8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算，以展开图探究侧面积为起点，衔接表面积（底面积与侧面积之和），延伸至体积公式推导，构建从平面展开到空间度量的完整学习支架。 通过轴截面分析与补体法等教学方法，结合例题与跟踪训练，培养学生几何直观（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），如例1借助等边三角形截面求圆柱表面积，跟踪训练2用补体法求不规则几何体体积，助力课中教学与课后知识巩固。

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学习目标 1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 2.能用表面积和体积公式解决简单的实际问题. 新知学习 探究 新课导学 沿圆柱侧面的一条母线，将圆柱的侧面展开，得到圆柱的侧面展开图.圆柱的侧面积即为其侧面展开图的面积. 思考 圆柱的侧面展开图是什么图形，圆柱的侧面积公式是什么？ 提示：矩形；圆柱的侧面积 是底面半径、是母线长. 一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：① ____________ 侧面积： 表面积：②________________ 圆锥 底面积：③____________ 侧面积： 表面积：④______________ 圆台 上底面面积：⑤____________ 下底面面积：⑥__________ 侧面积：⑦________________ 表面积：⑧________________________________ 【答案】； ； ； ； ； ； ； ［提醒］ 侧面积公式间的关系 . 例1 （1） 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，过的平面截该圆锥所得截面为一个面积为的等边三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. （2） 若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为______，表面积为________. 【答案】（1） D （2） 5； 【解析】 （1） 由题意，设所截得的等边三角形的边长为,可得,解得，则圆锥的高,底面圆的半径,所以与该圆锥同底等高的圆柱的表面积 . （2） 设圆台的母线长为，则由题意得,所以 ,所以，所以该圆台的母线长为5.圆台的表面积为 . 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下： （1）得到空间几何体的展开图; （2）依次求出各个平面图形的面积; （3）将各平面图形的面积相加. ［跟踪训练1］． （1） （多选）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的侧面积为 C. 圆柱的表面积为 D. 圆柱的表面积为 （2） 若圆锥的侧面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______. 【答案】（1） BC （2） 1 【解析】 （1） 选.因为，，所以，即圆柱的底面半径,又因为，所以圆柱的侧面积是，圆柱的表面积是 .故选. （2） 设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，则 ，解得，又 ，解得，所以圆锥的底面半径为1. 二 圆柱、圆锥、圆台的体积 ①______________是底面半径,是高, ②________________是底面半径,是高, ③________________________________,分别是上、下底面半径,是高. 【答案】； ； 例2 （1） 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 ，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. （2） 已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为__________ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 作圆锥的轴截面，如图所示，由题意知，在 中， ，.设圆锥的高为，底面半径为，则,.由 ，得 ,所以，则.故圆锥的体积. （2） 作出圆台的轴截面，如图，设圆台的高为，则，解得,所以圆台的体积. 圆柱、圆锥、圆台体积的求法 （1）直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出. （2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再减. ［跟踪训练2］． （1） 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. （2） [2024· 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） B 【解析】 （1） 选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 ，故所求几何体的体积为 . （2） 选B.设圆柱和圆锥的底面半径均为，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以，得，所以圆锥的体积 .故选B． 三 球的表面积和体积 表面积：①____________. 体积：②____________. 【答案】； 例3 （1） 一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（ ） A. B. C. D. （2） （对接教材例4）若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） C 【解析】 （1） 设球心为，截面圆心为，连接，如图所示，在 中，，，所以球的半径，所以球的体积.故选B. （2） 设圆锥的底面半径为,高为，母线长为,球的半径为，则由题意得 解得 所以,所以,,所以.故圆锥侧面积与球的表面积之比为. （1）球的表面积和体积的求解关键 因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键. （2）球的截面问题的解题技巧 ①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题. ②解题时要注意借助球半径，截面圆半径，球心到截面的距离构成的直角三角形，即. ［跟踪训练3］．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 ,则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.设球的半径为，则截面圆的半径为，所以截面圆的面积为 ，所以，所以球的表面积 .故选C. 课堂巩固 自测 1．（教材P119练习T2改编）已知球的体积是，则此球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设球的半径为，所以，所以，所以 . 2．（教材P119练习T1改编）若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为 . 3．已知圆台的体积为 ，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】选A.设圆台的高为，由题意知 ，故. 4．（多选）圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选.当圆柱的高为 时，体积；当圆柱的高为 时，体积. 5．已知一个平面截一个球得到面积为 的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则该球的体积等于________. 【答案】 【解析】由平面截一个球得到面积为 的圆面可得，截面圆的半径为，设球的半径为，球心到这个圆面的距离为，所以由勾股定理可得，即，所以，所以球的体积为. 1.已学习：圆柱、圆锥、圆台以及球的表面积与体积. 2.须贯通：解决旋转体的表面积，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需要的几何要素；求旋转体体积的关键是寻求底面积与高，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程求解；公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件. 3.应注意：（1）解决旋转体的表面积，密切关注轴截面及侧面展开图； （2）球心位置的确定要准确. 学科网（北京）股份有限公司 $