精品解析：江西省新余市第一中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年上学期初二年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列交通标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年神舟二十号飞船成功发射，其搭载的空间站温控系统特种泵阀零件精度要求极高，核心零件的加工误差仅允许控制在米以内，用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：x2﹣x=______． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 9. 已知点与点关于x轴对称，则的值为______． 10. 已知，则的值为______． 11. 某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为______． 12. 有一张三角形纸片，，D为边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两张纸片均为等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. （1）解方程：． （2）如图，已知点为边延长线上一点，于点，交于点，，，求的度数． 15. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的x的值代入求值． 16. 如图，在梯形中，，，请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出梯形的底边的垂直平分线． （2）在图2中，点P为梯形的一腰上一点，在梯形的另一腰上作出点Q，使得． 17. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并求出的面积； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：______； （3）在轴上找一点，使得的周长最小．（保留作图痕迹） 19. 某市启动“城市公园”建设，计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队完成绿化360m2的面积与乙工程队完成绿化240m2的面积所用时间相同，若甲工程队每天比乙工程队多完成绿化30m2， （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化？ （2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用是0.5万元，要使这次绿化的总费用不超过45万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 20. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． （1）如图1，若点A的坐标是，求点B，点C的坐标． （2）如图2，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于点E，求证：． 22. 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： （1）分式是_____分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期初二年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列交通标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故正确； D、不是轴对称图形，故错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项以及完全平方公式，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 3. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此分析即可作出判断． 【详解】解：A．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意． B．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．是最简二次根式，故此选项符合题意； D．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 2025年神舟二十号飞船成功发射，其搭载的空间站温控系统特种泵阀零件精度要求极高，核心零件的加工误差仅允许控制在米以内，用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 5. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：由关于的分式方程可得：，且， ∵方程的解为非负数， ∴，且， 解得：且， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键． 6. 如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB． 【详解】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE=∠AMF=90°， ∵∠AED=∠MEF， ∴∠DAE=∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC=∠BAC， ∠DAE=90°-∠AED =90°-（∠ACE+∠EAC） =90°-（∠ACE+∠BAC） =（180°-2∠ACE-∠BAC） =（∠ABD-∠ACE）， ∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE； 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°， ∴∠AGH=∠MEF， ∵∠MEF=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：x2﹣x=______． 【答案】x（x﹣1） 【解析】 【详解】分析：提取公因式x即可． 详解：x2−x＝x（x−1）． 故答案为x（x−1）． 点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 9. 已知点与点关于x轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点坐标特征，根据关于x轴对称的点坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解a和b，再计算表达式值． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知，则的值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． 由已知条件得到，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11. 某校举办以“强体质，练意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程． 根据比赛时间比训练前少用3分钟，即小时，利用时间关系列出分式方程即可． 【详解】解：训练前速度为千米/时，跑3千米所需时间为小时； 比赛时速度为千米/时，所需时间为小时． 由于比赛时少用3分钟，即小时， 因此有． 故答案为：． 12. 有一张三角形纸片，，D为边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两张纸片均为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的定义及性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由于沿剪开得到和均为等腰三角形，根据不同的边相等分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵沿剪开得到和，两者均为等腰三角形， ∴分以下情况讨论： ①如图，若，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，若， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； ③如图，若， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； ④如图，若，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 由上可知，当时，，即为钝角三角形，故不存在，的情况． ⑤如图，若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 由上可知，当时，，即是钝角三角形，故不存在，的情况． 综上所述，的度数可为或或或． 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，零指数幂，负整数指数幂． （1）直接计算单项式乘以多项式即可； （2）先计算零指数幂，算术平方根，乘方，负整数指数幂，再计算加法即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 14. （1）解方程：． （2）如图，已知点为边延长线上一点，于点，交于点，，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，掌握分式方程的解法和三角形内角和定理是解题关键． （1）先将分式方程化为同分母，然后去分母将其转化为整式方程求解，并检验增根； （2）利用垂直、对顶角相等和三角形内角和定理，求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 将代入原方程分母， 故是原方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 答：． 15. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件可知且， 当时，原式． 16. 如图，在梯形中，，，请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出梯形的底边的垂直平分线． （2）在图2中，点P为梯形的一腰上一点，在梯形的另一腰上作出点Q，使得． 【答案】（1）如图， （2）如图， 【解析】 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接、交于点F，延长、交于点E，直线即为梯形的底边的垂直平分线； （2）同（1）作出底边的垂直平分线，连接交于点G，连接交于点Q即可． 【小问1详解】 解：连接、交于点F，延长、交于点E，直线即为梯形的底边的垂直平分线； 证明：∵， ∴， 即点E在底边的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点F在底边的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， ∴直线即为梯形的底边的垂直平分线； 【小问2详解】 解：同（1）作出底边的垂直平分线，连接交于点G，连接并延长交于点Q即可． 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 17. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质． 根据等腰三角形的性质可知，利用可证； 根据全等三角形的性质可知，，所以可知，根据可求结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由可知， ，， 又， ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并求出的面积； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：______； （3）在轴上找一点，使得的周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图即为； （2） （3） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的对称变换，最短路径问题，利用割补法求三角形面积是解题关键． （1）先根据关于轴对称的坐标变换规则求出各顶点坐标并依次相连，再用割补法将三角形补入规则正方形中，通过整体减周围多余部分计算出其面积； （2）依据关于轴对称的坐标变换规则，将点的横坐标取反、纵坐标不变，得到对称点的坐标； （3）根据“两点之间线段最短”，连接点关于y轴的对称点，线段与轴的交点即为使周长最小的点． 【小问1详解】 解：据图可知，的外接正方形边长为， 其周围的三个直角三角形边长分别为和，和，和， 则． 答：． 【小问2详解】 解：关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， 点坐标为，则点坐标为． 答：． 【小问3详解】 略 19. 某市启动“城市公园”建设，计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队完成绿化360m2的面积与乙工程队完成绿化240m2的面积所用时间相同，若甲工程队每天比乙工程队多完成绿化30m2， （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化？ （2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用是0.5万元，要使这次绿化的总费用不超过45万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天能完成90m2，乙工程队每天能完成60m2；（2）10天 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天完成绿化面积，则甲工程队每天完成绿化面积为，由“甲工程队完成绿化的面积与乙工程队完成绿化的面积所用时间相同”列出方程可求解； （2）设应安排乙工程队绿化天，由“要使这次绿化的总费用不超过45万元”列出方程，可求解． 【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化， 由题意得． 解得． 经检验是原方程的解且满足题意． ． 答：甲工程队每天能完成，乙工程队每天能完成； （2）设应安排乙工程队绿化天， 由题意，得． 解得． 应至少安排乙工程队绿化10天． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 20. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）A （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． 【小问1详解】 解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； 【小问2详解】 解：，， ； 【小问3详解】 解：原式， ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． （1）如图1，若点A的坐标是，求点B，点C的坐标． （2）如图2，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于点E，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，延长、交于点F， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质与判定和坐标与图形性质，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点A作轴，可证，根据全等三角形对应边相等即可求出答案； （2）延长、交于点F，可证，可证，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，过点A作轴， ∵点A的坐标是， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为，， ∴点B的坐标为， 综上∶点B的坐标为，点C的坐标为． 【小问2详解】 略 22. 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： （1）分式是_____分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】（1）真 （2） （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【解析】 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $