精品解析：山东青岛市南区2025-2026学年九年级第一学期期末学业水平质量检测数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 右图是我们生活中常用“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 2. 在一次搭建模型的活动中，小明用木棒搭建四边形，以下说法正确的是（ ） A. 若用两根长度相等的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是矩形 B. 若用两根互相垂直的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是正方形 C. 若用两根长度相等的木棒作为四边形的一组邻边，则搭建出的四边形是菱形 D. 若用两根能互相平分的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握各类特殊四边形的判定条件是解题的关键． 逐一分析每个选项，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，判断每个选项的条件是否能唯一确定对应四边形． 【详解】解：A选项，∵ 对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形）， ∴ 若用两根长度相等的木棒作为四边形的对角线，搭建出的四边形不一定是矩形，故A项错误； B选项，∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是正方形（如菱形）， ∴ 若用两根互相垂直的木棒作为四边形的对角线，搭建出的四边形不一定是正方形，故B项错误； C选项，∵ 一组邻边相等的四边形不一定是菱形（如普通四边形）， ∴ 若用两根长度相等的木棒作为四边形的一组邻边，搭建出的四边形不一定是菱形，故C项错误； D选项，∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形（定理）， ∴ 若用两根能互相平分的木棒作为四边形的对角线，搭建出的四边形是平行四边形，故D项正确； 故选：D． 3. 如图，某人从坡底步行到坡顶，已知坡的垂直高度为200米，坡角为，则他在山坡上步行的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，， 在中，， ∴（米）． 故选：A． 4. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义及二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的定义和利用判别式判断方程根的情况是解题的关键．先明确二次函数的定义，二次项系数不能为；再根据函数图象与轴有交点，可知对应的一元二次方程有实数根，即判别式，联立这两个条件求解的取值范围． 【详解】解：函数为二次函数， ，即， 图象与轴有交点， ， ， ， ， ， ， 且， 故选：C． 5. 如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（ ） A. 6.48米 B. 7.2米 C. 8.1米 D. 9.6米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，找出图中的相似三角形是解题的关键． 通过证明，得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵ ∴， ∴，即， 解得米， 故选：B． 6. 下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 7. 点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，由可得出反比例函数的图像在第二，四象限，结合反比例函数图像即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图像在第二，四象限， ∵， ∴，， 则， 故选D 8. 类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 通过表格数据确定和的顶点坐标，从而得出平移方式为向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 【详解】解：∵的图象数据中，当和时，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 的图象数据中，当和时，， ∴对称轴直线，顶点坐标为， ∴顶点坐标平移到顶点坐标，横向从1到0向左平移1单位，纵向从3到5向上平移2单位． ∴平移方式为先向左平移1个单位，再向上平移2个单位． 故选：A． 9. 如图，正方形的边长为4，为边的中点，交对角线于点，过点作，垂足为为上一点，且，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理和三角形面积法的应用，熟练掌握勾股定理和利用面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再在中用面积法求出，接着通过勾股定理算出的长度，结合条件得到的长度，最后在中用勾股定理求出． 【详解】解：连接， 正方形边长为，为中点 ，，， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ， 故选：A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与轴交点的个数、与轴交点的位置判断各式是否正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 当时，， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 故①正确； 由图像可知，抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ， ， 故②正确； 由图像可知，当时，， ， 故③错误； ， ， ， ， ， 抛物线与轴有两个交点， ， 无法确定与的大小关系， 故④不一定正确； 由图像可知，当时，， ， 抛物线的对称轴为， 当时，， ， ， 整理得：， 故⑤正确． 综上所述，结论正确的有个． 故选：B． 第II卷 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 已知，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，设（），可得，，，代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设（），则，，， ∴． 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子中装有5个红球和若干个蓝球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复该实验．统计结果显示，当实验次数较多时，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右，则据此估计盒中大约有蓝球___________个． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了频率估计概率，根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定在0.2，利用概率公式求出总个数，然后求出蓝球的个数即可． 【详解】解：∵摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右， ∴摸到红球的概率为0.2， ∴盒子中球的总个数为， ∴估计盒中大约有蓝球（个）． 故答案为：20． 13. 小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键． 设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数． 【详解】解：设共有人． ， ， ， 解得或（人数不能为负，舍去） 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过的顶点．若轴，点的坐标为，的面积为，则的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、三角形面积公式，熟练掌握利用坐标求线段长度及反比例函数解析式的求法是解题的关键．先根据平行于轴确定点的横坐标，再结合三角形面积公式求出点的纵坐标，最后代入反比例函数解析式求的值． 【详解】解：∵ 轴，点， ∴ 点的横坐标为3，设， ∵ 的面积为3， ∴ ， ∴ ， ∵ 点在第四象限（结合图象）， ∴ ，即 ∴ ， ∵ 点在上， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在第二象限内，其中点的坐标是，以点为位似中心，作的位似图形，使它与的相似比为．若点的坐标为，则其对应点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的坐标变化规律，熟练掌握以定点为位似中心时，通过坐标差的缩放来推导对应点坐标的方法是解题的关键． 以点为位似中心，相似比为，我们可以先算出点与的坐标差，再把这个坐标差按相似比放大，最后叠加到位似中心的坐标上，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点与点的横坐标差为， ∴点与点的纵坐标差为， ∵相似比为， ∴点与点的横坐标差为， ∴点与点的纵坐标差为， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 16. 如图，将等边绕点逆时针旋转得到，点、分别在和上，且，、相交于点，交于点．则下列结论正确的有___________．（填写序号） ①；②平分；③；④若，则． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质证明，得到，再利用三角形外角的性质可判断①；过点作于点，交延长线于点，则，通过证明得到，再利用角平分线的判定可判断②；证明，再利用相似三角形的性质可判断③；设等边的边长为，分别证明和，得到，，再利用比例的性质可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵等边， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故①正确； 如图，过点作于点，交延长线于点， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵将等边绕点逆时针旋转得到， ∴也是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 设等边边长为，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，结论正确的有①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质、角平分线的判定定理、旋转的性质、相似三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形和相似三角形并证明是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：直线，直线外一点． 求作：矩形，使边在直线上，且． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键． 利用尺规过点作直线的垂线，交直线于点，再作交直线于点和，再以点和为圆心，长为半径向上画弧，以为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，再根据矩形的判定可知四边形和为矩形，则图形即为所求． 【详解】解：如图所示，矩形和矩形即为所求： 四、解答题（本大题满分68分，共有8道题） 18. （1）计算：； （2）解方程：（用配方法）； （3）解方程：． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）先移项，然后将方程左边配方成完全平方公式，然后开方求解即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解得，； （3） ，， 解得，． 19. 青岛有着丰富的旅游资源，小亮决定利用一天时间到青岛旅游，查阅网上攻略后，他制定了如下计划：上午从3个自然景点（A．五四广场；B．小麦岛公园；C．崂山仰口景区）中随机选取一个，下午再从2个人文景点（D．青岛啤酒博物馆；E．青岛海底世界）中随机选取一个去参观． （1）小亮上午从自然景点中选中“小麦岛公园”参观的概率是___________； （2）用树状图或表格求小亮这一天恰好选“五四广场”和“青岛海底世界”参观的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵上午从3个自然景点（A．五四广场；B．小麦岛公园；C．崂山仰口景区）中随机选取一个， ∴小亮上午从自然景点中选中“小麦岛公园”参观的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有6种等可能的情况数，恰好选“五四广场”和“青岛海底世界”参观的情况有1种， ∴小亮这一天恰好选“五四广场”和“青岛海底世界”参观的概率为． 20. 小明班的数学课外活动小组进行校外研学活动，他们准备测量某建筑物的高度．如图，先将无人机升至距离地面垂直高度为25米的点处，测得建筑物最高点的仰角为，再将无人机上升15米到达点的正上方点处，此时测得建筑物最低点的俯角为，已知点在同一平面内，求建筑物的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】41.9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，理解题意，作垂线构造直角三角形是解题的关键． 延长交地面于点，作交的延长线于点，先证明四边形是矩形，得到，，由题意得，，分别解和，求出和的长，再利用线段的和差求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，延长交地面于点，作交的延长线于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米． 答：建筑物的高度为41.9米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． （1）分别求出和的值； （2）将直线向上平移后，与反比例函数图象交于两点，与轴，轴分别相交于点，若，求直线的函数表达式． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）点在正比例函数上，代入横坐标可求；再将点坐标代入反比例函数即可求． （2）先由中心对称得点坐标；设直线的解析式为，求出、坐标，用面积法求出中到直线的距离，该距离即为直线与的距离；再求出的长度，结合列方程求，进而得到直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正比例函数与反比例函数图象关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， 设直线的解析式为， 令，得， ∴， 令，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， 又， 设O到直线的距离为， ∵， ∴， 解得， ∵与平行， ∴直线与的距离即为， ∵， ∵， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的平移、关于原点对称的点的坐标特征、两点间距离公式、三角形面积法的应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、面积法求点到直线的距离是解题的关键． 22. 某学校实验室配备了一款小钢珠弹射装置，小钢珠弹出后的运动路线可近似看作抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系：以试验台为轴，弹射口在轴上，，小钢珠运动的最高点为，其距离弹射口的水平距离为，竖直高度为． （1）求小钢珠距离试验台的竖直高度与距离弹射口的水平距离之间的函数关系式； （2）为了实验安全，在实验台上点的右侧竖直放置一个高度为的挡板（厚度不计），要求小钢珠能弹到挡板上后落回到实验台，求挡板与弹射口的水平距离应在什么范围内？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）由题意得，，再利用待定系数法即可求解； （2）分别代入和到（1）中的解析式，求出对应的值，再结合题意即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 设函数关系式为， 代入得，， 解得， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， 令，则， 解得，， 又∵挡板在实验台上点的右侧， ∴挡板与弹射口的水平距离应满足． 23. 如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 【答案】（1）详见解析 （2）①当满足时，四边形是矩形，详见解析；②当满足时，四边形是菱形，详见解析 【解析】 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得，由证得，得出，由为的中线得出，进而得出，再根据平行四边形的判定定理(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)即可得证； （2）连接，如图，①先证出 ，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证，②先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再证出四边形是平行四边形，进而即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵为的中线， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接，如图， ①当满足时，四边形是矩形，理由如下， ∵是中线，且， ∴，即 ， 由（1）知，且， ∵是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； ②当满足时，四边形是菱形，理由如下， ∵ ，是中线， ∴， 由（1）知，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 24. 为宣传海洋文化，某文创店计划在一段时间内销售贝壳饰品和栈桥明信片两种文创商品，其中每件贝壳饰品的利润（元）与第天（为整数，且）之间满足一次函数关系，部分销售数据如下表所示： 第天 ．．． 2 3 4 5 ．．． 贝壳饰品每件的利润（元） ．．． 7 75 8 8.5 ．．． 已知：贝壳饰品第天销售量满足：；栈桥明信片每套的利润固定为8元，且第天销售量满足：． （1）求每件贝壳饰品的利润（元）与第天之间的函数关系式； （2）若销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套，且每天需支出其他费用500元，求销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为多少元？ 【答案】（1） （2）销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为255元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数应用，求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系列出表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意求出，设销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设 将，代入得， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套 ∴ ∴ 又∵为整数，且 ∴ 设销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润为w， 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵，， ∴当时，w有最小值，此时． ∴销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为255元． 25. 如图，在矩形中，，，点为中点，于点，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作于点，交于点．连接，设运动时间为． 解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）当平分时，求的值； （4）若为上一点，连接，，当四边形周长最小时，则___________．（直接写出答案） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）先根据矩形性质和勾股定理求出的长度，再由推出，得到，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解． （2）过作于，先证求出、；再证，得矩形，从而；最后用分割法求四边形面积与的函数关系式． （3）过作于，利用得到内错角相等，结合角平分线的定义推出；由等腰三角形的性质建立方程即可求解． （4）将四边形的周长拆分为定值与变量部分，利用轴对称将、转化为对称点连线，当四点共线时周长最小，进而求出． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，为中点，，如图， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：过作于， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形面积， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：过作于， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， ∵点与关于对称， ∴，，， ∴， ∴点、A、三点共线， 同理：点、C、三点共线，，， ∴根据两点之间线段最短得四边形周长为 ， 当点、P、G、共线时，四边形的周长取最小值， 如图，当点、P、G、共线时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、轴对称最短路径问题及动点问题函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质、轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在一次搭建模型的活动中，小明用木棒搭建四边形，以下说法正确的是（ ） A. 若用两根长度相等的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是矩形 B. 若用两根互相垂直的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是正方形 C. 若用两根长度相等的木棒作为四边形的一组邻边，则搭建出的四边形是菱形 D. 若用两根能互相平分的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是平行四边形 3. 如图，某人从坡底步行到坡顶，已知坡的垂直高度为200米，坡角为，则他在山坡上步行的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A. 且 B. C. 且 D. 5. 如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（ ） A. 6.48米 B. 7.2米 C. 8.1米 D. 9.6米 6. 下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A. B. C. D. 7. 点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（　　） A B. C. D. 8. 类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，画二次函数和二次函数的图象时，列出如下表格，已知二次函数的图象平移后可以得到二次函数的图象，则平移方式为（ ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 3 1 ．．． ．．． 3 5 3 ．．． A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 9. 如图，正方形的边长为4，为边的中点，交对角线于点，过点作，垂足为为上一点，且，则的值为（） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 11. 已知，则的值是___________． 12. 在一个不透明的盒子中装有5个红球和若干个蓝球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复该实验．统计结果显示，当实验次数较多时，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右，则据此估计盒中大约有蓝球___________个． 13. 小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 14. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过的顶点．若轴，点的坐标为，的面积为，则的值等于___________． 15. 如图，在第二象限内，其中点坐标是，以点为位似中心，作的位似图形，使它与的相似比为．若点的坐标为，则其对应点的坐标是___________． 16. 如图，将等边绕点逆时针旋转得到，点、分别在和上，且，、相交于点，交于点．则下列结论正确的有___________．（填写序号） ①；②平分；③；④若，则． 三、作图题（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：直线，直线外一点． 求作：矩形，使边在直线上，且． 四、解答题（本大题满分68分，共有8道题） 18. （1）计算：； （2）解方程：（用配方法）； （3）解方程：． 19. 青岛有着丰富的旅游资源，小亮决定利用一天时间到青岛旅游，查阅网上攻略后，他制定了如下计划：上午从3个自然景点（A．五四广场；B．小麦岛公园；C．崂山仰口景区）中随机选取一个，下午再从2个人文景点（D．青岛啤酒博物馆；E．青岛海底世界）中随机选取一个去参观． （1）小亮上午从自然景点中选中“小麦岛公园”参观的概率是___________； （2）用树状图或表格求小亮这一天恰好选“五四广场”和“青岛海底世界”参观的概率． 20. 小明班的数学课外活动小组进行校外研学活动，他们准备测量某建筑物的高度．如图，先将无人机升至距离地面垂直高度为25米的点处，测得建筑物最高点的仰角为，再将无人机上升15米到达点的正上方点处，此时测得建筑物最低点的俯角为，已知点在同一平面内，求建筑物的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． （1）分别求出和的值； （2）将直线向上平移后，与反比例函数图象交于两点，与轴，轴分别相交于点，若，求直线的函数表达式． 22. 某学校实验室配备了一款小钢珠弹射装置，小钢珠弹出后运动路线可近似看作抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系：以试验台为轴，弹射口在轴上，，小钢珠运动的最高点为，其距离弹射口的水平距离为，竖直高度为． （1）求小钢珠距离试验台的竖直高度与距离弹射口的水平距离之间的函数关系式； （2）为了实验安全，在实验台上点的右侧竖直放置一个高度为的挡板（厚度不计），要求小钢珠能弹到挡板上后落回到实验台，求挡板与弹射口的水平距离应在什么范围内？ 23. 如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形菱形． 24. 为宣传海洋文化，某文创店计划在一段时间内销售贝壳饰品和栈桥明信片两种文创商品，其中每件贝壳饰品的利润（元）与第天（为整数，且）之间满足一次函数关系，部分销售数据如下表所示： 第天 ．．． 2 3 4 5 ．．． 贝壳饰品每件的利润（元） ．．． 7 7.5 8 8.5 ．．． 已知：贝壳饰品第天销售量满足：；栈桥明信片每套的利润固定为8元，且第天销售量满足：． （1）求每件贝壳饰品的利润（元）与第天之间的函数关系式； （2）若销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套，且每天需支出其他费用500元，求销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为多少元？ 25. 如图，在矩形中，，，点中点，于点，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作于点，交于点．连接，设运动时间为． 解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）当平分时，求的值； （4）若为上一点，连接，，当四边形周长最小时，则___________．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $