长度； 综上：当点B向右移动4个单位长度，点C向右移动6个单位长度或，点B向左移动2个单位长度，点A向左移动6个单位长度时，三个点表示相同的数． 【点评】本题考查用数轴表示有理数，数轴上的动点问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 14．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为1km，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶4km到达A村，继续向西行驶1km到达B村，最后向东行驶9km到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为0.1升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求便民超市与学校之间的距离．[提示：﹣1到0之间的距离可以表示为0﹣（﹣1）＝1] 【分析】（1）根据题意标出点A、B、C的位置即可； （2）先求出该汽车从货物集散中心出发到达C村所行驶的路程，再乘以0.1即可得解； （3）由（1）知点B表示的数为﹣5，求出n＝﹣7，再分两种情况：①当便民超市在点C左侧时；②当便民超市在点C右侧时；分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得：点A、B、C的位置如图所示： （2）|﹣4|+|﹣1|+9＝14（km）， 14×0.1＝1.4（升）． 所以共耗油1.4升． （3）由（1）知点B表示的数为﹣5， 因为n位于点B向西2km处的位置， 所以n＝﹣5﹣2＝﹣7． ①当便民超市在点C左侧时，m＝4﹣3＝1， 所以便民超市与学校之间的距离为1﹣（﹣7）＝1+7＝8（km）． ②当便民超市在点C右侧时，m＝4+3＝7， 所以便民超市与学校之间的距离为7﹣（﹣7）＝7+7＝14（km）． 所以便民超市与学校之间的距离为8km或14km． 答：便民超市与学校之间的距离为8km或14km． 【点评】本题考查了数轴的相关知识点、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则数轴上数﹣2对应的点与数2对应的点重合． 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上﹣4对应的点与数0对应的点重合． （1）数轴上数3对应的点与数　﹣7　 对应的点重合； （2）若点A到原点的距离为5，且点A，B经折叠后重合，则点B表示的数为　﹣9或1　 ； （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2026，且点M，N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，求点M，N表示的数． 【分析】（1）根据题意得出折点表示的数为﹣2，据此可解决问题； （2）根据题意得出点A表示的数为5或﹣5，再结合折点表示的数为﹣2即可解决问题； （3）根据折点表示的数为﹣2进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为数轴上﹣4对应的点与数0对应的点重合， 则， 所以折点表示的数为﹣2， 则3﹣（﹣2）＝5，﹣2﹣5＝﹣7， 所以数轴上数3对应的点与数﹣7对应的点重合． 故答案为：﹣7； （2）因为点A到原点的距离为5， 所以点A表示的数为5或﹣5． 当点A表示的数为5时， 5﹣（﹣2）＝7，﹣2﹣7＝﹣9， 所以点B表示的数为﹣9； 当点A表示的数为﹣5时， ﹣2﹣（﹣5）＝3，﹣2+3＝1， 所以点B表示的数为1， 综上所述，点B表示的数为﹣9或1． 故答案为：﹣9或1； （3）因为数轴上M，N两点之间的距离为2026，点M，N经折叠后重合， 所以2026÷2＝1013． 又因为点M表示的数比点N表示的数大， 所以点M表示的数为：﹣2+1013＝1011，点N表示的数为：﹣2﹣1013＝﹣1015． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 16．如图，在数轴上有点A、B、C、D，请回答下列问题： （1）将点B向右移动5个单位长度到点E，移动后，4个点所表示的数哪一个最大？哪一个最小？请将移动后的4个点所表示的数按从大到小的顺序排列； （2）将点C向左移动7个单位长度到点F，这时点A所表示的数比点F所表示的数大多少？ （3）怎样移动A、B、C、D中的三个点，使4个点表示的数相同？ 【分析】（1）根据数轴可得：点A表示的数为﹣4，点B表示的数为﹣1，点C表示的数为1，点D表示的数为3，点E表示的数为4，将点B向右移动5个单位长度到点E，点E为4，移动后，点E所表示的数最大，点A最小，根据在数轴上右边的数大于左边的数，即可解答； （2）点F表示的数为﹣6，点A所表示的数比点F所表示的数大：﹣4﹣（﹣6）＝2； （3）将点A向右移动3个单位长度，将点C向左移动2个单位长度，将点D向左移动4个单位长度，则4个点表示的数为﹣1． 【解答】解：（1）由数轴可得：点A表示的数为﹣4，点B表示的数为﹣1，点C表示的数为1，点D表示的数为3，点E表示的数为4，将点B向右移动5个单位长度到点E，点E为4，移动后，点E所表示的数最大，点A最小， 将移动后的4个点所表示的数按从大到小的顺序排列为：4＞3＞1＞﹣4． （2）点A所表示的数比点F所表示的数大：﹣4﹣（﹣6）＝2； （3）将点A向右移动3个单位长度，将点C向左移动2个单位长度，将点D向左移动4个单位长度，则4个点表示的数为﹣1． 【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是明确在数轴上右边的数大于左边的数． 17．当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离 不是瞬间便无处寻觅 而是尚未相遇 便注定无法相聚 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，例如|x﹣2|表示x到2的距离，而|a+1|＝|a﹣（﹣1）|则表示a到﹣1的距离； ②我们知道：|x|＝，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简|x+1|+|x﹣2|时，可先令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1和2分别为|x+1|+|x﹣2|的零点值），在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）x＜﹣1；（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2． 从而化简|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： （1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； （2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； （3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题： （1）若|x﹣1|＝2，则x＝　3或﹣1　 ． （2）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是 　﹣1≤x≤2　 ． （3）代数式|x+1|﹣2|x﹣1|有最大值，这个值是 　2　 ． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，表示在数轴上找一点x到﹣1和2的距离之和最小，据此可解； （3）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【解答】解：（1）由绝对值的几何意义知：|x﹣1|＝2表示在数轴上x表示的点到1的距离等于2， ∴x1＝1+2＝3，x2＝1﹣2＝﹣1， ∴x＝3或﹣1； 故答案为：3或﹣1； （2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时， 表示在数轴上找一点x，到﹣1和2的距离之和最小，显然这个点x在﹣1和2之间， ∴当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3． 故答案为：﹣1≤x≤2； （3）当x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1+2（x﹣1）＝x﹣3＜﹣4， 当﹣1≤x≤1时，原式＝x+1+2（x﹣1）＝3x﹣1，﹣4≤3x﹣1≤2， 当x＞1时，原式＝x+1﹣2（x﹣1）＝﹣x+3＜2， 则|x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键． 18．阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB| 当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b| 当A、B两点都不在原点时， （1）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b| （2）如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b| （3）如图④，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b| 综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b| 请用上面的知识解答下面的问题： （1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是　4　 ，数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是　2　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　4　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　|x﹣（﹣1）|＝|x+1|　 ，如果|AB|＝2，那么x为　1或﹣3　 ． （3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　﹣1≤x≤2　 ． 【分析】（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|，代入数值运用绝对值的定义即可求解； （3）由数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|可知，|x+1|+|x﹣2|表示点x到﹣1与2两点距离之和，根据两点之间线段最短即可得出x的取值范围． 【解答】解：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是|5﹣1|＝4， 数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是|﹣4﹣（﹣2）|＝2， 数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|＝4； （2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 如果|AB|＝2，那么|x+1|＝2，x+1＝±2，x＝1或﹣3； （3）根据绝对值的定义有：|x+1|+|x﹣2|可表示为点x到﹣1与2两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x在﹣1与2之间时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3． 故答案为（1）4，2，4；（2）|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1≤x≤2． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．同时考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/6 22:40:12；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $