精品解析：贵州省遵义市2026届高三第二次适应性考试数学试题

遵义市2026届高三年级第二次适应性考试 数学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 如图，复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 某实验室从“芯片算力，功耗控制，集成度，兼容性，稳定性”五个维度，对自研芯片，进行性能测评，评分结果的雷达图如下，则下列说法中正确的是（ ） A. 在“稳定性”维度，芯片的评分为4分 B. 在“功耗控制”维度，芯片的评分高于芯片的评分 C. 在“芯片算力”维度，芯片的评分低于芯片的评分 D. 芯片的性能评分的波动性低于芯片的性能评分的波动性 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 若，则的值为（　 　） A. B. C. D. 7. 如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 是函数的一个零点 B. 当时，函数取得最小值 C. 函数在区间单调递减 D. 将的图象向左平移个单位长度，能得到的图象 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，在平面内有两点，，则下列说法中正确的有（ ） A. 的离心率为 B. 存在点，使得的面积为2 C. 若点为，的中点，且，，则 D. 当，时，过的直线与交于点（异于，），若直线，与轴分别交于，两点，且，则直线的斜率为 11. 已知函数，，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，函数的图象关于直线对称 B. 当时，函数在处取得极小值2 C. 当时，函数在区间内至少有一个零点 D. 存在，使得曲线在处的切线与直线平行或重合 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则的数学期望______. 1 2 3 0.2 0.5 0.3 13. 记为等差数列的前项和，若，，则______. 14. 已知正方体，正方体所有顶点都在平面的同一侧，正方体的8个顶点到平面的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为______. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且的周长为6． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 记为数列的前项和，已知.各项均为正数的等比数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）记为正四面体内切球的球心. （ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）； （ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）设、，分别过、作曲线的切线、，且与交于点，记的面积为. （ⅰ）求的坐标（用表示）； （ⅱ）求在区间上的最大值. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，双曲线上的一点，满足，且，的面积为9. （1）求双曲线的标准方程； （2）过作斜率为的直线交双曲线于、两点，其中，，且，分别为，的内心，记四边形的面积为.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2026届高三年级第二次适应性考试 数学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 如图，复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在复平面内找到对应的坐标,再利用复数的几何意义写出复数即可. 【详解】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以. 故选：A. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法运算规则计算求解． 【详解】已知向量，， ，故B正确． 故选：B． 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】由全称命题的否定知， ，的否定是，， 故选：B 4. 某实验室从“芯片算力，功耗控制，集成度，兼容性，稳定性”五个维度，对自研芯片，进行性能测评，评分结果的雷达图如下，则下列说法中正确的是（ ） A. 在“稳定性”维度，芯片的评分为4分 B. 在“功耗控制”维度，芯片的评分高于芯片的评分 C. 在“芯片算力”维度，芯片的评分低于芯片的评分 D. 芯片的性能评分的波动性低于芯片的性能评分的波动性 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图，逐项分析即可得解. 【详解】由雷达图可知，在“稳定性”维度，芯片的评分为8分,故A错误； 在“功耗控制”维度，芯片的评分与芯片的评分相同，故B错误； 在“芯片算力”维度，芯片的评分高于芯片的评分，故C错误； 由雷达图，芯片的各项性能评分比较均衡，其波动性低于芯片的性能评分的波动性，故D正确. 故选：D 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先判断已知函数的奇偶性，再利用函数奇偶性求解． 【详解】， ，故A正确． 故选：A． 6. 若，则的值为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】化为， 两边平方得即或（舍去） 7. 如图，已知三棱锥中，平面平面，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到直线在平面内的投影，从而确定线面角，再通过几何计算求出其正弦值. 【详解】取的中点，连接、，如图所示： 因、，由等腰三角形“三线合一”，得，. 又平面平面，平面平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面， 又平面，则. 因此， 是在平面内的投影，即为直线与平面所成的角. 在中，由余弦定理，得， 因此. ，， 在中， ， 故选：C 8. 若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 是函数的一个零点 B. 当时，函数取得最小值 C. 函数在区间单调递减 D. 将的图象向左平移个单位长度，能得到的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】代入求的值，可判断A的真假；求的值可判断B的真假；利用的单调性，结合复合函数单调性的判断方法，可判断C的真假；利用三角函数图象的平移变换，结合诱导公式可判断D的真假. 【详解】对于A：因为，所以是函数的一个零点，所以A选项正确； 对于B：当时，，函数取得最大值，所以B选项错误； 对于C：当时，，因为函数在上单调递减， 根据复合函数单调性的判断方法，可得函数在区间单调递减，所以C选项正确； 对于D：将的图象向左平移个单位长度，得，所以D选项错误. 故选：AC 10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，在平面内有两点，，则下列说法中正确的有（ ） A. 的离心率为 B. 存在点，使得的面积为2 C. 若点为，的中点，且，，则 D. 当，时，过的直线与交于点（异于，），若直线，与轴分别交于，两点，且，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程得出，求出离心率判断选项A；利用焦点三角形公式，求出面积最大值判断选项B；利用向量关系结合椭圆定义推出，判断选项C；联立直线方程，利用距离相等条件，结合三点共线求出直线的斜率，判断选项D． 【详解】 椭圆：中，， 左、右焦点分别为、， 选项A：离心率，故A正确； 选项B：的面积，， ， ，故B错误； 选项C： 由得，故， 由得，故， 点为，的中点，， ， ， ， 同理可得，，故， ， ，故C正确； 选项D：直线的斜率为，方程为，与轴交点为， 设直线的斜率为，方程为，联立椭圆方程得，由韦达定理得，代入得，，， ，， 设点，则， ， ，化简整理得，解得或（舍去，与重合）， ， 在直线上，即三点共线， ， ，化简整理得，解得， 即（舍去，与重合）或， ，故D正确 故选：ACD． 11. 已知函数，，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，函数的图象关于直线对称 B. 当时，函数在处取得极小值2 C. 当时，函数在区间内至少有一个零点 D. 存在，使得曲线在处的切线与直线平行或重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A利用对称轴知识验证即可；选项B利用导数考察函数的极值；选项C考察函数的零点问题；选项D利用导数求出斜率，从而判断直线的位置关系即可。 【详解】选项A，当时，，因为，所以函数图像关于直线对称，故A正确； 选项B，当，，令，则，，所以， 令恒成立. 又因为，所以， 令单调递增， 因为， 时单调递减，时单调递增， 所以在处取得极小值，故B正确； 选项C，令，，因为，所以无零点，故C不正确； 选项D，，代入，令，得，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则的数学期望______. 1 2 3 0.2 0.5 0.3 【答案】2.1 【解析】 【分析】根据期望的定义求解即可. 【详解】 故答案为：2.1 13. 记为等差数列的前项和，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式列方程求出首项、公差，再由等差数列的求和公式得解. 【详解】设等差数列的公差为， 则由，可得，， 解得， 所以， 故答案为： 14. 已知正方体，正方体所有顶点都在平面的同一侧，正方体的8个顶点到平面的距离恰好为1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式建立等量关系求解. 【详解】将平面平移到经过顶点，平移后各顶点到平面的距离依次为0，1，2，3，4，5，6，7.以为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，分别是在平面上的射影，设正方体的棱长为，为平面的法向量，不妨设到平面的距离分别为（到平面的距离为3）. 则， 所以， 所以，所以， ，所以， ，所以. 所以，令，则，， 所以，由，得，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且的周长为6． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件列方程求解； （2）利用余弦定理和三角面积公式计算求解． 【小问1详解】 由正弦定理得， ， 已知，代入化简得①， 已知的周长为6，故②， 联立①②得． 【小问2详解】 已知，，故， ， ， 由余弦定理得，，， ，解得， 由三角形面积公式得． 16. 记为数列的前项和，已知.各项均为正数的等比数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求的通项公式，利用等比数列的通项公式求公比可得的通项公式； （2）根据裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，， 所以 又，满足， 所以 设等比数列的公比为， 由，得， 由，解得， 则 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以 17. 如图，在棱长为的正四面体中，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）记为正四面体内切球的球心. （ⅰ）求内切球的半径；（写出推导过程，直接写结果不给分）； （ⅱ）设是球的球面上一点，且平面，当最小时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）因为均为等边三角形，且为棱的中点， 所以, 又,平面， 所以平面. （2）（ⅰ）3，推导过程如下： 设点是底面正的中心，连接, 则为正四面体的高， 由题知，在中，， 在中，由勾股定理可得， 由等体积法得，，则， 即，则内切球的半径为3. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）（ⅰ）根据正四面体的性质，确定内切球球心位置，利用等体积法求半径即可（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，再转化为正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为平面，所以点在上，且在球面上, 所以，当最小时，则, 以为坐标原点，过作平行线为轴，以为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则； 设平面的法向量， 则，令，则， 设二面角的大小为， 则，所以. 即二面角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）设、，分别过、作曲线的切线、，且与交于点，记的面积为. （ⅰ）求的坐标（用表示）； （ⅱ）求在区间上的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）需证明，等价于证明的最小值为，进而利用导数分析单调性后确定最小值. （1）（ⅰ）先利用单调性确定是切点，进而写出和的点斜式方程，再通过联立方程组消去，解出，代入得； （ⅱ）选择为底，计算（底边长），再用点到直线的距离公式求到的距离（高），进而得到面积表达式，再通过导数研究其单调性，进而求最大值. 【小问1详解】 当时，. 求导得：，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增. 因此，是的极小值点，也是最小值点. 最小值为. 所以，即得证. 【小问2详解】 （ⅰ）由已知，，， 因为，当时，则， ， 所以在是单调递增函数，在是单调递减函数， 所以，是切点. 切线过，斜率为，方程为，即. 切线过，斜率为，方程为， 即. 联立与的方程：， 消去得，， 解得， 将代入的方程，得 因此，的坐标为. （ⅱ）由， ，得的方程为， 即， 又. 点到的距离， 代入(因在切线上)，化简分子： 分子 因此. 于是 代入，得 由（1）知，因此. 当时，，令（）， ， 因、、，故，因此在单调递增. 又时，故时. 因为、，且两者在上均单调递增， 故在上单调递增. 因此，代入得 所以，函数在区间上的最大值为：. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，双曲线上的一点，满足，且，的面积为9. （1）求双曲线的标准方程； （2）过作斜率为的直线交双曲线于、两点，其中，，且，分别为，的内心，记四边形的面积为.求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质、面积，双曲线的定义，求出得解； （2）设直线方程，联立双曲线方程，根据韦达定理，求四边形的面积为，将看成数列的前n项和，转化为证明即可. 【小问1详解】 由已知，则，即， 设，则， 由的面积为9，可得， 所以，，即，， 所以， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 由已知，，得， 设，直线的方程为， 根据直线的斜率，得直线必与双曲线的右支相交， 联立，得， 方程的判别式 设，则， ， 由已知的纵坐标为， 同理可得，，且与异号， 故， 所以， 由题意，可以将看成数列的前n项和， 只需证：恒成立； 令 ，只需证：， 两边平方化简得：显然成立，故不等式左边得证； 不等式右边可转化为证明，即， 两边平方，即证，即，显然成立. 故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $