精品解析：湖北咸宁市2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025年秋季期末质量监测 九年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卷一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年11月25日，神舟二十二号飞船升空，经小时飞行抵达中国空间站，此次发射为中国载人航天工程首次应急发射．下列航天图标中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的辨认，掌握好中心对称图形的定义是关键． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据定义进行判断即可． 【详解】解：对于选项A，不是中心对称图形，不满足题意； 对于选项B，不是中心对称图形，不满足题意； 对于选项C，不是中心对称图形，不满足题意； 对于选项D，是中心对称图形，满足题意． 故选：D． 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 明天太阳从西方升起 B. 翻开九年级上册数学课本，恰好是88页 C. 通常加热到时，水会沸腾 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故A不符合题意； B、翻开九年级上册数学课本，恰好是88页，是随机事件，故B不符合题意； C、通常加热到时，水会沸腾，是必然事件，故C符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故D不符合题意； 故选：C． 3. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 4. 已知的半径为5，圆心到直线距离为2，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的判定，关键是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断位置． 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，已知，． ∵， ∴直线与的位置关系是相交； 故选：B． 5. 关于的一元二次方程常数项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，掌握好相关知识是关键． 先将方程化为标准形式，判断其中不含字母的项即可． 【详解】解： ， 移项，得， ∵常数项是不包含字母的项， ∴该方程的常数项为． 故选：A． 6. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积（单位：）是反比例关系，如图所示．当时，等于（ ）． A. -5 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，先根据题意，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再求函数值即可． 【详解】解：由题意，设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ∴， 当时，， 即当时，等于． 故选：C． 7. 如图，为的直径，点在上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，半圆（直径）所对的圆周角是直角，作角平分线(尺规作图)，圆周角定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求得，再利用三角形角平分线的定义求得，从而可利用圆周角定理求得． 【详解】解：因为为的直径， 所以， 由尺规作图可知，为的平分线， 所以， 所以， 故选：B． 8. 如图，将绕点顺时针旋转到，使得点落在上，的延长线恰好经过点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 先利用旋转性质和等腰三角形的性质，再利用三角形的内角和定理求得即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的深化，某国产新能源汽车品牌的市场热度持续上升．该品牌新能源汽车2025年10月份的销售量为12000辆，12月份的销售量达到14520辆．若该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是找准等量关系． 先用表示出11月份的销售量，从而可表示出12月份的销售量，再根据12月份销售量为14520辆，列出方程即可． 【详解】解：因为该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，10月份销售量为12000辆， 所以11月份销售量为辆， 所以12月份销售量为辆， 又因为12月份销售量为14520辆， 所以可列方程为， 故选：B． 10. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形绕点逆时针旋转得正方形与交于点与交于点，连接，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和正方形的性质是解答的关键． 先根据正方形的性质和旋转性质得到，，，，证明得到，进而可由求解即可． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形，且正方形的中心为O， ∴，，，， 由旋转性质，得， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若点关于原点的对称点在第三象限，请写一个符合条件的点的坐标___________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及各象限内点的坐标符号规律，关键是通过对称点的位置反推点的位置． 【详解】解：设点的坐标为，则其关于原点的对称点为； ∵对称点在第三象限， ∴且，即且， ∴点在第一象限； 取，，则点的坐标可以为； 故答案为：(答案不唯一)． 12. 某中学拟从《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》4部数学名著中选择1部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了等可能事件的概率计算，关键是确定总的基本事件数和符合条件的基本事件数，再根据概率公式求解． 【详解】解：从《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》4部数学名著中选择1部，共有4种等可能的结果； 其中恰好选中《九章算术》的结果有1种； 根据概率公式得； 故答案为：． 13. 如图，为的弦，，延长与相交于点，若，则的半径为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，设，先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，设， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即的半径为5． 故答案为：5． 14. 如图，莉莉手工课准备做一把扇形纸扇，要求完全打开后，外侧两竹条夹角为和的长均为，则扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 【答案】 ①. 5 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，勾股定理，垂线段最短，从图象上获取正确的信息是关键． 当时，，根据函数图象进行填空即可．作，垂足为，设，由函数图象可知，，．根据勾股定理，，解方程求出，进而求出．根据垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 如图，作，垂足为，设， 由图象可知，当时，， ∴，， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴，即， 由垂线段最短可得，的最小值为． 故答案为：；． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 请用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无实数根 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开方法，配方法是关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 所以方程无实数根． 17. 如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： （1）如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； （2）如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】（1） 如图1所示： （2） 如图2所示： 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是原方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根，列不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，进而列方程求得k值，结合k的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：； ． ， 方程有两个不相等的实数根 ， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ， ，即， 解得：， 的值为． 19. 某校为了解学生对“豆包”的熟悉情况，现从全校1800名学生中随机抽取若干名学生开展测试，对测试成绩（百分制）进行整理，描述和分析（成绩用表示，共分4组：A：；B：；C：；D：），给出了如图部分信息． （1）该校共抽查了___________人； （2）根据调查结果，请估计全校学生成绩在B组的学生人数___________． （3）现从D组成绩最好的2名男生和1名女生中，随机抽取2名学生，对全校进行“豆包”基础使用培训，请用画树状图或列表法，求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）400 （2）720人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，求条形统计图的相关数据，列表法或树状图法求概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据条形统计图中的数据求解即可； （2）将B组学生所占比例乘以全校学生人数即可； （3）先画出树状图，再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：400； 【小问2详解】 解：（人）， 故答案为：720人； 【小问3详解】 解：2名男生（表示为男1，男2）和1名女生（表示为女1）中随机抽取2人，画树状图表示所有等可能结果如下， 共有6种结果，其中1名男生和1名女生的有4种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 20. 学完反比例函数图象与性质后，李老师在平面直角坐标系中画出了直线的图象，并要求同学们利用“列表→描点→连线”的方法画出反比例函数的图象． （1）完成表格，并在网格中作图． 1 2 3 4 6 6 2 1 （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集． （3）已知点，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，求的面积． 【答案】（1） 完成表格，并在网格中作图如下： 1 2 3 4 6 6 3 2 1 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，画反比例函数图象，数形结合是本题的解题关键． （1）分别将代入反比例函数计算即可完成表格；然后描点，用光滑的曲线连接即可画出图象； （2）根据图象信息可知：； （3）由（2）知，得到轴，求出，根据即可解答． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， 【小问2详解】 解：将代入，则，故直线的图象与反比例函数的图象交于点， 由图象可得：当时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为； 【小问3详解】 解：如图， 由（2）知， ∵， ∴轴，， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ． 21. 如图，射线与相交于点为上一点，连接并延长至点，过点作于点平分． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长．（结果保留） 【答案】（1） 证明：连接， 平分 即 是半径 为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，先根据角平分线的定义和等边对等角得到，再根据直角三角形的两个锐角互余得到，进而等量代换得到，根据切线的判定可得结论； （2）先求得，过点作于，证明四边形为矩形得到，在Rt中，利用含30度角的直角三角形的性质求得，然后利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 过点作于 四边形为矩形 在Rt中， ． 22. 2025年9月25日至29日，全球数字贸易博览会期间，某科技展位销售主题钥匙扣．批发每个8元，按每个18元销售时，平均每天可售出60个．吸引观众体验，扩大传播，展位决定降价销售，若每个钥匙扣的售价每降低1元，平均每天的销售量会增加10个． （1）若每个降价4元，则每天的销售利润是___________元． （2）若展位计划每天盈利630元，则每个钥匙扣的降价多少元？ （3）若规定售价不得低于批发价，且每天的销售量不低于100个，当每个钥匙扣降价多少元时，展位每天销售的利润最大，且最大利润是多少元？ 【答案】（1）600 （2）每个钥匙扣降价1元或3元 （3）当每个钥匙扣降价4元时，展位每天销售的利润最大，且最大利润是600元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，掌握好售价与销量的关系是解题关键． （1）根据题意进行计算即可； （2）设每个钥匙扣降价元，根据题意，可列方程，解方程即可； （3）设每天销售利润为元，则，根据二次函数的图象与性质，结合自变量的取值范围，求出最大利润． 【小问1详解】 解：根据题意，降价4元则每天可销售个， ∴每天利润为元； 【小问2详解】 解：设每个钥匙扣降价元， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，． 答：每个钥匙扣降价1元或者3元． 【小问3详解】 解：由题意得： ， 解得，． 设每天销售利润为元， 则， ， 对称轴为直线， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值为600． 答：当每个钥匙扣降价4元时，展位每天销售的利润最大，且最大利润是600元． 23. 在中，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点是点，使得点落在的内部． （1）如图1，过点作，交的延长线于点与交于点．当时，求证：； （2）在第（）问的基础上，求的长度； （3）如图2，取的中点，连接和，在旋转过程中，当最小时， ①求的最小值； ②请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵将绕点顺时针旋转到，点的对应点是点， ∴， ∴， 当时，，， ∵的延长线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 即； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（）证明，得到，结合旋转的性质，运用角角边即可证明： （）由（1）的基础上得到，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； （）①由可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出进而即可求解；②过点作，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，即得，，再根据解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：①由旋转得，， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作，交的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 24. 已知抛物线，其中为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）抛物线的开口方向为___________，点坐标为___________，对称轴为直线___________； （2）如图1，若抛物线经过点，且点在对称轴右侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的最大值； （3）定义：对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围也为，则称二次函数是上的等域函数． ①若二次函数是上的等域函数，求的值； ②如图2，点在直线的下方，过点作平行于轴交直线于点的最大值为．若二次函数是上的等域函数，直接写出的值． 【答案】（1）开口向上，，； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线顶点式的性质，由判断开口方向；直接从顶点式得到顶点坐标和对称轴． （2）先代入点求出，得到抛物线解析式；设点坐标为，用坐标表示出和，构建的二次函数表达式，再通过配方法求最大值． （3）①根据等域函数定义，当时，利用抛物线在时取得最大值3，代入解析式求．②先设、，表示出，整理成二次函数形式，由最大值为求出；再根据等域函数定义，当时，利用时列方程求． 【小问1详解】 解：， 抛物线开口向上， 抛物线为， 顶点， 对称轴为直线， 故答案为：开口向上，，； 【小问2详解】 解：将点代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 的坐标为， ∴． ． ，抛物线开口向下 当时，有最大值； 【小问3详解】 解：①因为是上的等域函数， 根据等域函数的定义可得：当时，， 抛物线有最低点， 当时，有最小值0， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值3， 抛物线经过点， 将点代入，得， 解得． ②由题意可知： ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 是上的等域函数， 当时，， 当时，有最小值， ， 当时，有最大值， ， 解得：（舍去）， 的值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式性质、二次函数的最值求解、新定义等域函数的应用以及一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的图像与性质、根据新定义建立函数与方程的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末质量监测 九年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卷上，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卷上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卷上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卷一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年11月25日，神舟二十二号飞船升空，经小时飞行抵达中国空间站，此次发射为中国载人航天工程首次应急发射．下列航天图标中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 明天太阳从西方升起 B. 翻开九年级上册数学课本，恰好是88页 C. 通常加热到时，水会沸腾 D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为5，圆心到直线距离为2，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 5. 关于的一元二次方程常数项是（ ）． A. B. C. D. 6. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积（单位：）是反比例关系，如图所示．当时，等于（ ）． A. -5 B. 2 C. 5 D. 10 7. 如图，为的直径，点在上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转到，使得点落在上，的延长线恰好经过点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的深化，某国产新能源汽车品牌的市场热度持续上升．该品牌新能源汽车2025年10月份的销售量为12000辆，12月份的销售量达到14520辆．若该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形绕点逆时针旋转得正方形与交于点与交于点，连接，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若点关于原点的对称点在第三象限，请写一个符合条件的点的坐标___________． 12. 某中学拟从《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》4部数学名著中选择1部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是___________． 13. 如图，为的弦，，延长与相交于点，若，则的半径为___________． 14. 如图，莉莉手工课准备做一把扇形纸扇，要求完全打开后，外侧两竹条夹角为和的长均为，则扇形的面积为___________． 15. 为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 请用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： （1）如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； （2）如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 18. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是原方程的两个根，且，求的值． 19. 某校为了解学生对“豆包”的熟悉情况，现从全校1800名学生中随机抽取若干名学生开展测试，对测试成绩（百分制）进行整理，描述和分析（成绩用表示，共分4组：A：；B：；C：；D：），给出了如图部分信息． （1）该校共抽查了___________人； （2）根据调查结果，请估计全校学生成绩在B组的学生人数___________． （3）现从D组成绩最好的2名男生和1名女生中，随机抽取2名学生，对全校进行“豆包”基础使用培训，请用画树状图或列表法，求恰好选中一男一女的概率． 20. 学完反比例函数图象与性质后，李老师在平面直角坐标系中画出了直线的图象，并要求同学们利用“列表→描点→连线”的方法画出反比例函数的图象． （1）完成表格，并在网格中作图． 1 2 3 4 6 6 2 1 （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集． （3）已知点，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，求的面积． 21. 如图，射线与相交于点为上一点，连接并延长至点，过点作于点平分． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长．（结果保留） 22. 2025年9月25日至29日，全球数字贸易博览会期间，某科技展位销售主题钥匙扣．批发每个8元，按每个18元销售时，平均每天可售出60个．吸引观众体验，扩大传播，展位决定降价销售，若每个钥匙扣的售价每降低1元，平均每天的销售量会增加10个． （1）若每个降价4元，则每天的销售利润是___________元． （2）若展位计划每天盈利630元，则每个钥匙扣的降价多少元？ （3）若规定售价不得低于批发价，且每天的销售量不低于100个，当每个钥匙扣降价多少元时，展位每天销售的利润最大，且最大利润是多少元？ 23. 在中，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点是点，使得点落在的内部． （1）如图1，过点作，交的延长线于点与交于点．当时，求证：； （2）在第（）问的基础上，求的长度； （3）如图2，取的中点，连接和，在旋转过程中，当最小时， ①求的最小值； ②请直接写出四边形的面积． 24. 已知抛物线，其中为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）抛物线的开口方向为___________，点坐标为___________，对称轴为直线___________； （2）如图1，若抛物线经过点，且点在对称轴右侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的最大值； （3）定义：对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围也为，则称二次函数是上的等域函数． ①若二次函数是上的等域函数，求的值； ②如图2，点在直线的下方，过点作平行于轴交直线于点的最大值为．若二次函数是上的等域函数，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $