培优3 与球相关的“切”“接”问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦立体几何中球与几何体的“切”“接”问题，先明确外接球、内切球定义及解题关键，再通过球与长方体（含可转化为长方体的三棱锥）、几何体外接球（圆锥、圆柱等）、几何体内切球（体积分割法等）三类题型构建知识支架，系统梳理解题方法。 资料通过“补形法”“轴截面法”等培养学生空间观念（数学眼光），典例解析中逻辑推理（如建立半径关系）提升推理能力（数学思维），规范步骤强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后尝试训练助力学生查漏补缺，巩固知识。

培优3 与球相关的“切”“接”问题 空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点.所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径、截面圆的半径及各几何量之间建立关系. 类型一 球与长方体的“切”“接” （1）球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径. （2）球外接于正方体（长方体），正方体（长方体）的顶点均在球面上，正方体（长方体）的体对角线长等于球的直径. （3）有些三棱锥（如三条侧棱两两垂直、四个面均为直角三角形、对棱两两相等）的外接球问题可转化为长方体的外接球问题. 典例1 （1） 设球的内接长方体的长、宽、高分别为，，3，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. （2） [2024·广东东莞期末]正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. （3） 若四面体中，，，两两互相垂直，且，则该四面体的外接球的表面积为________；若四面体为正四面体，且各棱长均为2，则该四面体的外接球的表面积为______. 【答案】（1） B （2） C （3） ； 【解析】 （1） 设球的半径为.由题意，长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即，所以，所以球的表面积为 . （2） 设正方体的棱长为,则正方体的内切球的直径为,半径为;与正方体各棱相切的球直径为,半径为;正方体的外接球直径为,半径为,故正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球的体积之比为：. （3） 当，，两两互相垂直，且 时，将四面体 补成正方体，如图1所示，则正方体 的体对角线长为，故四面体 的外接球的半径，所以球 的表面积 .当四面体 为正四面体时，将正四面体 补成正方体，如图2所示，因为，所以，所以正方体 的体对角线长为，所以正四面体 的外接球的半径，所以球 的表面积为 . 类型二 几何体的外接球 解决外接球问题常利用球的截面性质“球心 与截面圆圆心 的连线垂直于截面圆”. （1）求圆锥的外接球半径. 解题时，关键是画出轴截面（如图1，图2），建立圆锥的高，底面圆的半径,外接球的半径 三者之间的关系，即. 注：求棱锥的外接球半径的方法与求圆锥的外接球半径类似. （2）求圆柱的外接球半径. 解题时，关键是画出轴截面（如图3），找到圆柱的底面圆半径、高 及其外接球的半径 三者之间的关系，即. 注：求棱柱的外接球半径的方法与求圆柱的外接球半径类似. （3）圆台的外接球：设,,分别为圆台的上、下底面的半径和高，为外接球的半径. 典例2 （1） 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为,顶点在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. （2） 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. （3） 在三棱锥中， ， ，点到底面的距离为.若三棱锥的外接球的表面积为 ，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】（1） B （2） B （3） A 【解析】 （1） 如图所示，设，分别为上、下底面的中心，连接，则球心 为 的中点，连接 并延长交 于D点，连接.因为,,,所以,故该球的表面积. （2） 圆柱的轴截面 如图所示，记圆柱上、下底面圆的圆心分别为，，连接，取 的中点为，连接，则点 为外接球球心，为外接球半径.因为圆柱的母线 长度为2，底面半径,所以外接球半径，所以外接球的体积. （3） 取棱 的中点为，连接，，如图所示.因为 ，所以，所以 为三棱锥 的外接球的球心.过点 作 平面 于，由球的几何性质可知 为底面三角形 的外心.设三棱锥 的外接球半径为，则由题意得 ，所以，即.因为点 到底面 的距离为，且 为棱 的中点，所以，所以.在 中，由正弦定理，可知,所以. 类型三 几何体的内切球 常见内切球问题的求解策略： （1）多面体的内切球，可用体积分割法（等积法）求内切球的半径. （2） 圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为,高为,. （3）内切球到切点的距离相等且为半径，也可作过球心的截面求半径. 典例3 （1） 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. （2） 如图，已知在四棱锥中，底面是正方形，，，两两相互垂直，，，则此四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. （3） 已知圆台的内切球与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为________. 【答案】（1） D （2） B （3） 【解析】 （1） 设正三棱柱的底面边长为,则球的半径,正三棱柱的高为.又.所以.所以. （2） 如图，可将四棱锥 放入长方体中，设外接球的半径为，则，故，所以外接球的表面积为 .设内切球的半径为,由长方体的性质可知，，，均为直角三角形，且,,则，解得,所以内切球的表面积为 ,故外接球与内切球的表面积之比为. （3） 圆台的上底面半径为，由于圆台的内切球 与圆台侧面相切的切点位于圆台高的 处，根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为，母线长为，所以圆台的高为，即球的直径为6，半径为3，所以球的体积为 . 【尝试训练】 1．在直三棱柱中，，，，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为（ ） A. 624 B. 576 C. 672 D. 720 【答案】A 【解析】选A.方法一：由题意，得该直三棱柱底面的外接圆半径,所以，所以直三棱柱 的表面积为. 方法二：在直三棱柱 中，，，，所以.构造长方体，如图所示，则长方体 的外接球就是直三棱柱 的外接球.因为直三棱柱 外接球的半径为13，所以,所以,所以直三棱柱 的表面积为. 2．[2024·河南安阳模拟]如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图，将三棱锥 放到长、宽、高分别为1，，的长方体中，则三棱锥 的外接球，即长方体的外接球，其半径,所以三棱锥 的外接球的体积 . 3．若圆台的上、下底面半径分别为,，则其内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图，，，又 且，所以，所以，所以球的表面积为. 4．如图，菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线长度之比均为.已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.根据菱形十二面体的性质，可将菱形十二面体分割为十二个四棱锥，这十二个四棱锥共顶点，顶点为菱形十二面体的内切球的球心.设菱形十二面体的体积为，每个面的面积为，内切球半径为,则.因为每个面的两条对角线长度之比为,且棱长为，所以两对角线长分别为2，，所以,则,则,所以内切球的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $