第6章 平面向量及其应用 章末复习提升（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学章末复习讲义通过知识框架图系统构建平面向量与解三角形的知识体系，核心要点整合涵盖线性运算、数量积、正余弦定理及实际应用，以思维导图呈现知识脉络，明确各模块内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，精选2024年新课标Ⅰ卷、北京卷等真题，涵盖选择、填空、解答题，如向量垂直问题提供两种解法培养数学运算素养，物理中力的分解问题渗透数学建模。基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习高效。

章末复习提升 知识体系 构建 核心要点 整合 要点一 平面向量的线性运算 1.进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 3.向量的线性运算中要注意数形结合的运用，提升学生的数学运算和逻辑推理的核心素养. 训练1．设，为所在平面内两点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图，因为，，所以，，所以.故选B. 训练2．如图，在中，，是线段上一点，若,则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】选A.设,因为，所以，则, 又因为, 所以 解得 训练3．[2024·河南郑州月考]已知为内一点，，则（ ） A. 3 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】选A., 整理得, 由奔驰定理可知. 训练4．[2024·广西南宁月考]若是三角形的外心，且, ,则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 以上三个选项均不正确 【答案】A 【解析】选A.如图所示，设 的中点为D，则. 由，得， 所以向量，共线，又 是 的外心，所以，所以，从而.因为 ，所以 ，即四边形 是菱形，于是， 所以, 所以. 要点二 平面向量的数量积 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 训练5．[2024· 新课标Ⅰ卷]已知向量,，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】选D.方法一：因为，所以，即.因为，，所以，，得，所以，解得.故选D. 方法二：因为，，所以．因为，所以，所以，所以，解得.故选D． 训练6．（多选）如图，点，和分别在半径为1与3的同心圆上.当的面积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】选.对于A，若将点A，B固定，当点C到 的距离最大时，的面积最大， 此时.同理，固定点A，C. 当点B到 的距离最大时， 的面积最大，此时.固定点B，C是一样的，也就是说当 面积最大时，是 的垂心，所以,即,即.同理可得，，所以A正确； 对于B，由题知，圆心 在 内部，易知， 所以，不是重心，所以B错误； 对于C，如图，设A,B固定且 面积最大时，边上的高为, 因为, 所以，所以C正确； 对于D， . 即,所以D正确.故选. 训练7．在平行四边形中，若，，，点在边上，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】因为，，，所以，所以，，所以 .以点 为原点，所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设,,,,所以,,,,则,令,,,则 在,上单调递减，在，上单调递增，所以. 训练8．如图，在中，,,为上一点，且满足.若,则的最小值为______. 【答案】2 【解析】设,则, 所以 解得. 因为,所以，. 当且仅当,即 时，等号成立.所以 的最小值为2. 要点三 余弦定理、正弦定理 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 训练9．在中，有,且 ,则为（ ） A. B. C. D. 其他三个选项均不对 【答案】C 【解析】选C.由余弦定理可得,因为 ，所以 ，所以，从而 ，故 . 训练10．[2024·河北石家庄月考]在中，角，，的对边分别为,,，已知,且,则的值为______. 【答案】4 【解析】方法一：在 中，因为，则由正弦定理及余弦定理的推论有, 化简并整理得. 又,所以， 解得 或（舍去）. 方法二：由余弦定理得. 又,,所以. ① 又, 所以， 从而, 即. 由正弦定理得,故. ② 由①②解得. 方法三：,同理,则，解得. 训练11．[2024·北京卷]在中，内角，，的对边分别为，，，为钝角，，． （1） 求； （2） 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 （1） 解：由题知，. 又 为钝角，所以 为锐角， 故，所以. 又,所以. 又 为钝角，所以. （2） 若选①，结合（1）得,, ，则 不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①． 若选②，由题知, 又,即,所以. 又， 所以. 所以. 若选③，由题知,所以. 由 得，, 即,解得（负值已舍去）. 所以. 要点四 平面向量的实际应用 1.平面向量在实际生活中有着广泛的应用，如向量在物理中的模型有力、速度、位移等；实际生活中的一些和解三角形有关的问题如距离、高度、角度的求解等. 2.通过建模利用向量求解实际问题，提升数学建模和逻辑推理的核心素养. 训练12．用两条成 角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重力为，求每根绳子的拉力大小. 解：如图，由题意得,以两根绳子，为邻边构成菱形，其中，由 得， ，则，即每根绳子的拉力大小为. 训练13．如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距 的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 相距的处的乙船.试问：乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？精确到 ，参考数据： 解：连接（图略）.在 中，，， . 由余弦定理，知,所以. 由正弦定理，得，所以. 因为 为锐角，所以 . 过点 作 交 的延长线于点（图略）， 则 .因此，乙船应朝北偏东约 的方向沿直线前往 处救援. 学科网（北京）股份有限公司 $