【单元压轴八04】 一次函数章末复习压轴培优50题（专项训练）2025-2026学年数学八年级上册【北师大版2024】

第四章 一次函数章末复习压轴培优50题 【压轴核心要点归纳】 一次函数概念与性质题 常见形式： o判断函数类型（例如，是否满足一次函数条件 ）。 o理解斜率和截距的含义（如根据函数式或图像分析k和b对函数行为的影响）。 o考察函数的单调性（如k>0时函数递增）。 压轴难点： o结合其它函数或其他非一次函数进行对比辨析（例如，“已知函数图像平行于某直线，求参数k”）。 函数图像分析题 常见形式： o求图像与坐标轴的交点（例如，x轴交点（-b/k, 0），y轴交点（0, b））。 o根据图像求函数表达式（如给出图像上的两点，代入方程）。 o分析图像平移（例如，“将图像向左平移2单位，新函数表达式是？”）。 压轴难点： o动态图像题（如结合几何图形，判断点是否在图像上或求面积）。 o多函数图像比较（如两个一次函数图像交点求解，或判断谁先到达某值）。 函数表达式求解题 常见形式： o直接求一次函数表达式（如给出两点坐标 和 ，利用公式 求解）。 o结合实际问题设定变量（如“设某量为x，建立一次函数关系”）。 o特殊形式转换（如点斜式、两点式）。 压轴难点： o含参方程求解（例如，“已知函数过点（2,3），且与另一函数平行，求k和b”）。 o综合多个条件（如函数值范围限制，或带绝对值的函数）。 实际应用题（建模题） 常见形式： o行程问题（如A、B两地距离，求速度和时间函数）。 o经济问题（如成本、收入函数求最值）。 o几何问题（如利用一次函数求直线围成图形的面积）。 压轴难点： o多变量综合建模（例如，“结合行程和函数图像，求最优路径或时间”）。 o最值问题（如最大利润或最小值，需结合函数性质求导分析）。 综合压轴题（跨知识点融合） 常见形式： o与方程组结合（如函数与二元一次方程组联立求交点）。 o与不等式结合（如函数值在某一范围内求变量范围）。 o动态问题（如移动点问题，函数图像随参数变化）。 压轴难点： o动态几何应用（如“点P在直线l上移动，求相关线段函数关系”）。 o开放探究题（如“设计一个函数模型解决实际问题，并解释合理性”）。 【备考策略】 理解优先：确保掌握一次函数的基本定义和k、b的几何意义。 图像辅助：画图帮助直观解题，尤其是交点、变化趋势。 代数转化：多用方程思想，如将几何条件转为函数关系。 应用建模：实际问题中，先明确变量，再建函数模型。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况， 当在同一直线上时，的值最大， 当时，，当时，，解得， ∴，，， ∴， 连接交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，即， 解得， ∴点P的坐标是，故选：C． 2．在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，将B、C两点坐标代入解析式确定k的边界点是解题关键．把B点和C点坐标分别代入中求出对应的值，即可确定k的取值范围． 【详解】解：当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得， 当时，直线是常数）与三角形的边有交点， 故选：A． 4．如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（    ）   A．11 B．9 C．12 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题中的函数图象的应用，勾股定理解三角形，合理分析图象及勾股定理的应用是解题关键． 作，由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即，当点P运动到点C时路程为11，即，当点P运动到点B时路程为14，即，再在中，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作， 由图2得，当点P运动到点D时路程为5，即， 当点P运动到点C时路程为11，即， 当点P运动到点B时路程为14，即， ，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ，， 在中，， ． 故选：D． 5．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 6．如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于，两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③当时，；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】此题主要考查一次函数的图像和性质，根据直线经过的象限即可判定①结论错误；求出点、坐标，即可求出的面积，可判定②结论正确；直接观察图像，即可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误. 【详解】∵直线经过二，一，四象限， ∴ ∴，①结论错误； 当时，，当时，； 点， ∴， ，②结论正确； 直接观察图像，当时，，③结论正确； 将，代入直线解析式，得 ∴，④结论错误； 正确结论的序号为：②③ 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，已知点是第二象限一动点，另一点的坐标为，则以下结论： ①点在直线上； ②若设的面积为，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤过作轴于点，轴于点，矩形的周长始终为． 其中正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：当时，，故①正确； 当时，点， 的面积为 ，故②正确； 的最小值为，故③正确 点在上， 如图，将原点关于直线对称得点， 则的最小值的距离为， 又，的周长最小值为 ，故④正确； 过作轴于点，轴于点， ，， 矩形的周长，故⑤正确， 故选：D． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故选：D． 9．在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 【答案】B 【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯形的面积判断出当时对应的速度，即可判断出选项是否正确；然后求出与之间的函数关系式，取和22求得对应的时间，即可判断和是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项是否正确． 【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动路程，某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速， 图中函数图象与横轴、纵轴、直线围成的梯形的面积为500． 设时对应的车速为， ． 解得：． ∴该车进入隧道时的速度为. 故A选项正确，不符合题意； 设v与t的函数关系式为：． 解得： ． ． 当时，． 解得：． 即． 故B错误，符合题意； 当时，． 解得： 即． 故C正确，不符合题意； 到时间段内该车的平均速度为：. 故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到时间段的运动路程． 10．如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题和坐标系．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即， 解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段， ， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 11．已知一次函数的图象经过点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的图象经过点和，可知得，由，可得，将点代入函数表达式得，由且，可得且，即可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 将点代入函数表达式得，变形得， ∵且， ∴， 综上，且， 故选：D． 12．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A． B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理等知识点，结合图象求出与的长度是解题的关键． 根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为5，即， 由于M是曲线部分的最低点，此时最小，即，， ∴由勾股定理可知，此时， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故选：C． 13．已知函数（a为常数），当时，y有最小值为4，则a的值为（   ） A． 或 B． 或 C． 或 D．或 【答案】C 【详解】解：分三种情况：①当时， 当时，，y随x的增大而增大， 当时，， 则， 解得； ②当时， 当时，，y随x的增大而减小， 即当时，， 则， 解得； 当时， 当时，函数在时取最小值0，不合题意； 综上可知，或， 故选：C． 14．已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【详解】解：解：关于的方程的解可以看作函数与的交点， 观察图象可知， 若，则直线与函数图象的左分支平行， 若，直线与图象有且只在右分支有一个交点，则方程有且只有一个正根； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象有两个交点，则方程有两个解； 若，则直线与图象在左分支必有交点，则方程有负根； 综上所述，当时，关于x的方程有且只有一个正根， 故选：A． 15．甲、乙两车分别从地、地同时向地匀速行驶（在两地之间）．甲追上乙之后，乙立即以原来速度的倍向地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达地后立即以提高后的速度返回地，甲车到达地后立刻以原速返回地，两车距地的距离之和（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是（　　）小时 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的应用，由函数图象可得两车的速度差为千米/小时，设乙车原速度为千米/小时，则乙车后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时，由图象可得，解方程得到乙车原速度为千米/小时，后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时，即可求出乙车返回与甲相遇时间为时，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，之间的距离为千米， 两车的速度差为：千米/小时， 设乙车原速度为千米/小时，则乙车后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 即乙车原速度为千米/小时，后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时， 乙车到地时，甲车距地的距离为：千米， 乙车返回与甲相遇时间为：时， ∴甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是小时， 故选：． 16．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当时，； 当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为：，当时，； 当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为，即当时，； 通过选项对比，只有B选项符合要求， 故选：B． 17．在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（      ） A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对 【答案】D 【分析】本题考查了坐标的平移变化、一次函数表达式的求解以及正比例函数比例系数的求解，其中找出符合规律的所有点并且理解直线两侧点个数相等的意义是解题的关键． 甲：根据题中信息，把横纵相加再除以3，所得的余数如果是为1时，向上平移；如果余数为2时，向左平移，先从坐标开始算，依次计算即可； 乙：由前面计算得出A，，，，的坐标，取其中两个点用待定系数法求出函数表达式，最后把剩下的点代入表达式验证即可判断是否在同一条直线上； 丙：根据规则满足条件的总共有13个坐标，由此得出直线两侧点个数相等经过的坐标，再把坐标代入即可求出k，从而得出k的范围． 【详解】解：甲：点横纵坐标之后为5， ， 第一次向左平移1个单位，即， 横纵坐标之和为4， ，即第二次向上平移1个单位， ，而的横纵坐标之后为5， ，即第三次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第四次向上平移1个单位，即， 横纵坐标之后为5， 第五次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第六次向上平移1个单位，即， 的横纵坐标之和为5， 第七次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第八次向上平移1个单位，即， 甲同学说法正确，符合题意； 乙：由前面计算得出，，，，， 设直线表达式为，把，代入得， 解得：， 直线表达式为， 经检验，，坐标都在直线上， 乙同学说法正确，符合题意； 丙：按照平移规则依次计算可得点A，，，，共有13个点， 当直线两侧点的个数相等时，直线过点和之间， 设直线过点时，即，解得， 设直线过点时，即，解得， 当时，直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等， 丙同学说法错误，不符合题意， 故选：D． 18．如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 19．甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛，早上9：00同时从起点出发．甲队在上午11：30分到达终点，乙队一直匀速前进．比赛时甲、乙两队所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．甲队先达到终点 B．上午10：30分乙队追上甲队 C．甲、乙两队在上午10：00时相距最远 D．上午11：10乙队到达终点 【答案】C 【详解】解：对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x， 到达终点用时35÷16＝时＝2时11分15秒，时间为11时11分15秒， ∵甲队在上午11：30分到达终点， ∴乙队先到达终点． 故A、D错误，不符合题意； 对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx+b， 将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得： ， 解得： ， 所以y＝10x+10 ∴解方程组 得：x＝． 即出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队， 故B错误，不符合题意； 1小时之内，两队相距最远距离是4千米； 乙队追上甲队后，两队的距离是16x﹣（10x+10）＝6x﹣10，当x为最大， 即x＝时，6x﹣10最大， 此时最大距离为6×﹣10＝3.125＜4， 所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远， 故C正确，符合题意． 故选：C． 20．如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x 和 y＝﹣x 的图象分别为直线 l1， l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过 A1点作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交  l1于点 A3，过点  A3作 y 轴的垂线交  l2于点 A4，… 依次进行下去，则点 A2021的坐标为（ ） A．（1012，1016） B．（-1012，1014） C．（，） D．（，） 【答案】C 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 故选C． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”是解题的关键． 二、填空题【共20小题】 21．如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：直线与轴、轴交于，两点， 令，则有， 令，则有，解得， ，， 即，， ， ， ，， 如图所示，连接， 点为线段的中点， ，， ，为等边三角形， 过点作并延长与轴的交点即为所求的点，作点关于轴的对称点，连接， 则有，， 为等边三角形，， ， ，为线段的垂直平分线， ，， ， ， 当、、三点共线时，值最小，最小值即为的长， 轴，轴， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 22．已知，且，则y的最大值比最小值多 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，绝对值的化简， 根据去绝对值符号，得到一次函数，求得最大值和最小值，即可解答． 【详解】解：当时， ， ， 当，取最小值为， 当，取最大值为， 当时， ， ， 当，取最小值为， 当，取最大值为， 综上，y的最大值为，y的最小值为 则y的最大值比最小值多， 故答案为：． 23．如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，，连接，，如图所示： ∴，故的最小值即为的长度， 点在轴上， 点坐标为， 直线与两坐标轴分别交于，两点， 令，则， 点坐标为， 令，则，那么， 点坐标为， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 24．在平面直角坐标系中，已知一次函数（是常数且）． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一个定点，则这个点的坐标是 ； （2）该平面直角坐标系中有一条线段，其中，．若这个一次函数的图象与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 或． 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 把整理，可得：，因为当时，，与的值无关，所以无论取何非零的值，该函数的图象总经过定点； 分别求出一次函数过点、时的值分别为和，可知当或时一次函数的图象与线段没有交点． 【详解】解：把整理， 可得：， 当时，， 无论取何非零的值，该函数的图象总经过定点； 解：把点代入， 可得：， 解得：， 把点代入， 可得：， 解得：， 当一次函数的图象与线段没有交点时，且， 即或． 25．正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是 ； （2）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形．由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，总结出规律，即可得解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． 26．如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求得直线的解析式为；直线的解析式为；直线的解析式为；得到规律，依规律求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， 同上可得直线的解析式为； 同理，直线的解析式为； …… 以此类推，直线的解析式为， 故答案为：． 27．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 万人． 【答案】4 【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获取准确信息． 根据题意和图象求出两地每天接种的人数，然后即可求解． 【详解】解：乙地每天接种的人数为（万人）， ∴， ∴甲地后期每天接种的人数为（万人）， ∴甲地未接种疫苗的人数为（万人）， 故答案为：4． 28．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 29．在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②当代入，得到，当代入，得到，如图所示： 所以一次函数的图象与线段没有公共点，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点； 故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点． 故④错误； 故答案为：①③； 30．在平面直角坐标系中，点Q的坐标为，定义其“镜像点”的坐标如下：当时，；当时，．已知，线段，其上的点的“镜像点”坐标为 ．线段上所有点的“镜像点”形成新图象为，若直线与有且仅有一个交点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】判断A点横纵坐标和与0的大小，然后写出其镜像点即可；当时，点Q在直线的上方，此时“镜像点”为，即作Q关于的对称点，当点Q在直线下方时，“镜像点”为，即作Q关于原点的对称点，据此画出图象，根据直线过定点，求出m的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与不等式的关系以及对称变换的坐标变换，根据坐标变化得出进行了怎么样的对称变换是本题解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 作直线，直线，直线，如图： 根据对称的坐标变化可得，图中粗线部分即为新图象， ∵，设点Q在线段上， ∴当时，， ∴当时，点的对称点为，当时，点的对称点为， 当时，，当时，， ∴分界点为，最高点为， ∴图象右侧端点为，左侧端点为：，与y轴交点分别为：和， ∴当直线经过时，有且只有一个交点，当直线，在右端点和之间时，有且只有一个交点， ∴，， ∴或， ∴m的取值范围为：或． 故答案为：，或． 31．正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线，当时，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴点的横坐标为， 同理可得，， ∴点的横坐标为， , 点的横坐标为， 设，则， ∴②①，得, 即， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 32．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的轴对称变化，正确理解题意灵活综合运用知识是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出B点坐标，可知长度，结合已知条件，可求出长度，则C点坐标可求； （2）已知，且D在直线AB上，则D点坐标可求，进而可求解析式，因为点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q，可用m表达出Q坐标，根据Q总在内（不包括边界），列出不等式求解即可． 【详解】 解：（1）在中， 当时，， 当时，即，， ， ∵C在y轴的正半轴上，， ， 故答案为：； （2）， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中， 当时，即，解得：， ； 设直线解析式为， ， ， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ， ∵P、Q关于x轴对称， ， ∵点Q总在内（不包括边界）， ， 解得：． 故答案为：． 33．如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． 根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再设，可表示出，再证，如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵直线分别与轴交于两点，令，则， ∴，且， ∵为轴正半轴上的一动点， ∴设， ∴在中，， ∵是等腰直角三角形，， ∴； 如图所示，过点作轴于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，且轴， ∴是等腰直角三角形，， 则点的轨迹在射线上， 如图所示，作点关于直线的对称点， 连接，，，， ∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质， ∴， ∴轴，且， ∴，则， 如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值； ∴由勾股定理得：， 故答案为：． 34．对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，．    （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 ； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）当时，点， 设点M是直线上存在的线段的等垂点， 由垂点的定义得， 当时，即， 则，即于点Q， 当时，即， 则，即于点P， 如图，当于点P，且直线在线段上方时，    则， 过点M作轴于点G， 由等垂点的定义得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 当直线在线段下方时， 则，过点作轴于点H， 同理可得：， ∴，解得：； 当于点Q，且直线在线段上方时，    同理可得：， ∴，解得：； 当于点Q，且直线在线段下方时， 同理可得：， ∴，解得：； 综上，b的值为或； 故答案为：或； （2）∵边上（包含顶点）存在线段的垂点， 同理（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直， 如图，    当时，则，此时有最小值， ∴，即， ∴， 解得：； 此时，， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴直线的解析式为； 设平行于直线的直线的解析式为， 当此直线过点B时，则，解得， ∴平行于直线的直线的解析式为， ∵， ∴直线， 当点过直线时，此时有最大值， 则， 解得：，此时，两点重合（不符合题意）， ∴t的取值范围是； 故答案为：． 35．已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和轴对称—最短路径问题，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键． 先根据动点，利用参数法求出即点在直线上，再找出点关于直线对称点为，根据根据将军饮马模型可知当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，求出长即可解题． 【详解】解：∵设动点为；又因为动点， ∴， ∴，即点在直线上， 如图， 直线与x轴、y轴分别交于、两点， 易得直线与x轴、y轴分别交于、， ∴， ∴关于直线对称点为， 连接，，作轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，最小值为． 36．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，在直线中， 令，则，令，则， 则，直线与坐标轴正半轴交点为， 在直线中，令，则，故， 根据题意直线与直线互相平行， 过点作交直线于点，过点作交直线于点， 则，， 则， ∴， 即点B位置固定，， ∴， ∴， ∴，， 将代入直线中得， 根据图象当点C位于点和之间时，为锐角三角形， 此时点C的横坐标m的取值范围是． 故答案为：． 37．在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求直线的解析式，则，且；设点N的坐标为，则，消去m，得，再求得，即知点N的运动路径，即可求得答案． 【详解】解：直线与直线平行， 可设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 点在线段上运动， ，且， 设点N的坐标为， N为线段的中点， ， 消去m，得， ，， ， 解得， 令，则， 令，则， 设，， 则点N运动的轨迹长度为线段的长，且． 故答案为：． 38．如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 将点的坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得，， ∴， ， ， …… ∴． 故答案为：． 39．新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图在长方形中，点，点，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，等和为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，设点，点，由题意可得，，即得，，可知点均在直线上，在坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点，求出的坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设点，点， 由题意可得，， ∴，， ∴点均在直线上， 在坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点， ∵点， ∴令时，，令时，， ∴，或，， ∴． 故答案为：． 40．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定周长最小时，M，N的位置． 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，连接，交于点C，交y轴于点D，连接，此时，的周长最小，为的长；，求出的长，即可解得． 【详解】由直线的函数表达式，得点，， ， 则． 点P的坐标为， ，， 如图， 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则， 连接，交于点C，交y轴于点D， 此时，的周长最小， 的周长． 连接，由对称可知， ， ，， ∴点N的坐标为． ， 的周长的最小值为． 故答案为． 三、解答题【共10小题】 41．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着折线运动（点P不与点A，C重合）．设点P运动的路程为x，的面积为y． (1)直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2) 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）需要分点在上和在上两种情况，根据三角形面积公式，结合动点运动的路程，分别求出的面积关于的函数表达式，并确定自变量的取值范围； （2）先根据（1）中得到的函数表达式绘制函数图象，再观察图象分析函数的性质． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，的高为，由三角形面积公式得 当时，点P在上，，的高为 则 综上所述， （2）绘制图象：当时，图象是从到的线段； 当时，图象是从到的线段． 函数性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了分段函数的应用，掌握根据动点的不同运动阶段，结合三角形面积公式求出分段函数表达式，进而分析函数图象和性质是解题的关键． 42．【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，则的面积为___________； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为；②点的坐标为或或 【分析】题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题． （1）根据得到，再利用计算即可； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且，过点作轴于．先求出点、点的坐标，再证明，得到，即可求出点的坐标． ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为．再根据为等腰直角三角形分情况讨论，构造一线三等角模型求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∴ ； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，且； 如图2，过点作轴于． 当时，则， 点的坐标为，即； 当时，则 解得 点的坐标为，即． ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． ②由题意设点的坐标为，设点的坐标为． 情况1．如图3，当，时， 过点作轴，过点作轴，过点做轴，则，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ， ， 解得， 此时点的坐标为； 情况2．如图4，当时，过点作轴于点，过点作轴于点，则，则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ， ， 解得， 此时点的坐标为， 情况3．如图5，当时，过点作轴于点，过点作于点，则，则点的坐标为，点的坐标为， 由“K形图”可得 ， ， 解得， 此时点的坐标为， 综上所述，满足题意的点的坐标为或或． 43．已知，在中，．    (1)如图1，若，点B的坐标是，写出点A的坐标； (2)如图2，若中的顶点A，B恰好是直线与x轴，y轴的交点，求点C的坐标． (3)若在第一象限内，且点B是x轴正半轴上的动点，，，连接交y轴于点G．在点B的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或 (3)在点B的运动过程中，的长度不发生变化， 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何的综合、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，即，然后分当点C在y轴的左侧时，当点C在y轴的右侧时，进而根据“k型全等”可进行求解； （3）过点C作轴于点F，设，则有，，由题意易得，然后可得，， 则可得直线的解析式为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，且， ∴， ∵， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴点A的坐标； （2）解：令时，则，解得：， 令时，则， ∴，即， 当点C在y轴的左侧时，如图所示：    过点C作轴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点C在y轴的右侧时，如图所示：    过点C作轴于点E， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点C的坐标为或； （3）解：在点B的运动过程中，的长度不发生变化，理由如下： 如图，过点C作轴于点F，    设， ∵， ∴，， 同理（2）可得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，则，即， ∴． 44．（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，在轴上找一点，连接，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1）或或或；（2）或或 【详解】解：（1）在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，则点P的纵坐标为或， ∴点P的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或； （2）在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴； 当时，则， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，如图所示，过点A作于F，则， 同理可证明， ∴， ∵， ∴（平行线间间距相等），， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示，过点D作轴于F，则， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 综上所述，b的值为或或． 45．甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15分钟后乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10分钟，修好后减速慢行，速度减少了，结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，完成下列问题： (1) ，甲车的速度是 ； (2)求甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； (3)请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10． 【答案】(1)；80 (2) (3)甲车出发小时或小时或小时或小时，相距10千米 【分析】本题考查一次函数及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，运用分类讨论思想解决问题． （1）由乙出现故障耗时10分钟易得；甲从佳市到哈市共用了小时，利用速度公式计算甲的速度即可； （2）求出A的坐标，用待定系数法可得甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； （3）分四种情况：乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米；乙车出发后，在甲车后面10千米；乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米处；乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，分别解得即可． 【详解】（1）解：， 甲车速度：， 故答案为：，80； （2）解：甲车先出发15分钟，乙出发时，甲距佳市（千米）， ， 设函数表达式为：， 将代入得：， 解得， 函数表达式为； （3）解：乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米； 设乙车开始的速度为，， 解得， 乙车出发后，在甲车后面10千米，设此时甲车已经出发m小时， 则， 解得； 乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米时， 设此时甲车已经出发n小时， ， 解得； 乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，设此时甲车已经出发p小时， ， 解得， 综上所述，甲车出发小时或小时或小时或小时，相距10千米． 46．【生产背景】背景1：国庆前期，某服装厂安排名工人加工生产“男装”和“女装”，因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工2件男装或4件女装． 背景2：每天加工的服装扣除各种成本，服装厂的获利情况是： （1）男装：当每天加工件时，每件男装获利元，如果每天多加工1件，那么平均每件男装的获利将减少5元； （2）女装：每件获利元． 【探究任务】现在安排名工人加工男装，服装厂每天的总利润为y元． 任务1：用含x式子表示加工女装的工人人数为________； 任务2：求y与x之间的函数表达式； 任务3：制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润是多少？ 【答案】任务1：人；任务2：；任务3：每天安排人生产“男装”，人生产“女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用，能根据实际意义的等量关系列出函数解析式，并能利用二次函数的性质求最值是解题的关键， 任务一：由题意得，即可求解； 任务二：总利润=男装的利润+女装的利润，即可求解； 任务三：配方得，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务1：解：由题意得人； 任务2：解：， 任务3：解：， ， ∴当时，， ∴每天安排30人生产“男装”，70人生产“女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是16800元． 47．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得的面积等于1，即，则称点M为线段的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是_____． (2)已知点，，将线段沿y轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． (3)已知点，，点M，N是线段的两个“单位面积点”，点M在的延长线上，若，直接写出点N纵坐标的取值范围． 【答案】(1)A，C (2)或 (3)①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或 【分析】（1）由点的坐标得出，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）当点为线段的“单位面积点”时，，或，当点为线段的“单位面积点”时，，解得：或，即可得出结果； （3）先求出，得出线段的“单位面积点”在轴上或的直线上，则点在的直线与延长线的交点上，求出直线的解析式为：，则，是线段的“单位面积点”，则，， ①当点在轴上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围； ②当点在直线上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图1所示： 点的坐标为， ， ，，，， ，，，， 点、点是线段的“单位面积点”， 故答案为：，； （2）解：如图2所示： 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 线段上存在线段的“单位面积点”时，的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：点的坐标为，， ， 线段的“单位面积点”在轴上或的直线上， 点在的延长线上， 点在的直线与延长线的交点上，如图3所示： 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为：，则， 是线段的“单位面积点”， ， ， ①当点在轴上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或； ②当点在直线上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或． 综上， ①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、含绝对值不等式解法、求一次函数的解析式、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键． 48．如图①，在长方形中，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点和点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点和点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后三角形的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)设点离开点的路程为，点到点还需要走的路程为，请分别写出改变速度后，与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点和点相遇时值． 【答案】(1) (2)，相遇时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键． （）由图象②可得，当时，，求出的值，进而可求出和的值； （2）根据题意求出、与出发后的运动时间（秒）的关系式，进而可知点、点相遇时，解方程即可求解； 【详解】（1）解：由图象②可得，当时，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意得，，， 即，， 当点、点相遇时，， 解得． 49．如图①，在等腰梯形中，，上底，梯形的高也等于2．一动点P从C出发，沿方向在线段上作匀速运动． (1)若三角形的面积S关于运动时间t的函数图象如图②所示，则可得长为多少？ (2)在（1）的条件下，试求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题主要考查了等腰梯形的性质以及全等三角形的判定，根据常用辅助线得出是解题关键． （1）由图②知，时, 点P运动到点B处，继而得到时，点P运动到中点处，结合此时三角形的面积为3，列方程求解即可； （2）利用全等三角形的判定得出，进而得出为等腰直角三角形，进而得出答案． 【详解】（1）由图②知， 时，三角形面积为0，即此时点P运动到点B处， 又点P作匀速运动， 所以时，点P运动到中点处， 此时， 解得． （2）过分别作，则 梯形为等腰梯形， ，四边形为矩形， ， ， ， ，又， 所以为等腰直角三角形， ． 50．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 厂 厂 甲地 30 40 乙地 10 15 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数章末复习压轴培优50题 【压轴核心要点归纳】 一次函数概念与性质题 常见形式： o判断函数类型（例如，是否满足一次函数条件 ）。 o理解斜率和截距的含义（如根据函数式或图像分析k和b对函数行为的影响）。 o考察函数的单调性（如k>0时函数递增）。 压轴难点： o结合其它函数或其他非一次函数进行对比辨析（例如，“已知函数图像平行于某直线，求参数k”）。 函数图像分析题 常见形式： o求图像与坐标轴的交点（例如，x轴交点（-b/k, 0），y轴交点（0, b））。 o根据图像求函数表达式（如给出图像上的两点，代入方程）。 o分析图像平移（例如，“将图像向左平移2单位，新函数表达式是？”）。 压轴难点： o动态图像题（如结合几何图形，判断点是否在图像上或求面积）。 o多函数图像比较（如两个一次函数图像交点求解，或判断谁先到达某值）。 函数表达式求解题 常见形式： o直接求一次函数表达式（如给出两点坐标 和 ，利用公式 求解）。 o结合实际问题设定变量（如“设某量为x，建立一次函数关系”）。 o特殊形式转换（如点斜式、两点式）。 压轴难点： o含参方程求解（例如，“已知函数过点（2,3），且与另一函数平行，求k和b”）。 o综合多个条件（如函数值范围限制，或带绝对值的函数）。 实际应用题（建模题） 常见形式： o行程问题（如A、B两地距离，求速度和时间函数）。 o经济问题（如成本、收入函数求最值）。 o几何问题（如利用一次函数求直线围成图形的面积）。 压轴难点： o多变量综合建模（例如，“结合行程和函数图像，求最优路径或时间”）。 o最值问题（如最大利润或最小值，需结合函数性质求导分析）。 综合压轴题（跨知识点融合） 常见形式： o与方程组结合（如函数与二元一次方程组联立求交点）。 o与不等式结合（如函数值在某一范围内求变量范围）。 o动态问题（如移动点问题，函数图像随参数变化）。 压轴难点： o动态几何应用（如“点P在直线l上移动，求相关线段函数关系”）。 o开放探究题（如“设计一个函数模型解决实际问题，并解释合理性”）。 【备考策略】 理解优先：确保掌握一次函数的基本定义和k、b的几何意义。 图像辅助：画图帮助直观解题，尤其是交点、变化趋势。 代数转化：多用方程思想，如将几何条件转为函数关系。 应用建模：实际问题中，先明确变量，再建函数模型。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，直角梯形中，，，动点P从A点出发，由沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，关于y与x的函数图象如图2，则的长为（    ）   A．11 B．9 C．12 D．10 5．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 6．如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于，两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③当时，；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 7．在平面直角坐标系中，已知点是第二象限一动点，另一点的坐标为，则以下结论： ①点在直线上； ②若设的面积为，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤过作轴于点，轴于点，矩形的周长始终为． 其中正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 10．如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知一次函数的图象经过点，若，则（    ） A． B． C． D． 12．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是（   ） A． B．10 C．12 D．15 13．已知函数（a为常数），当时，y有最小值为4，则a的值为（   ） A． 或 B． 或 C． 或 D．或 14．已知关于x的方程有且只有一个正根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． E． 15．甲、乙两车分别从地、地同时向地匀速行驶（在两地之间）．甲追上乙之后，乙立即以原来速度的倍向地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达地后立即以提高后的速度返回地，甲车到达地后立刻以原速返回地，两车距地的距离之和（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是（　　）小时 A． B． C． D． 16．王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（      ） A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对 18．如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 19．甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛，早上9：00同时从起点出发．甲队在上午11：30分到达终点，乙队一直匀速前进．比赛时甲、乙两队所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．甲队先达到终点 B．上午10：30分乙队追上甲队 C．甲、乙两队在上午10：00时相距最远 D．上午11：10乙队到达终点 20．如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x 和 y＝﹣x 的图象分别为直线 l1， l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过 A1点作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交  l1于点 A3，过点  A3作 y 轴的垂线交  l2于点 A4，… 依次进行下去，则点 A2021的坐标为（ ） A．（1012，1016） B．（-1012，1014） C．（，） D．（，） 二、填空题【共20小题】 21．如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ． 22．已知，且，则y的最大值比最小值多 ． 23．如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 24．在平面直角坐标系中，已知一次函数（是常数且）． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一个定点，则这个点的坐标是 ； （2）该平面直角坐标系中有一条线段，其中，．若这个一次函数的图象与线段没有交点，则的取值范围是 ． 25．正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是 ； （2）的面积是 ． 26．如图，点，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点， ，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 27．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 万人． 28．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 29．在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 30．在平面直角坐标系中，点Q的坐标为，定义其“镜像点”的坐标如下：当时，；当时，．已知，线段，其上的点的“镜像点”坐标为 ．线段上所有点的“镜像点”形成新图象为，若直线与有且仅有一个交点，则实数m的取值范围是 ． 31．正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 32．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 33．如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ． 34．对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，．    （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 ； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 ．   则， 35．已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为 ． 36．在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是 ． 37．在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 38．如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律， ． 39．新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图在长方形中，点，点，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，等和为，则的长为 ． 40．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 三、解答题【共10小题】 41．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着折线运动（点P不与点A，C重合）．设点P运动的路程为x，的面积为y． (1)直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． 42．【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：．我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们利用这个模型来解决以下问题： 【模型运用】 （1）如图1，在上述模型中，若，则的面积为___________； 【模型拓展】 （2）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点， ①如图2，过点作，且，连接．求点的坐标； ②如图3，点的坐标为，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，试求出点的坐标． 43．已知，在中，．    (1)如图1，若，点B的坐标是，写出点A的坐标； (2)如图2，若中的顶点A，B恰好是直线与x轴，y轴的交点，求点C的坐标． (3)若在第一象限内，且点B是x轴正半轴上的动点，，，连接交y轴于点G．在点B的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由． 44．（1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，在轴上找一点，连接，使得是等腰三角形，直接写出此时点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点，交轴于点，是射线上一点．若存在点，使得恰为等腰直角三角形，求的值． 45．甲、乙两车从佳市出发前往哈市，甲车先出发匀速驶向哈市，15分钟后乙车出发，匀速行驶一段时间后出现故障，出现故障后维修了10分钟，修好后减速慢行，速度减少了，结果与甲车同时到达哈市，甲、乙两车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息，完成下列问题： (1) ，甲车的速度是 ； (2)求甲车距佳市的路程y（）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系式； (3)请直接写出甲车出发多长时间，甲、乙两车相距10． 46．【生产背景】背景1：国庆前期，某服装厂安排名工人加工生产“男装”和“女装”，因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工2件男装或4件女装． 背景2：每天加工的服装扣除各种成本，服装厂的获利情况是： （1）男装：当每天加工件时，每件男装获利元，如果每天多加工1件，那么平均每件男装的获利将减少5元； （2）女装：每件获利元． 【探究任务】现在安排名工人加工男装，服装厂每天的总利润为y元． 任务1：用含x式子表示加工女装的工人人数为________； 任务2：求y与x之间的函数表达式； 任务3：制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润是多少？ 47．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得的面积等于1，即，则称点M为线段的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是_____． (2)已知点，，将线段沿y轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． (3)已知点，，点M，N是线段的两个“单位面积点”，点M在的延长线上，若，直接写出点N纵坐标的取值范围． 48．如图①，在长方形中，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点和点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点和点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后三角形的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)设点离开点的路程为，点到点还需要走的路程为，请分别写出改变速度后，与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点和点相遇时值． 49．如图①，在等腰梯形中，，上底，梯形的高也等于2．一动点P从C出发，沿方向在线段上作匀速运动． (1)若三角形的面积S关于运动时间t的函数图象如图②所示，则可得长为多少？ (2)在（1）的条件下，试求的度数． 50．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 厂 厂 甲地 30 40 乙地 10 15 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $