精品解析：江西南昌中学三经路校区2025～2026学年度第一学期期末考试高二数学

2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 命题人：胡安居 审题人：陈桂圆 一、单选题（共40分） 1. 已知随机变量服从分布，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，则（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 3. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. 第4项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 展开式各项系数之和为 10. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，为平面外的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，则 11. 2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（ ） A. 每个景点都有人去的情况共有24种 B. 有景点没人去的情况共有256种 C. 恰有1个景点没人去的情况共有144种 D. 4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 三、填空题（共15分） 12. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______． 13. 若，则___________ 14. 7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）过点引圆的切线，求切线的方程． 16. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 17. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 19. 已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． （1）求W的方程． （2）过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． （3）已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 命题人：胡安居 审题人：陈桂圆 一、单选题（共40分） 1. 已知随机变量服从分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 2. 已知随机变量，则（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称， 因为， 所以，解得． 故选：A． 3. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】双曲线的离心率为，可得， 即：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，点到双曲线的渐近线的距离为． 故选：C． 4. 某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答. 【详解】依题意，X的可能值为，则， 因此， 所以. 故选：B 5. 某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 6. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：A 7. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 8. 已知正方体的棱长为，若空间中存在一点，满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，即点， ，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 二、多选题（共18分） 9. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. 第4项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 展开式各项系数之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由题设结合组合数的性质求出n即可判断A；由二项式系数的定义和组合数性质即可求解判断B；由二项式的展开式的通项公式即可求解判断C；由系数定义赋值即可求解判断D. 【详解】由题意得，所以，故A正确； 因为时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，所以的系数为，故C正确； 展开式各项系数之和为，故D错误. 故选：ABC 10. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，为平面外的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间基底的含义可判断A的正误，利用四点共面的向量性质可判断B的正误，利用方向向量和法向量的数量积为0判断C的正误，利用两个平面的法向量垂直可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，即这三个向量共面， 故不是空间的一组基底，故A错误. 对于B，因为共面，为平面外的一点，故，故，故B正确. 对于C，因为，故或，故C错误. 对于D，因为，故，故，故D正确. 故选：BD. 11. 2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（ ） A. 每个景点都有人去的情况共有24种 B. 有景点没人去的情况共有256种 C. 恰有1个景点没人去的情况共有144种 D. 4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用全排列公式进行求解；对于B，先得到总的情况数，在A基础上得到有景点没人去的情况；对于C，先将四个人分为3组，从而求出恰有1个景点没人去的情况数；对于D，方法一：利用间接法进行求解；方法二：分两种情况进行求解，相加可得答案. 【详解】对于A，每个景点都有人员选择去的情况数为，故A正确； 对于B，4人选择四个景点，每人只能去一个的总的情况数为， 结合A，则有景点没人去的情况数为，故B错误； 对于C，先将四个人分为3组，则有种情况， 故恰有1个景点没人去的情况数为，故C正确； 对于D，方法一：4人从“玄武湖”“明孝陵”两个景点中，每人选择1个景点，共种情况， 若4人均选择同一个景点，情况为2种， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为； 方法二：将4人分为两组，若其中1组为1人，另一组为3人，则有种情况， 若平均分为两组，则有种情况， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 如图， 由椭圆的定义知，， 所以的周长为. 故答案为：8 13. 若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的性质求出，再利用向量模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，即，有， 可知. 故答案为：. 14. 7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值． 【详解】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻， 则，， 则， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知圆经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）过点引圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆心及过原点，可得半径，即可得方程． （2）讨论斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，计算求解，综合分析，即可得答案． 【小问1详解】 因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为． 【小问2详解】 当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 16. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1）由，，， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2），预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得：， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5. 17. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）①由面面垂直的性质得到平面，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值；②求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 ①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】（1） （2）0.9 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【小问1详解】 由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； 【小问2详解】 设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； 【小问3详解】 已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 19. 已知抛物线的焦点为F，直线与W相切． （1）求W的方程． （2）过点F且与平行的直线与W相交于M、N两点，求． （3）已知点，不垂直于x轴的直线l与抛物线W交于A、B两点，若直线AQ、BQ关于x轴对称，求证：直线l过定点并写出定点坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）证明见详解，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）通过联立直线与抛物线方程，利用判别式为0求出的值，进而得到抛物线方程； （2）先求出直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的焦点弦长公式求出； （3）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，又直线AQ，BQ关于轴对称，得到，代入斜率具体的表达式后，结合韦达定理求出n的值，则可得到直线l所过定点坐标． 【小问1详解】 联立，整理得， 因为与相切，所以，解得或（舍去）， 故的方程为． 【小问2详解】 如图所示， 由（1）可知，因为，所以的方程为， 设，，联立， 整理得，则，， ． 【小问3详解】 如图所示， 易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，，， 由得，所以，， 因为直线AQ，BQ关于轴对称，所以， 即，所以， 所以，所以， 解得，所以直线的方程为，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $