一次函数与面积培优训练2025-2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册一次函数与面积培优训练 一．填空题（共1小题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），则△OAB的面积是 　 　 ． 二．解答题（共19小题） 2．已知直线y＝2x﹣4交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点D，且两直线交于点E．若S△ACE＝． （1）求点E的坐标； （2）求S△BDE． 3．如图，直线y＝kx+5经过点B（3，9）和A（﹣6，m）． （1）求k，m的值； （2）求△AOB的面积． 4．如图，直线l1过点A（0，3），点D（3，0），直线l2：y＝x+1与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B． （1）求直线l1的解析式和点B的坐标； （2）求△ABC的面积． 5．已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，且与正比例函数y＝x的图象相交于点M 求：（1）求点M的坐标； （2）求出这两个函数的图象与y轴围成的△AOM的面积． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象l2分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l1与l2交于点C（2，4）． （1）求m的值及l1的解析式； （2）若点M是线段AB上一点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出点M的坐标． 7．如图，一次函数y1＝﹣x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y2＝﹣x图象交于点C（﹣2，n）． （1）求m和n的值； （2）求△OAC的面积； （3）问：在y轴上，是否存在一点P，使得S△BCP＝S△OAC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点C（﹣6，a），与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求点C的坐标及一次函数的表达式； （2）求△AOC的面积； （3）H点为直线AB上一点，若△OBH面积为△AOC面积的一半，求H点坐标． 9．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线m与直线n交于点G（a，3）． （1）求直线n的函数表达式； （2）连接OG，求△ODG的面积； （3）若点E在直线m上，且使得S△EDG＝S△ODG，求点E的坐标． 10．如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C． （1）求k，m的值； （2）求△AOB的面积； （3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B，∠CBO＝45°． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标； （3）已知D为AC的中点，点P是x轴上一点，当△BDP是等腰三角形时，求出点P的坐标． 12．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的函数关系式； （2）求△OAB的面积； （3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于B，D两点，直线与x轴交于C，直线l1与直线l2交于点A（a，3）． （1）求点A的坐标及直线l2的表达式． （2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标． （3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1：直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，OA＝OB，点C（x，y）是直线y＝kx+6上与A、B不重合的动点． （1）求点A的坐标和直线AB的解析式； （2）如图2，当点C运动到某一位置时，S△BOC＝，求此时点C的坐标； （3）如图3，当OC⊥AB于点C，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OCP全等，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b与直线OA相交于点A（3，1）． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）在直线AB上是否存在点M，使△OCM的面积是△OAC的面积的若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 16．在平面直角坐标系中，点A（m，0），B（n，﹣m）且m，n满足|m﹣3|+（n+1）2＝0，AB＝5． （1）直接写出m，n的值； （2）求三角形AOB的面积； （3）点P以每秒3个单位的速度从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A和点B重合），同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接OP、BQ，是否存在某一时刻t，使三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y＝2x交于点C（a，4）． （1）求点C的坐标及直线AB的解析式； （2）若D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的，求点D的坐标； （3）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝2x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标． 18．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝x+b经过点（﹣2，0）．点P在直线y＝x+b上，横坐标为m；点M的坐标为（2﹣m，m﹣1），当点P和点M的横坐标不相同时，以PM为对角线构造矩形PQMN，其中PQ⊥y轴． （1）求该直线的函数表达式； （2）证明：矩形PQMN的边PN的长恒为3； （3）当矩形PQMN为正方形时，求点P的坐标； （4）当直线y＝x+b将矩形PQMN的面积分成1：3两部分时，直接写出m的值． 19．在平面直角坐标系中，已知直线AB：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）分别与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为A（2，0），B（0，4）时，求k，b的值； （2）若直线CD平行于（1）中的直线AB，且分别与x，y的正半轴相交于点C，D，已知四边形ACDB的面积为12，求直线CD的函数表达式； （3）已知P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为8，求直线AB的函数表达式． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标（0，2），三角形ABO的面积是4． （1）求点B的坐标； （2）点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标（0，m），连接BC，点E是x轴正半轴上一点，且OE＝2AC，连接AE． ①如图2，若三角形ABE的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段BO上一点（点F与点B，点O不重合），连接AF，CF，当四边形ACBF的面积与三角形AFE的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形ACF的面积，并说明理由． 北师大版八年级上册一次函数与面积培优训练答案 参考答案与试题解析 一．填空题（共1小题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），则△OAB的面积是 　5　 ． 【分析】将点B的坐标代入一次函数y＝﹣x+b中即可求出b的值，然后由两解析式组成的方程组求得A的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】解：一次函数y＝﹣x+b的图象过点B（5，0）， ∴﹣+b＝0， ∴b＝， ∴一次函数为y＝﹣x+， 由方程组， 解得：， ∴A的坐标是（1，2）． ∴△AOB的面积：×5×2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 二．解答题（共19小题） 2．已知直线y＝2x﹣4交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点D，且两直线交于点E．若S△ACE＝． （1）求点E的坐标； （2）求S△BDE． 【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可得点E的坐标； （2）先根据函数解析式求得点B、D的坐标，即可得线段BD的长，再根据三角形面积公式计算可得S△BDE． 【解答】解：（1）解方程组，得， ∴E（，﹣）； （2）将x＝0代入y＝2x﹣4，解得：y＝﹣4， ∴B（0，﹣4）， 将x＝0代入y＝﹣3x+3，解得：y＝3， ∴D（0，3）， ∴BD＝3﹣（﹣4）＝7， ∴S△BDE＝×7×＝． 【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了三角形的面积． 3．如图，直线y＝kx+5经过点B（3，9）和A（﹣6，m）． （1）求k，m的值； （2）求△AOB的面积． 【分析】（1）把点B（3，9）代入y＝kx+5，得到关于k的一元一次方程，解之即可得到k的值，即可得到直线AB的解析式，把A（﹣6，m）代入直线AB的解析式，得到关于m的一元一次方程，解之即可得到m的值， （2）设直线AB与x轴交于点C，△AOB被x轴分成△AOC和△BOC，分别计算△AOC和△BOC的面积，即可得到答案． 【解答】解：（1）把点B（3，9）代入y＝kx+5得： 3k+5＝9， 解得：k＝， 即直线的解析式为：y＝x+5， 把点A（﹣6，m）代入y＝x+5得： m＝×（﹣6）+5＝﹣8+5＝﹣3， 即k的值为，m的值为﹣3， （2）设直线AB与x轴交于点C，如图所示： 把y＝0代入y＝x+5得： x+5＝0， x＝﹣， 即点C（﹣，0）， S△OBC＝×9＝， S△OAC＝×3＝， S△AOB＝S△OBC+S△OAC＝+＝， 即△AOB的面积为． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握待定系数法和直线和直角坐标系交点的坐标特征是解题的关键． 4．如图，直线l1过点A（0，3），点D（3，0），直线l2：y＝x+1与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B． （1）求直线l1的解析式和点B的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法先求出直线l1的解析式为y＝﹣x+3；然后根据两直线相交的问题，通过解方程组可得到B点坐标； （2）先求出C点坐标，然后利用S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD进行计算． 【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b， 把A（0，3），点D（3，0）分别代入得，解得， 所以直线l1的解析式为y＝﹣x+3； 解方程组得， 所以B点坐标为（，）； （2）当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣2，则C（﹣2，0）， 所以S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD＝×（3+2）×3﹣×（3+2）×＝． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 5．已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，且与正比例函数y＝x的图象相交于点M 求：（1）求点M的坐标； （2）求出这两个函数的图象与y轴围成的△AOM的面积． 【分析】（1）联立两个直线解析式，解方程组即可得出结论； （2）先求出点A的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意知，， 解得，， ∴点M的坐标为（4，2）； （2）令x＝0，则y＝﹣2， ∴OA＝2， ∴S△AOM＝OA×|xM|＝×2×4＝4 【点评】此题主要考查了直线交点坐标的求法，三角形的面积公式，求出点M的坐标是解本题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象l2分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l1与l2交于点C（2，4）． （1）求m的值及l1的解析式； （2）若点M是线段AB上一点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出点M的坐标． 【分析】（1）将点C坐标代入一次函数y＝﹣x+m可得m的值，设l1的表达式为：y＝nx，由点C（2，4），即可求解； （2）设M（a，﹣a+5）（0≤a＜5），根据S△AOM＝2S△BOC，即可求解． 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+m的图象l2与l1交于点C（2，4）， 将点C坐标代入y＝﹣x+m得：4＝﹣×2+m，解得：m＝5， 设l1的表达式为：y＝nx， 将点C（2，4）代入上式得：4＝2n，解得：n＝2， 故：l1的表达式为：y＝2x； （2）∵m＝5， ∴图象l2为y＝﹣x+5， ∴A（10，0），B（0，5）， ∵C（2，4）， ∴S△BOC＝×5×2＝5， 设M（a，﹣a+5）（0≤a＜10），由题意可知S△AOM＝2S△BOC＝10， ∴S△AOM＝×10×|﹣a+5|＝10，解得：a＝6或14（舍去）， ∴点M的坐标为（6，2）． 【点评】本题是两直线相交或平行问题，考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等．解决问题的关键是利用图象求解． 7．如图，一次函数y1＝﹣x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y2＝﹣x图象交于点C（﹣2，n）． （1）求m和n的值； （2）求△OAC的面积； （3）问：在y轴上，是否存在一点P，使得S△BCP＝S△OAC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接利用待定系数法可先确定n的值，然后再把C的坐标代入一次函数y＝﹣x+m可得m的值； （2）首先确定A点坐标，进而可得AO的长，再集合C点坐标可得△OAC的面积； （3）根据题意可得S△BCP＝PB•|xC|＝S△OAC＝6，解出PB的值，进而可得P点的坐标． 【解答】解：（1）∵点C（﹣2，n）在正比例函数y2＝﹣x图象上， ∴n＝﹣×（﹣2）＝3， ∴点C的坐标为（﹣2，3）． ∵点C（﹣2，3）在一次函数y＝﹣x+m的图象上， ∴3＝﹣（﹣2）+m，解得：m＝2， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+2． ∴m的值为2，n的值为3． （2）当y＝0时，0＝﹣x+2，解得x＝4， ∴点a的坐标为（4，0）， ∴S△OAC＝OA•yC＝×4×3＝6． （3）存在． 当x＝0时，y＝﹣x+2＝2， ∴B（0，2）， ∵S△BCP＝PB•|xC|＝S△OAC＝6， ∴PB•2＝6， ∴PB＝6， ∴点P的坐标为（0，8）或（0，﹣4）． 【点评】此题主要考查了两直线相交问题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 8．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点C（﹣6，a），与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求点C的坐标及一次函数的表达式； （2）求△AOC的面积； （3）H点为直线AB上一点，若△OBH面积为△AOC面积的一半，求H点坐标． 【分析】（1）结合点C在上，即可确定点C的坐标；再确定点B坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）首先确定点A坐标，进而确定AO＝3，然后计算△AOC的面积； （3）结合题意确定点H的横坐标，即可获得答案． 【解答】解：（1）∵C（﹣6，a）在上， ∴， ∴C（﹣6，4）， ∵OB＝4， ∴B（0，﹣4）， 设直线BC解析式为y＝kx+b， 将点B（0，﹣4），C（﹣6，4）代入， 得，解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）对于一次函数， 令y＝0，可得，解得x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， ∴AO＝3， ∴； （3）∵△OBH面积为△AOC面积的一半 ∴， ∵B（0，﹣4）， ∴OB＝4， ∴， 解得， ∴或， 又∵H点在直线AB上， ∴，． 【点评】本题主要考查了一次函数综合应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线m与直线n交于点G（a，3）． （1）求直线n的函数表达式； （2）连接OG，求△ODG的面积； （3）若点E在直线m上，且使得S△EDG＝S△ODG，求点E的坐标． 【分析】（1）根据专项m的解析式求得G点的坐标，然后利用待定系数法求得直线n的解析式； （2）利用三角形面积公式求得即可； （3）根据平行线间的距离相等，E点到直线n的距离等于O点到直线n的距离，求得过E点平行与直线n的直线解析式，然后与直线m联立成方程组，解方程组即可求得E的坐标． 【解答】解：（1）∵直线m与直线n交于点G（a，3）， ∴3＝a+， ∴a＝1， ∴G点坐标为（1，3）， 把G（1，3）代入直线n：y＝﹣x+b中，得3＝﹣， ∴b＝， ∴直线n的函数表达式为y＝﹣x+； （2）令x＝0，则y＝﹣x+＝， ∴D点可求得为（0，）， ∴OD＝， ∴S△ODG＝××1＝； （3）∵S△EDG＝S△ODG， ∴E点到直线n的距离等于O点到直线n的距离， ∴直线OE为：y＝﹣， 解，得， ∴E点的坐标为（﹣，）， 当E点在直线n的上方时，则过点E与直线n平行的直线为y＝﹣+7， 解，得， ∴此时E点的坐标为（，）． 故点E的坐标为（﹣，）或（，）． 【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题关键是利用待定系数法求得函数的解析式． 10．如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C． （1）求k，m的值； （2）求△AOB的面积； （3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标． 【分析】（1）将点A，点B的坐标代入直线解析式，即可得到k，m的值； （2）利用割补法进行计算，先求得点C的坐标，再根据S△AOB＝S△BOC+S△AOC进行计算即可； （3）分四种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质，即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）将B（﹣1，4）代入y＝kx+3，可得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3． 将A（5，m）代入y＝﹣x+3，可得m＝﹣2； （2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3， ∴C（3，0），即CO＝3， ∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝×3×4+×3×2＝9； （3）①如图所示，当CB＝CP1＝4时，OP1＝﹣3， ∴P1（3﹣，0）； ②如图所示，当CB＝CP2＝4时，OP2＝+3， ∴P2（3+，0）； ③如图所示，当CB＝BP3时，CP3＝2CD＝8， ∴OP3＝8﹣3＝5， ∴P3（﹣5，0）； ④如图所示，当BP4＝CP4时，△BCP4是等腰直角三角形， ∴CP4＝BP4＝4， ∴OP4＝4﹣3＝1， ∴P4（﹣1，0）． 综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（3﹣，0），（3+，0），（﹣5，0），（﹣1，0）． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用分类思想求解． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B，∠CBO＝45°． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标； （3）已知D为AC的中点，点P是x轴上一点，当△BDP是等腰三角形时，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合∠CBO＝45°得点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出S△ABC＝24，设G（m，﹣m+6），分两种情况讨论：①S△ABG：S△ACG＝1：2；②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点坐标； （3）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）由y＝3x+6得，A（﹣2，0），C（0，6）， ∵∠CBO＝45°， ∴OB＝OC＝6， ∴B（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6； （2）∵A（﹣2，0），C（0，6），B（6，0）， ∴AB＝8， ∴S△ABC＝×8×6＝24， 设G（m，﹣m+6）（0＜m＜6）， ①当S△ABG：S△ACG＝1：2时， S△ABG＝S△ABC＝8， ∴×8×（﹣m+6）＝8， ∴m＝4， ∴G（4，2）； ②当S△ABG：S△ACG＝2：1时， S△ABG＝S△ABC＝16， ∴×8×（﹣m+6）＝16， ∴m＝2， ∴G（2，4）； 综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）； （3）∵D为AC中点，A（﹣2，0），C（0，6）， ∴D（﹣1，3）， ∵B（6，0）， ∴BD＝＝． 若△BDP是等腰三角形，可分三种情况： ①当PD＝BD时，过点D作DH⊥x轴于H， ∴H（﹣1，0）， ∵DH⊥x轴，PD＝BD， ∴PH＝BH＝7， ∴点P的坐标为（﹣8，0）； ②当BP＝BD时， ∵BD＝，B（6，0）， ∴点P的坐标为（6﹣，0）或（6+，0）； ③当BP＝DP时，设P（p，0）， ∴BP2＝DP2， ∴（6﹣p）2＝32+（p+1）2， 解得：p＝， ∴点P的坐标为（，0）， 综上所述：点P的坐标为（﹣8，0）或（6﹣，0）或（6+，0）或（，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键． 12．如图在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的函数关系式； （2）求△OAB的面积； （3）是否存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求利用三角形的面积公式即可求解； （3）当△OMC的面积与△OAB的面积相等时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：． 则直线的解析式是：y＝﹣x+6； （2）∵y＝﹣x+6，当y＝0时，x＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6， ∴△OAB的面积＝×6×2＝6； （3）存在点M，使△OMC的面积与△OAB的面积相等，理由如下： 如图所示： 设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2， 解得：m＝． 则直线OA的解析式是：y＝x， ∵点C（0，6）， ∴OC＝6， ∴OB＝OC＝6， ∵△OMC的面积与△OAB的面积相等， ∴M到y轴的距离＝点A的纵坐标2， ∴点M的横坐标为2或﹣2； 当M的横坐标为2时， 在y＝x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）； 在y＝﹣x+6中，当x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）． 则M的坐标为（2，1）或（2，4）． 当M的横坐标为﹣2时， 在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）． 综上所述：点M的坐标为（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质以及三角形面积求法等知识；熟练掌握一次函数解析式的求法，利用M点横坐标为±2分别求出纵坐标是解题关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于B，D两点，直线与x轴交于C，直线l1与直线l2交于点A（a，3）． （1）求点A的坐标及直线l2的表达式． （2）若点E在直线l2上，且△ADE的面积为，求点E的坐标． （3）在x轴上是否存在点P，使得∠ACB＝2∠APC？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当y＝3时，，得到点A（1，3），再由待定系数法即可求解； （2）当点E在点A右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点E在y轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点C的坐标，再在x轴上找点P，使得∠ACB＝2∠APC，过点A作AH⊥x轴，再进行分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得：x＝1＝a，即点A（1，3）， 将点A的坐标代入函数表达式得：，则， 则直线l2的表达式为：； （2）∵直线， ∴点， 设直线l2交y轴于点T， 又∵直线， ∴点， ∴， ①当点E在点A右侧时，如图： ∴， ∴， 解得：xE＝3， ∴， ∴点； ②当点E在点A左侧时，如图， ，点E在y轴的左边， ∵， ∴， 解得：xE＝﹣1， ∴点， 综上所述，点E的坐标为：或； （3）存在，理由： 直线l2的表达式为：，令y＝0，则， 解得：x＝﹣3， ∴点C（﹣3，0）， 如图，在x轴上找点P1，使得∠ACB＝2∠APC，过点A作AH⊥x轴， ∴， ∵∠ACB＝2∠APC，∠ACB＝∠AP1C+∠CAP1， ∴∠AP1C＝∠CAP1， ∴CA＝P1C， 又∵CA＝5， ∴P1C＝5， ∴点P1（﹣8，0）， 作点P1关于AH的对称点P2，则点P2也符合要求， ∵点P1（﹣8，0），H（1，0）， ∴点P2（10，0）， 综上，P（﹣8，0）或（10，0）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 14．如图1：直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，OA＝OB，点C（x，y）是直线y＝kx+6上与A、B不重合的动点． （1）求点A的坐标和直线AB的解析式； （2）如图2，当点C运动到某一位置时，S△BOC＝，求此时点C的坐标； （3）如图3，当OC⊥AB于点C，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OCP全等，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点B坐标，再根据OA＝OB求出点A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可； （2）先求出S△AOB＝24，再根据面积关系得到S△BOC＝6，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程，求出m值，继而得到点C的坐标； （3）根据条件可得OC＝，分两种情况全等①当△OCP≌△PQO时和②当△OCP≌△OQP时，画出图形，分别求出点Q坐标即可． 【解答】解：（1）在y＝kx+6中，当x＝0时，y＝6， ∴B（0，6），即OB＝6， ∵OA＝OB， ∴OA＝＝8， ∴A（8，0）， 将点A坐标代入y＝kx+6得：0＝8k+6， 解得k＝﹣， ∴直线AB的解析式为y＝﹣； （2）由（1）可知：OA＝8，OB＝6， ∴S△AOB＝＝， ∵S△BOC＝， ∴S△BOC＝＝6， 设点C的横坐标为m，则△BOC上边OB上的高为|m|， ∴， ∴m＝±2， ∵点C在直线AB上， ∴当x＝2时，y＝﹣＝， 当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+6＝， ∴C（2，）或（﹣2，）； （3）存在满足条件的点Q， ∵OC⊥AB，AB＝＝＝10，OC⊥AB， ∴OC＝＝＝， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与△OCP全等时，斜边OP为对应边，∠OQP＝90°， ①当△OCP≌△PQO时， ∴PQ＝OC＝，即点P的横坐标为﹣或，如图： ∴点P的纵坐标为y＝﹣）+6＝或y＝﹣＝， ∴点Q的坐标为（0，）或（0，）， ②当△OCP≌△OQP时， OQ＝OC＝，即点P、Q的纵坐标为﹣或，如图所示： ∴Q（0，﹣）或（0，）， 综上分析，点Q的坐标为（0，）或（0，）或Q（0，﹣）或（0，）． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定是关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b与直线OA相交于点A（3，1）． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）在直线AB上是否存在点M，使△OCM的面积是△OAC的面积的若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）将点A坐标代入求解即可； （2）求出点C坐标，进而利用面积公式得解即可； （3）由题易得S△OCM＝S△OAC＝2，进而利用面积公式得解即可． 【解答】解：（1）将A（3，1）代入y＝﹣x+b得，1＝﹣3+b， 解得b＝4， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4； （2）令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∴S△OAC＝OC•xA＝＝6； （3）由（2）知S△OAC＝6， ∴S△OCM＝S△OAC＝2， ∵S△OCM＝|xM|＝2， 即＝2， 解得xM＝±1， 当xM＝1时，M（1，3）， 当xM＝﹣1时，M（﹣1，5）， 综上，点M得坐标为（1，3）或（﹣1，5）． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质、坐标与图形、一次函数面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，点A（m，0），B（n，﹣m）且m，n满足|m﹣3|+（n+1）2＝0，AB＝5． （1）直接写出m，n的值； （2）求三角形AOB的面积； （3）点P以每秒3个单位的速度从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A和点B重合），同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴运动，连接OP、BQ，是否存在某一时刻t，使三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性可得答案； （2）结合图形，根据点A，B的坐标可得答案； （3）过点O作OF⊥AB于点F，根据三角形面积公式求出OF的长，分点P在线段AB上和AB的延长线上两种情况，根据点P，点Q的速度用的代数式表示OQ，BP的长，由S△BOQ＝2S△BOP列出方程，求出t的值即可． 【解答】解：（1）∵|m﹣3|+（n+1）2＝0， ∴m﹣3＝0，n+1＝0， 解得m＝3，n＝﹣1； （2）过点B作BH⊥OA交x轴于点H， ∵m＝3，n＝﹣1， ∴A（3，0），B（﹣1，﹣3）， ∴OA＝3，BH＝3， ∴， ∴三角形AOB的面积为； （3）存在某一时刻t，使三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍，理由如下： 如图所示，过点O作OF⊥AB于点F， ∵，AB＝5， ∴×5•OF＝， 解得OF＝， 当点P在线段AB上， ∵点P的运动速度是3个单位长度，点Q的运动速度是2个单位长度， ∴OQ＝2t，BP＝5﹣3t． ∵点B（﹣1，﹣3）， ∴S△BOQ＝×3×2t＝3t，S△BOP＝BP•OF＝×（5﹣3t）×＝﹣t， ∵三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍， ∴3t＝2（﹣t）， 解得t＝， ∴OQ＝2t＝2×＝， ∴点Q的坐标是（﹣，0）； 如图，当点P在AB的延长线上时， ∵点P的运动速度是3个单位长度，点Q的运动速度是2个单位长度， ∴OQ＝2t，BP＝3t﹣5， ∴S△BOQ＝×3×2t＝3t，S△BOP＝BP•OF＝×（3t﹣5）×＝t﹣， ∵三角形BOQ的面积是三角形BOP的面积的2倍， ∴3t＝2（t﹣）， 解得t＝， ∴OQ＝2t＝2×＝ ∴点Q的坐标是（﹣，0）； 综上所述，t的值为，点Q的坐标是（﹣，0）或t的值为，点Q的坐标是（﹣，0）． 【点评】本题主要考查了绝对值结合完全平方公式的非负性，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一元一次方程的应用，解决此题的关键是运用分类讨论的思想进行求解． 17．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y＝2x交于点C（a，4）． （1）求点C的坐标及直线AB的解析式； （2）若D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的，求点D的坐标； （3）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝2x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标． 【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝2x的解析式即可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可； （2）先求得△AOC面积，进一步求得△OCD的面积，然后利用三角形面积公式求得OD，进而求得点D的坐标； （3）设点E的坐标为（m，0），根据点F、点G、点E在同一直线上，写出点F、点G的坐标，利用|DF|＝3，列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点C在直线y＝2x上， ∴2a＝4， 解得a＝2， ∴C（2，4）； 将A（6，0），C（2，4）代入直线y＝kx+b，得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6； （2）∵A（6，0），C（2，4）， ∴OA＝6， ∴S△AOC＝＝＝12， ∵△OCD的面积是△AOC面积的， ∴△OCD的面积是8， ∴S△OCD＝＝8，即， ∴OD＝8， ∴D点的坐标为（0，﹣8）或（0，8）； （3）根据题意设E点坐标为（m，0）， ∵点E、F、G三点在同一直线上，且点F在直线y＝2x上，点G在y＝﹣x+6上， ∴F（m，2m），G（m，﹣m+6）， 又∵|DF|＝3， ∴|2m﹣（﹣m+6）|＝3， 解得m＝3或m＝1， ∴E点的坐标为（3，0）或（1，0）． 【点评】本题是两条直线相交或平行问题，涉及一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，两点间距离等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝x+b经过点（﹣2，0）．点P在直线y＝x+b上，横坐标为m；点M的坐标为（2﹣m，m﹣1），当点P和点M的横坐标不相同时，以PM为对角线构造矩形PQMN，其中PQ⊥y轴． （1）求该直线的函数表达式； （2）证明：矩形PQMN的边PN的长恒为3； （3）当矩形PQMN为正方形时，求点P的坐标； （4）当直线y＝x+b将矩形PQMN的面积分成1：3两部分时，直接写出m的值． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意可得P（m，m+2），Q（2﹣m，m+2），M（2﹣m，m﹣1），N（m，m﹣1），即可求得PN＝3； （3）根据题意可知PN＝PQ＝3，则|m﹣2+m|＝3，解得m＝或m＝﹣，即可求P点坐标； （4）当QM的中点在直线y＝x+2上时，当MN的中点在直线y＝x+2上时，直线y＝x+2将矩形PQMN的面积分成1：3两部分． 【解答】（1）解：将点（﹣2，0）代入y＝x+b， ∴﹣2+b＝0， 解得b＝2， ∴y＝x+2； （2）证明：∵四边形PQMN是矩形，PQ⊥y轴， ∴P（m，m+2），Q（2﹣m，m+2），M（2﹣m，m﹣1），N（m，m﹣1）， ∴PN＝m+2﹣m+1＝3； （3）∵矩形PQMN为正方形， ∴PN＝PQ＝3， ∴|m﹣2+m|＝3， 解得m＝或m＝﹣， ∴P（，）或（﹣，）； （4）当QM的中点在直线y＝x+2上时，2﹣m+2＝m+， 解得m＝； 当MN的中点在直线y＝x+2上时，1+2＝m﹣1， 解得m＝4； 综上所述：m＝4或时，直线y＝x+2将矩形PQMN的面积分成1：3两部分． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，正方形的性质是解题的关键． 19．在平面直角坐标系中，已知直线AB：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）分别与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为A（2，0），B（0，4）时，求k，b的值； （2）若直线CD平行于（1）中的直线AB，且分别与x，y的正半轴相交于点C，D，已知四边形ACDB的面积为12，求直线CD的函数表达式； （3）已知P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为8，求直线AB的函数表达式． 【分析】（1）把A（2，0），B（0，4）代入y＝kx+b得，，解方程组即可得到结论； （2）设直线CD的解析式为y＝﹣2x+a，求得直线CD与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，a），根据题意列方程即可得到结论； （3）设P点坐标为（x，y），得到2（x+y）＝8，于是得到结论． 【解答】解：（1）把A（2，0），B（0，4）代入y＝kx+b得，， 解得：； （2）由（1）知，k＝﹣2，b＝4， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+4， ∴设直线CD的解析式为y＝﹣2x+a， 则直线CD与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，a）， ∵四边形ACDB的面积为12， ∴×2×4﹣××a＝12或××a﹣×2×4＝12， 解得：a＝±2（不合题意舍去）或a＝±8， ∵a＞0， ∴a＝8， ∴直线CD的函数表达式为y＝﹣2x+8； （3）设P点坐标为（x，y）， ∵P点在第一象限， ∴2（x+y）＝8， ∴x+y＝4， 即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4． 【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标（0，2），三角形ABO的面积是4． （1）求点B的坐标； （2）点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标（0，m），连接BC，点E是x轴正半轴上一点，且OE＝2AC，连接AE． ①如图2，若三角形ABE的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段BO上一点（点F与点B，点O不重合），连接AF，CF，当四边形ACBF的面积与三角形AFE的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形ACF的面积，并说明理由． 【分析】（1）首先得到OA＝2，然后根据三角形ABO的面积是4得到OB＝4，即可求解； （2）①首先得到OC＝m，然后表示出BE＝OE+OB＝2m﹣4+4＝2m，然后根据三角形ABE的面积是8得到，即可求解； ②设F（t，0），则OF＝﹣t，EF＝﹣t+2m﹣4，然后根据题意得到S△CBO﹣S△AOF＝S△AFE，代入得到OF＝2，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵A点坐标 （0，2）， ∴OA＝2， ∵三角形ABO的面积是4， ∴， ∴OB＝4， ∴B（﹣4，0）； （2）①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标（0，m）， ∴OC＝m， ∴AC＝OC﹣AO＝m﹣2， ∴OE＝2AC＝2（m﹣2）＝2m﹣4， ∴BE＝OE+OB＝2m﹣4+4＝2m， ∵三角形ABE的面积是8， ∴，即， ∴m＝4； ②∵点F是线段BO上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设F（t，0）， ∴OF＝﹣t，EF＝﹣t+2m﹣4， ∵四边形ACBF的面积与三角形AFE的面积相等， ∴S△CBO﹣S△AOF＝S△AFE， ∴， ∴t＝﹣2， ∴﹣t＝2， ∴OF＝2， ∴． 【点评】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/6 22:27:55；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $