精品解析：江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

南昌中学2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布均值与方差的性质公式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 2. 已知空间四点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. ⊥ D. 【答案】D 【解析】 【分析】AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误. 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 3. 设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，再根据两平行间的距离公式求解. 【详解】由题意，，解得， 所以直线，即与直线间的距离为. 故选：A. 4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于150g的概率，即可得解. 【详解】由可知，，， 则， 故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987. 故选：D 5. 三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（ ） A. 144 B. 72 C. 36 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解. 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法， 所以不同的排法总数为种. 故选：B 6. 在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据，求出点的坐标，再利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 设， 则， 因为， 所以，解得， 所以，则， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线渐近线方程与抛物线准线方程联立可求得，由双曲线离心率可得到，由此可得，利用三角形面积可构造方程求得的值. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为；由抛物线方程知：准线方程为； 由得：，； 双曲线离心率，，则， ，解得：. 故选：C 8. 如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点为，连接，易知是的平面角，根据已知构建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求得直线和所成角的余弦值关于的表达式，即可求最大值. 【详解】取的中点为，连接，又， 所以，且，是的平面角， 由都在面内，故面，面内过作， 可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，则，且， 所以， 则， 当时，最大. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点坐标为关键. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B. 运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 C. 相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱 D. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C； 【详解】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误； 对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确； 对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误； 对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确。 故选：BD. 10. （多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式与全概率公式逐一判断即可. 【详解】解析因为甲罐中有个红球、个黑球，所以，故选项A正确； 因为，所以，所以选项B不正确； 因为，所以， 由全概率公式可得：，所以选项C正确； 因为，所以选项D正确； 故选：ACD. 11. 已知曲线．点，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线存在点，使得 C. 直线与曲线没有交点 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先分情况讨论画出曲线的草图，数形结合可判断A的真假；结合双曲线的定义可判断B的真假；结合双曲线渐近线的概念可判断C的真假；结合点到直线的距离公式可判断D的真假. 【详解】先分析曲线： 若，，则，即，为双曲线的一部分； 若，，则，即，为椭圆的一部分； 若，，则，即，为双曲线的一部分； 若，，则，无解. 所以曲线如图： 对A：由图可知，曲线不关于原点对称，故A错误； 对B：当点在第一象限时，，为双曲线：的焦点，根据双曲线的定义可知：，故B正确； 对C：因为为第一象限图象（，）和第三象限图象（，）的渐近线，所以直线与曲线没有交点，故C正确； 对D：设为曲线上第三象限的点，则（，）. 点到直线与的距离之积为： ，故D正确. 【点睛】思路点睛：分段画出曲线，再数形结合，是解决问题的主要思路. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4 5 a 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由表格中的数据，求得样本中心代入回归方程，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得， 把代入回归方程，可得，解得. 故答案为：. 13. 经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，半径为，由及圆心C在直线上，建立关于的方程，求解即可得答案. 【详解】设圆心为，半径为，则由可得，即①， 又圆心在直线上，所以②， 联立①②解得，所以半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 14. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答） 【答案】1560 【解析】 【分析】分别用3种颜色、4种颜色、5种颜色涂色即可. 【详解】如图所示， 用3种颜色涂色，则①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有种， 用4种颜色涂色，则①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有种， 用5种颜色涂色，则①、③、⑤、②、④异色，所以涂色方案有种， 所以涂色方案共有种. 故答案为：1560. 四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1）1024 （2）180 【解析】 【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和； （2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案. 【小问1详解】 前三项的二项式系数和为， 解得或-11（舍去）， 中，展开式中所有二项式系数的和为； 【小问2详解】 的展开式通项公式为， 令得，故. 16. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）分布列见解析，期望为1.2 （2）分布列见解析，1.2 【解析】 【分析】（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0，1，2，3.则易求的分布列和数学期望； （2）由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望. 【小问1详解】 由题意知，的值为 ， ， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 【小问2详解】 由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，且. . 的分布列为： 0 1 2 3 . 17. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵． （1）请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关： （2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比． 附：． 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出80分及以上的频率即可完善列联表，再计算的观测值作答. （2）利用（1）中信息，结合条件概率公式列出方程，求解作答. 【小问1详解】 观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为， 因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60， 35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为， 因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为50， 所以列联表为： 生产标兵 非生产标兵 总计 35周岁及以上组 20 60 80 35周岁以下组 30 50 80 总计 50 110 160 提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平， 的观测值，而， 所以没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关. 【小问2详解】 令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”， 用样本估计总体知，，，，设， 则由，得，解得， 因此， 所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为. 18. 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连结，交于点，连结， 在平行六面体中，，是的中点， 所以四边形是平行四边形，又点为中点， 则且， 所以四边形是平行四边形，从而， 因为平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）依次证得四边形与四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，利用待定系数法求得点的坐标，进而求得平面与平面的法向量，再利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示的坐标系， 则，，设点为，其中， 则，，， 因为，，， 所以，即，解得， 则，则， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 设二面角为，则， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程. （2）若直线l的斜率为，求的面积. （3）设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，求出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可求出的面积； （3）设，，由，得，将代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合前面的式子得，两式相比化简可求得，代入其中的一个化简可求得点Q的轨迹方程. 【小问1详解】 由题意得，由得，得， 所以，得，则， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，则， 因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 设， 由，得， 所以， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以的面积为； 【小问3详解】 设，， 则， 因为， 所以， 所以（*）， 直线l的方程为， 由，得， ， 则， 所以 ， 代入（*），可得：， 当时，，得（且）， 所以， 化简整理得 当时，得，，即，满足上面的方程， 所以点Q的轨迹方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间四点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C ⊥ D. 3. 设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ） 附：若，则，，. A. 8413 B. 9772 C. 9974 D. 9987 5. 三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（ ） A. 144 B. 72 C. 36 D. 12 6. 在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 如图，四边形，，现将沿折起，当二面角值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B. 运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 C. 相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱 D. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系 10. （多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A B. C. D. 11. 已知曲线．点，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线存在点，使得 C. 直线与曲线没有交点 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4 5 a 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为______. 13. 经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______. 14. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答） 四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤. 15. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56. （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项. 16. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵． （1）请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关： （2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比． 附：． 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 如图，在平行六面体中，，，，，点为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角正弦值． 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程. （2）若直线l的斜率为，求的面积. （3）设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $